第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.1中值定理定理定理4.1.1(羅爾定理羅爾定理)如果滿足：（1）在閉區(qū)間上[]上連續(xù)（2）在開(kāi))(xfy?ba區(qū)間()內(nèi)可導(dǎo)（3）.則在開(kāi)區(qū)間(上至少存在一點(diǎn)ba)()(bfaf?)ba)(bcac??使得0)(?cf羅爾定理的幾何意義是:在連續(xù)高度相同的兩點(diǎn)的一段曲線上如果每一點(diǎn)都有不垂直于軸的切線那么至少有x一點(diǎn)上的切線是平行于軸的切線那么至少有一點(diǎn)的切線是平行于軸的(圖41).xx關(guān)于羅爾定理需注意如下

2、幾點(diǎn):(1)羅爾定理的三個(gè)前提條件缺一不可當(dāng)缺少其中一個(gè)條件時(shí)羅爾定理將不一定成立這一點(diǎn)讀者可以舉例說(shuō)明.(2)羅爾定理的結(jié)論只強(qiáng)調(diào)點(diǎn)的存在性至于該點(diǎn)究竟在區(qū)間內(nèi)的什么位置c)(ba有時(shí)并不需要研究(3)羅爾定理結(jié)論中滿足的點(diǎn)并不是唯一的.這一點(diǎn)通過(guò)圖41可以清0)(?cfc晰的看到.例1設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)其運(yùn)動(dòng)方程為如果物體在兩個(gè)不同時(shí)刻和)(tfy?1tt?時(shí)處于同一位置即并且物體的運(yùn)動(dòng)方程連續(xù)可導(dǎo)那么根據(jù)2tt?)()(21tftf

3、?)(tf羅爾定理在時(shí)刻和之間必定有某一時(shí)刻在該時(shí)刻物體的運(yùn)動(dòng)速度1tt?2tt?tt?為0即上拋運(yùn)動(dòng)、彈簧的振動(dòng)等問(wèn)題中都有這個(gè)結(jié)果.0)(?tf定理定理4.1.24.1.2(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)如果滿足:)(xfy?(1)在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).][ba)(ba則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得:)(bacabafbfcf???)()()(拉格朗日中值定理的幾何意義:如圖42顯然點(diǎn)的坐標(biāo)是點(diǎn)的坐標(biāo)是因此連接、A))((

4、afaB))((bfbA兩點(diǎn)的直線斜率為:。Babafbf??)()(拉格朗日中值定理告訴我們?cè)谶B接、兩點(diǎn)的一條連續(xù)的切線上如果過(guò)每一AB點(diǎn)曲線都有不垂直于軸的切線則曲線上至少有一點(diǎn)過(guò)該點(diǎn)的切線平行于x))((cfc（2），（3）???)(lim0xfxx???)(lim0xgxx.)()(lim0Axgxfxx??則有.)()()()(limlim00Axgxfxgxfxxxx????運(yùn)用洛必達(dá)法則求解極限問(wèn)題時(shí)需注意以下幾點(diǎn):(1)

5、當(dāng)將法則中的均換為時(shí)法則成立(見(jiàn)例3)A?(2)當(dāng)仍然是未定式時(shí)可繼續(xù)運(yùn)用洛必達(dá)法則(見(jiàn)例4)lim)()(xgxf(3)當(dāng)不存在時(shí)不能得出也不存在的結(jié)論(見(jiàn)例5)lim)()(xgxflim)()(xgxf(4)有的極限問(wèn)題雖屬未定式但用洛必達(dá)法則可能無(wú)法解出(見(jiàn)例6)或即便能解出也太過(guò)繁瑣這時(shí)我們通常選擇其他方法.二、型未定式的計(jì)算00??例1.例2.例3.11461lim????xxxxxxlnlim???xexxlim???例4

6、.例5例6201limxxexx???xxxxxsinsinlim????xxxxxeeee???????lim三、其他類型未定式的計(jì)算三、其他類型未定式的計(jì)算除了和兩種未定式外我們經(jīng)常遇到的未定式還有等這些00???????0000??1未定式的計(jì)算通常先化為型未定式然后再利用洛必達(dá)法則求解.下面我們通過(guò)例題來(lái)00??說(shuō)明這幾種未定式的處理方法.例7.例8.例9.)tan(seclim2xxx???xxxlnlim0??xxxsin0