第十六章 偏導(dǎo)數(shù)與全微分

1、1第十六章第十六章偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分11偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念這部分要掌握的1、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微三個(gè)概念的定義；2、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微三個(gè)概念之間的關(guān)系；二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微的概念都是用極限定義的，不同的概念對(duì)應(yīng)不同的極限，切勿混淆?？紤]函數(shù)在點(diǎn)的情形，則它們分別為：)(yxf)(00yx在點(diǎn)連續(xù)定義連續(xù)定義為：)(yxf)(00yx)()(lim0000yxfyxfyyxx???在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)

2、數(shù)定義為：)(yxf)(00yx或000000)()(lim)(0xxyxfyxfyxfxxx????xyxfyxxfyxfxxx???????)()(lim)(0000000或000000)()(lim)(0yyyxfyxfyxfyyy????yyxfyyxfyxfyyy??????)()(lim)(0000000在點(diǎn)可微定義可微定義為：)(yxf)(00yx0)()()()(lim220000000000??????????????

3、???yxyyxfxyxfyxfyyxxfyxyx因此，要討論點(diǎn)的可微性，首先要求，。這三個(gè)概念之)(yxf)(00yx)(00yxfx)(00yxfy間的關(guān)系可以用下圖表示（在點(diǎn)）)(00yx3124在上述關(guān)系中，反方向均不成立。下面以點(diǎn)為例，逐一討論。)00()(00?yx42，43例1：?????????????000)(222222yxyxyxxyyxf這是教材中的典型例題，均存在，但在點(diǎn)不可微，且0)00()00(??yxff

4、)(yxf)00(不存在，即在點(diǎn)不連續(xù)。)(lim00yxfyx??)(yxf)00(，連xfyf續(xù)可微f連續(xù)f，存xfyf在322復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法求復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚各變量之間的關(guān)系。在求復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)時(shí)，尤其要搞清楚偏導(dǎo)函數(shù)各變量之間的關(guān)系。只有明確了變量之間的關(guān)系，才可能正確使用鏈?zhǔn)椒▌t。例1設(shè)為常數(shù)，函數(shù)二階可導(dǎo)，，證明ccrtgrv)(1??g222zyxr???22222

5、22221tvczvyvxv???????????證變量之間的關(guān)系為注意這里是某變量的一元函數(shù)，而。????????????tzyxrvgucrtu??因?yàn)椋瑇rrvxv???????2222222)(xrrvxrrvxv????????????由的對(duì)稱性得，zyx2222222)(yrrvyrrvyv????????????2222222)(zrrvzrrvzv????????????而，，rxxr???222rxrxrxr?????

6、?32222rxrrrxr????由的對(duì)稱性得，，zyxryyr??????22yr322ryr?，。rzzr??????22zr322rzr?于是][])()()[(22222222222222222zryrxrrvzryrxrrvzvyvxv??????????????????????????????322222223])()()[(rrrrvrzryrxrv?????????rrvrv222??????又因?yàn)?(1)(12crtg