柯西不等式各種形式的證明及其應用

1、柯西不等式各種形式的證明及其應用柯西不等式各種形式的證明及其應用柯西不等式是由大數(shù)學家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應當稱為CauchyBuniakowskySchwarz不等式，因為，正是后兩位數(shù)學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步?？挛鞑坏仁椒浅Ｖ匾`活巧妙地應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解?？挛鞑坏仁皆谧C明不等式、解三角形、求函數(shù)最值

2、、解方程等問題的方面得到應用。一、柯西不等式的各種形式及其證明一、柯西不等式的各種形式及其證明二維形式二維形式在一般形式中，在一般形式中，12122naaabbcbd?????令，得二維形式??????22222bdacdcba????等號成立條件：??dcbabcad??擴展：??????222222222123123112233nnnnaaaabbbbabababab??????????????????????等號成立條件：1122

3、000::::123iiiinniiababababababin??????????????????當或時，和都等于，不考慮二維形式的證明：二維形式的證明：????????????22222222222222222222222220=abcdabcdRacbdadbcacabcdbdadabcdbcacbdadbcacbdadbcadbc?????????????????????等號在且僅在即時成立三角形式三角形式????222222a

4、bcdacbdadbc????????等號成立條件：三角形式的證明三角形式的證明：222111nnnkkkkkkkabab???????????????????12121212121111111231111mnnmmmnmmmmmmmmiiiiniiiixxxxxxxxxxxxxmnN??????????????????????????????????????????????????其中，或者或者：111111mmmnnmijijjij

5、iijxxmnNxR?????????????????????????????????其中，，或者或者??????????11221111nnnnnnxyxyxyxyxxy????????????????????????注：表示，，，x的乘積，其余同理推廣形式的證明：推廣形式的證明：推廣形式證法一：推廣形式證法一：111222112112121212112112121212112nnnnnnnnnnnnnnnnnnnAxyAxyAxyx

6、xxxAAAxxxnAAAAAAyyyyAAAyyynAAAAAAnxAAA??????????????????????????????????????????????????????????????????????????記由平均不等式得同理可得上述個不等式疊加，得1????????????????????1121111112112211nnnnnnnnnnnnnnyAAAxyAAAxyxyxyxyxy????????????????