矩陣協(xié)方差計(jì)算

1、淺談協(xié)方差矩陣今天看論文的時(shí)候又看到了協(xié)方差矩陣這個(gè)破東西，以前看模式分類的時(shí)候就特困擾，沒想到現(xiàn)在還是搞不清楚，索性開始查協(xié)方差矩陣的資料，惡補(bǔ)之后決定馬上記錄下來，嘿嘿~本文我將用自認(rèn)為循序漸進(jìn)的方式談?wù)剠f(xié)方差矩陣。統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念學(xué)過概率統(tǒng)計(jì)的孩子都知道，統(tǒng)計(jì)里最基本的概念就是樣本的均值，方差，或者再加個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。首先我們給你一個(gè)含有n個(gè)樣本的集合，依次給出這些概念的公式描述，這些高中學(xué)過數(shù)學(xué)的孩子都應(yīng)該知道吧，一帶

2、而過。均值：均值：標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：方差：方差：很顯然，均值描述的是樣本集合的中間點(diǎn)，它告訴我們的信息是很有限的，而標(biāo)準(zhǔn)差給我們描述的則是樣本集合的各個(gè)樣本點(diǎn)到均值的距離之平均。以這兩個(gè)集合為例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，兩個(gè)集合的均值都是10，但顯然兩個(gè)集合差別是很大的，計(jì)算兩者的標(biāo)準(zhǔn)差，前者是8.3，后者是1.8，顯然后者較為集中，故其標(biāo)準(zhǔn)差小一些，標(biāo)準(zhǔn)差描述的就是這種“散布度”。之所以除以n1而不是除以n，是因

3、為這樣能使我們以較小的樣本集更好的逼近總體的標(biāo)準(zhǔn)差，即統(tǒng)計(jì)上所謂的“無偏估計(jì)”。而方差則僅僅是標(biāo)準(zhǔn)差的平方。為什么需要協(xié)方差？為什么需要協(xié)方差？上面幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量看似已經(jīng)描述的差不多了，但我們應(yīng)該注意到，標(biāo)準(zhǔn)差和方差一般是用來描述一維數(shù)據(jù)的，但現(xiàn)實(shí)生活我們常常遇到含有多維數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，最簡(jiǎn)單的大家上學(xué)時(shí)免不了要統(tǒng)計(jì)多個(gè)學(xué)科的考試成績(jī)。面對(duì)這樣的數(shù)據(jù)集，我們當(dāng)然可以按照每一維獨(dú)立的計(jì)算其方差，但是通常我們還想了解更多，比如，一個(gè)男孩子的猥瑣程

4、度跟他受女孩子歡迎程度是否存在一些聯(lián)系啊，嘿嘿~協(xié)方差就是這樣一種用來度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量，我們可以仿照方差的定義：來度量各個(gè)維度偏離其均值的程度，標(biāo)準(zhǔn)差可以這么來定義：根據(jù)公式，計(jì)算協(xié)方差需要計(jì)算均值，那是按行計(jì)算均值還是按列呢，我一開始就老是困擾這個(gè)問題。前面我們也特別強(qiáng)調(diào)了，協(xié)方差矩陣是計(jì)算不同維度間的協(xié)方差，要時(shí)刻牢記這一點(diǎn)。樣本矩陣的每行是一個(gè)樣本，每列為一個(gè)維度，所以我們要按列計(jì)算均值按列計(jì)算均值。為了描述方便，我們

5、先將三個(gè)維度的數(shù)據(jù)分別賦值：1dim1=MySample(:1)2dim2=MySample(:2)3dim3=MySample(:3)計(jì)算dim1與dim2，dim1與dim3，dim2與dim3的協(xié)方差：1sum((dim1mean(dim1)).(dim2mean(dim2)))(size(MySample1)1)%得到74.53332sum((dim1mean(dim1)).(dim3mean(dim3)))(size(MySa

6、mple1)1)%得到10.08893sum((dim2mean(dim2)).(dim3mean(dim3)))(size(MySample1)1)%得到106.4000搞清楚了這個(gè)后面就容易多了，協(xié)方差矩陣的對(duì)角線就是各個(gè)維度上的方差，下面我們依次計(jì)算：1std(dim1)^2%得到108.32222std(dim2)^2%得到260.62223std(dim3)^2%得到94.1778這樣，我們就得到了計(jì)算協(xié)方差矩陣所需要的所有數(shù)

7、據(jù)，調(diào)用Matlab自帶的cov函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證：1cov(MySample)把我們計(jì)算的數(shù)據(jù)對(duì)號(hào)入座，是不是一摸一樣？Update：今天突然發(fā)現(xiàn)，原來協(xié)方差矩陣還可以這樣計(jì)算，先讓樣本矩陣中心化，即每一維度減去該維度的均值，使每一維度上的均值為0，然后直接用新的到的樣本矩陣乘上它的轉(zhuǎn)置，然后除以(N1)即可。其實(shí)這種方法也是由前面的公式通道而來，只不過理解起來不是很直觀，但在抽象的公式推導(dǎo)時(shí)還是很常用的！同樣給出Matlab代碼實(shí)現(xiàn)：1X