851 一階方程組和高階方程 考慮一階常微分方程組的初值問

1、8.5.1 一階方程組和高階方程 考慮一階常微分方程組的初值問題：,8.5 一階方程組的數(shù)值解法,可見，式（8.5.2）在形式上與一個方程的初值問題一樣。關(guān)于一個方程的初值為體的數(shù)值方法均適用于方程組。相應(yīng)的理論問題也可類似地討論。下面僅寫出兩種數(shù)值方法作說明。,其中,因此，可用求解方程組形式的方法來求解（8.5.4）。,這兩個問題有同樣的解,8.5.2 剛性方程組,采用四階經(jīng)典R-K方法來計算上面的兩個問題，

2、以相同的誤差要求來自動選取步長，計算從 x=0 到 x=10 。第一個問題可用相當(dāng)大的步長，而第二個問題能使用的步長小到難以接受。如果改用某種低階隱式公式，那么這兩個問題均可用較大的步長，計算出大致符合要求的解來。上述顯示出來的現(xiàn)象稱剛性。問題2是剛性的，問題1是非剛性的。由于這兩個問題的解是相同的，因此這種現(xiàn)象不是問題的解的作用，而是方程組的一種特性所引起的。基于這個事實，較為正確的應(yīng)稱之為剛性方程組而不是剛性問題。

3、 考慮方程組的通解。對于問題1，方程組的系數(shù)矩陣特征值為 和 ，其通解為,其中 為任意常數(shù),其中 為任意常數(shù)。對于問題2，方程組的系數(shù)矩陣的特征值為 和 ，其通解為,數(shù)值計算中出現(xiàn)的現(xiàn)象可以用穩(wěn)定性來解釋。兩個問題的特征值都是實的，因此可只考慮穩(wěn)定區(qū)間。經(jīng)典 R-K 方

4、法的絕對穩(wěn)定區(qū)間近似為（-2.785，0）。對于問題1，如果 或 時，可以是穩(wěn)定的。對于問題2，要求 或 ，才能保證穩(wěn)定。由上可以看出，一定精度范圍內(nèi)，h 完全由絕對穩(wěn)定性決定。,由通解（8.5.6）可見，當(dāng)

5、 時，（8.5.6）右邊的第一項和第二項都趨于零，這兩項瞬態(tài)解。趨于零的快慢取決于特征值的大小。顯然，第二項很快趨于零，此項稱為快瞬態(tài)解，而第一項稱為慢瞬態(tài)解。（8.5.6）右邊的第三項稱為穩(wěn)態(tài)解。實際計算表明 ，當(dāng)?shù)诙椇芸熠呌诹阋院?，要使整個方程組的解趨于穩(wěn)態(tài)解，必須由第一項來決定計算終止與否。因此計算中，要在一個很長的區(qū)間上處處用小步長來計算，這就是剛性現(xiàn)象。 由（8.5.5）和（8.5.6）可見，計算

6、的步數(shù)與量 有關(guān)。 一般地，考慮非齊次常系數(shù)方程組,其中 為任意常數(shù)， 為（8.5.7）的特解。 假定特征值 的實部為負(fù)，即,現(xiàn)設(shè) A 的特征值按其實部的絕對值大小排列：,當(dāng)我們計算穩(wěn)態(tài)解時，必須求到 可以忽略為止，所以 越小，計算的區(qū)間越長。另一方面，為

7、使 均在絕對穩(wěn)定性區(qū)域內(nèi)，顯然， 的值大時，必須采用很小的步長 h 。因此，引入微分方程組（8.5.7）的剛性比,（8.5.8）,那么，我們似乎可以用剛性比來描述剛性方程組， 即方程組（8.5.7）中 A 的全部特征值有負(fù)的實部并剛性比 S 是大的，那么（8.5.7）是剛性的。 上述描述性定義有時也會發(fā)生一些不妥，比如，

8、該定義為能包含實際問題中常常出現(xiàn)的特征值實部為小的正數(shù)或等于零的情況。因此，我們引入下面的定義。,定義8.6 當(dāng)具有有限的絕對穩(wěn)定區(qū)域的數(shù)值方法應(yīng)用到一個任意初始條件的方程組時，如果在求解區(qū)間上必須用非常小的步長，則稱此方程組在該區(qū)間上是剛性的。 剛性方程組有其自身的特點，一般顯式方法難于應(yīng)用。梯形方法、隱 式Euler法對 h不 限制，可適用于一定類型的剛性方程組的求解。這里，我們不詳細(xì)討論剛性方程的求解。