matlab編程基礎(chǔ)與工程應(yīng)用第三章課件

1、MATLAb 編程基礎(chǔ)與工程應(yīng)用,機械工業(yè)出版社 王敏杰 朱連軒 潘金鳳,,,第三章 MATLAB數(shù)組及矩陣運算,大家都知道，MATLAB專門以矩陣作為基本的運算單位，從計算機編程角度而言，為了能夠與C語言等高級語言保持一定的相似性，MATLAB的矩陣在M語言中使用數(shù)組的形式來表示。一般而言，數(shù)組是有序數(shù)據(jù)的集合，在大多數(shù)編程語言中，數(shù)組的每一個成員（元素）都屬于同種數(shù)據(jù)類型，它們使用同一數(shù)組名稱和不同的下標來唯一確定數(shù)組中的成員（

2、元素），其中下標是指元素在數(shù)組中的序號。和一般編程語言類似，M語言的數(shù)組有一維、二維和多維數(shù)組的區(qū)別，其中一維數(shù)組也稱為向量。 需要特別說明的是對于MATLAB，大多數(shù)數(shù)據(jù)類型的數(shù)組中，每一個元素都是統(tǒng)一數(shù)據(jù)類型的元素。但是MATALB也有一種特殊的元胞數(shù)組，它的每一個元素數(shù)據(jù)類型卻不相同。,MTALTb,第三章 MATLAB數(shù)組及矩陣運算,3.1 MATLAB向量生成3.2 MATLAB矩陣生成3.3

3、MATLAB矩陣元素的訪問3.4 矩陣和數(shù)組元素的運算3.5 多維數(shù)組3.6 稀疏矩陣3.7 應(yīng)用實例——噪聲信號和門限判決,3.1 MATLAB向量生成,MATLAB中，一維數(shù)組也稱為向量。向量的創(chuàng)建共有三種方法：（1）冒號生成法。 （參看第2.3.3 MATLAB指令行中標點符號內(nèi)容）a1=1:5 %缺省步長為1a2=0:pi/3:pi %非整數(shù)步長a3=1:-0.

4、25:0 %負實數(shù)步長a1 = 1 2 3 4 5a2 = 0 1.0472 2.0944 3.1416a3 = 1.0000 0.7500 0.5000 0.2500 0（2）逐個元素輸入法。 這是最常用的構(gòu)造方法。如:>> a4=[0,pi/6,pi/3,2*pi/3,pi

5、]a4 = 0 0.5236 1.0472 2.0944 3.1416,（3）MATLAB函數(shù)生成法。 MATLAB有很多用來生成特殊形式數(shù)組的函數(shù)，下面列舉4個常用的生成向量的函數(shù)。,創(chuàng)建對數(shù)間隔向量的logspace函數(shù)。該函數(shù)基本語法為：x=logspace(a,b,n)，其中該函數(shù)創(chuàng)建的向量以10a、10b為左右端點，n為產(chǎn)生的向量元素的個數(shù)，元素彼此之間的間隔按照對數(shù)

6、空間的間隔設(shè)置。所以，logspace產(chǎn)生對數(shù)等間隔（1?n）行向量。>> y=logspace(1,3,6)y = 1.0e+003 * 0.0100 0.0251 0.0631 0.1585 0.3981 1.0000,創(chuàng)建線性間隔向量的linspace函數(shù)。該函數(shù)基本語法為：x=linspace(a,b,n)，其中a、b為左右端點，n為產(chǎn)生的向量元素的個數(shù)，函數(shù)將根據(jù)n的

7、數(shù)值平均計算元素之間的間隔，間隔的計算公式為： 𝑏?𝑎 𝑛?1 。所以，linspace產(chǎn)生線性等間隔（1?n）行向量。>> y=linspace(1,3,6)y = 1.0000 1.4000 1.8000 2.2000 2.6000 3.0000,創(chuàng)建均勻分布隨機數(shù)rand(1,n)由于rand(m,n)可以產(chǎn)生均勻分布的隨機（m

8、?n）的矩陣，所以當m=1時，即rand(1,n)產(chǎn)生均勻分布的隨機向量，數(shù)值范圍（0,1）。>> y=rand(1,5)y = 0.8147 0.9058 0.1270 0.9134 0.6324,全1數(shù)組ones(1,n)由于ones(m,n)可以產(chǎn)生元素全為1的（m?n）的矩陣，所以當m=1時，ones(1,n)產(chǎn)生元素全為1的行向量。>> y=ones(1,7)y

9、 = 1 1 1 1 1 1 1,3.2 MATLAB矩陣生成,矩陣一般具有m行n列，在編程語言中，矩陣和二維數(shù)組一般指的是同一個概念。在M語言中，向量可以看做矩陣（或二維數(shù)組）的特例。,3.2.1直接輸入法,對于較小的矩陣，可以從鍵盤上直接輸入。具體參看第2.1矩陣和數(shù)組。共有三個要素需要記住：整個輸入矩陣首尾必須加方括號“[ ]”。矩陣的行與行之間必須加分號“;”或按回車

10、鍵。矩陣元素之間可以使用逗號“,”，或者空格間隔。例2.1-1使用的是同行輸入法，還可以使用異行輸入法。>> y=[1,2,3 4,5,6 7,8,9]y = 1 2 3 4 5 6 7 8 9需要說明的是，在第一行“1,2,3”輸入，并按鍵后，光標下移一行。在輸入4之前需要按一個空格鍵，然后再輸入“4,5,6”。按鍵后，光標下移一行

11、，先按一個空格鍵，然后再輸入“7,8,9]”。,3.2.2數(shù)組編輯器創(chuàng)建法,當矩陣（數(shù)組）元素比較多，矩陣較大時，使用直接輸入法就很不方便了。此時可以借助數(shù)組編輯器來完成矩陣的輸入。下面舉例說明具體的創(chuàng)建方法和創(chuàng)建步驟。,【例3.2-1】試用數(shù)組編輯器，把如下（3?5）數(shù)組輸入MATLAB內(nèi)存，并命名為變量rad。 0.1419 0.7922 0.0357 0.6787 0.3922

12、 0.4218 0.9595 0.8491 0.7577 0.6555 0.9157 0.6557 0.9340 0.7431 0.1712（1）點擊工作空間瀏覽器（Workspace）中的 （new variable）圖標，便在工作空間中引出了一個名為unnamed的變量，如圖4-1、4-2所示。,圖3-1 new variable圖標,圖3-2

13、Workspace中新產(chǎn)生的unnamed變量,（2）將光標閃動的“unnamed”修改為rad。（3）雙擊變量“rad”，彈出圖3-3所示的變量編輯器空白界面。數(shù)組中，除第一元素為0外，其余均為空白。雙擊空白的單元格，可以按照行和列輸入數(shù)據(jù)。,圖3-3 變量編輯器空白界面,圖3-4變量編輯器輸入數(shù)據(jù)后的界面,變量輸入并保存后，可以用whos命令查詢。>> whos Name Size

14、 Bytes Class Attributes rad 3x5 120 double,假如該變量供以后調(diào)試用，可以選擇MATALB的菜單項“File”→“Save workspace as ….”，保存為擴展名為.mat的文件，例如上述數(shù)據(jù)保存為example32_1.mat文件。生成的example32_1.mat文件，可以通過“l(fā)oad”命令加載外部數(shù)據(jù)文

15、件創(chuàng)建矩陣。在命令行窗口中輸入：>> load example32_1則MATLAB會自動創(chuàng)建變量名為rad的矩陣。,3.2.3 M文件創(chuàng)建法,對于經(jīng)常調(diào)用的矩陣，當數(shù)據(jù)規(guī)模較大時，可以為它專門建立一個M文件。,【例3.2-2】用M文件創(chuàng)建法，創(chuàng)建例3.2-1數(shù)據(jù)的矩陣。打開M文件編輯器（Editor/Debugger），并在空白處輸入所需要的數(shù)組。,圖4-5 M文件編輯器中創(chuàng)建矩陣界面,將上述文件保存為exampl

16、e32_2.m。在需要rad矩陣時可以直接用運行鍵運行該文件，或在命令行窗口運行該文件，就會自動生成名為rad的矩陣，并存儲在MATLAB內(nèi)存當中。運行后在Workspace可以看到rad矩陣。>> example32_2rad = 0.1419 0.7922 0.0357 0.6787 0.3922 0.4218 0.9595 0.8491 0.7577

17、0.6555 0.9157 0.6557 0.9340 0.7431 0.1712,3.2.4 MATLAB函數(shù)生成法,MATLAB提供若干個生成特殊矩陣（或數(shù)組）的函數(shù)，表3-1所示。,表3-1 經(jīng)典矩陣（或數(shù)組）生成函數(shù),【例3.2-3】用MATLAB的指令產(chǎn)生矩陣示例。 在Editor窗口中編輯如下指令，并保存為example32_3.m文件,a1=zeros(3,4) a2=o

18、nes(3,4)a3=eye(3)a4=rand(3,4)a5=randn(3,4)a6=randi(10,2,5)a7=randperm(8)a9=magic(3)a10=diag(a9)a11=tril(a9)a12=triu(a9)>> example32_3a1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19、 0 0a2 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,a3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1a4 = 0.1920 0.0938 0.8611 0.6714 0.1389 0.5254

20、 0.4849 0.7413 0.6963 0.5303 0.3935 0.5201a5 = -0.6086 -1.3429 -0.4189 -0.3001 -1.2226 -1.0322 -0.1403 1.0294 0.3165 1.3312 0.8998 -0.3451a6 = 7 5 4 3

21、 9 8 1 5 2 5a7 = 8 7 2 4 6 3 5 1a9 = 8 1 6 3 5 7 4 9 2,a10 = 8 5 2a11 = 8 0 0 3 5

22、0 4 9 2a12 = 8 1 6 0 5 7 0 0 2,3.3 MATLAB矩陣元素的訪問,前面兩小節(jié)講述了MATLAB向量和矩陣的生成，生成后的矩陣元素是按列存儲在MATLAB存儲空間的。運行第3.2.3中的example32_2.m文件，產(chǎn)生例3.2-1中的rad矩陣。,>> example32_2rad =

23、 0.1419 0.7922 0.0357 0.6787 0.3922 0.4218 0.9595 0.8491 0.7577 0.6555 0.9157 0.6557 0.9340 0.7431 0.1712對于rad矩陣，MATLAB的存儲順序是0.1419，0.4218，0.9157，0.7922，0.9595，0.6777,0

24、.0357…..，MATLAB可以用索引，也可以用下標來引用數(shù)組元素。對于索引和下標的區(qū)別，可以參考表3-2。,表3-2 矩陣的索引和下標,從上面的例子中已經(jīng)很清晰的說明了下標和索引的區(qū)別了，也就是說MATLAB為每個元素分配了一個唯一識別的ID(即索引)。表3-2的第二列是索引，第三列是下標。因此矩陣中的元素可以通過它的行，列下標來引用，即全下標的方式來引用；也可以使用單下標的方式來引用，即索引的方式來引用。需要大家注意的是MATLA

25、B的下標是可以多行、多列同時引用的，這和C語言每次只能引用一個是不同的。表3-3羅列了使用單下標或全下標訪問矩陣的常用格式。,表3-3訪問矩陣的常用格式,對于3?5的矩陣rad，可以采用單下標引用它的元素，rad(k)是按列存儲的第k個元素。>> rad(5)ans =0.9595訪問由向量L為[1 10 5 2 1 3]指定的矩陣rad的元素。>> rad([1 10 5 2 1 3])ans =

26、 0.1419 0.6787 0.9595 0.4218 0.1419 0.9157 如果試圖引用的下標超出矩陣的下標范圍，系統(tǒng)則會給出出錯信息。>> rad(20)??? Index exceeds matrix dimensions.,對矩陣rad(i,j)，如果將一個值賦給矩陣外的元素，MATLAB會自動增加矩陣的大小，以容納這個新元素，而相應(yīng)增加其他元素，且都被賦值為0

27、。>> rad(1,6)=20rad = 0.1419 0.7922 0.0357 0.6787 0.3922 20.0000 0.4218 0.9595 0.8491 0.7577 0.6555 00.9157 0.6557 0.9340 0.7431 0.1712 0rad(2:3,3:-1

28、:1)表示引用數(shù)組中的2~3行，3~1列對應(yīng)的元素。>> rad(2:3,3:-1:1)ans = 0.8491 0.9595 0.4218 0.9340 0.6557 0.9157rad(:,end)表示引用最后一列元素，“:”表示所有列或行，“end”表示最后一列或列，“end-n”表示倒數(shù)第n行或列。>> rad(:,end)ans = 0.3922

29、 0.6555 0.1712,rad(1,end-1)表示引用第1行倒數(shù)第2個元素。>> rad(1,end-1)ans = 0.6787rad([2 1 3 3],[1 1 2 2 1])表示生成了一個按兩個向量引用指定的元素（可以重復(fù)訪問向量中的元素），即rad中的第2,1,3,3行以及第1,1,2,2,4,5列的元素。>> rad([2 1 3 3],[1 1 2 2 4 5

30、])ans = 0.4218 0.4218 0.9595 0.9595 0.7577 0.6555 0.1419 0.1419 0.7922 0.7922 0.6787 0.3922 0.9157 0.9157 0.6557 0.6557 0.7431 0.1712 0.9157 0.9157 0.65

31、57 0.6557 0.7431 0.1712,3.4 矩陣和數(shù)組元素的運算,3.4.1 基本數(shù)學(xué)運算函數(shù),MATLAB基本數(shù)學(xué)運算函數(shù)有三角函數(shù)、指數(shù)運算函數(shù)、復(fù)數(shù)運算函數(shù)、圓整和求余函數(shù)，分別如表3-4、表3-5、表3-6、表3-7所示。需要說明的是，這些函數(shù)的參數(shù)可以是矩陣，也可以是向量或者多維數(shù)組，函數(shù)在處理參數(shù)時，都是按照數(shù)組運算規(guī)則來進行的。在MATLAB中還存在一類函數(shù)，用來獲取矩陣或數(shù)組的信息，以及對

32、矩陣（數(shù)組）進行操作。表3-8中列出了較常用的操作函數(shù)。在MATLAB中，獲取基本運算函數(shù)，請使用MATLAB的在線幫助；在命令行窗口中輸入：,>> help elfun Elementary math functions. Trigonometric. sin - Sine. sind - Sine of argument in degrees.……有關(guān)每個函數(shù)

33、的具體使用語法，請參閱MATLAB的在線幫助文檔。,表3-4三角函數(shù),在命令行窗口直接輸入：>> n=3:6;>> cos(pi./n)+sec(pi./n)ans = 2.5000 2.1213 2.0451 2.0207>> tan(3.*n*180./pi)ans = 0.4718 -0.4947 -4.6665 1.2137>&g

34、t; tan(3*pi/5),表3-5指數(shù)運算函數(shù),說明：以real開頭的函數(shù)僅能處理實數(shù)。realpow函數(shù)的語法為：Z = realpow(X,Y)，是將實數(shù)矩陣X中的每個元素提高Y矩陣對應(yīng)元素的冪，其中X、Y矩陣同尺寸。Z矩陣為realpow的輸出實數(shù)矩陣。,>> m=4:2:8;>> log(m)ans =1.3863 1.7918 2.0794>> reallog(5

35、)ans =1.6094,>> reallog(2+i) %reallog處理復(fù)數(shù)，會報錯??? Error using ==> reallogReallog produced complex result. >> log(2+i)ans = 0.8047 + 0.4636i>> k=[1,2;3,4];>> log10(k)ans =

36、 0 0.3010 0.4771 0.6021>> log2(5)ans = 2.3219>> pow2(k)ans = 2 4 8 16,【例3.4-1】實數(shù)冪運算函數(shù)realpow函數(shù)示例。,>> X = -2*ones(3,3)X = -2 -2 -2 -2 -2 -2

37、 -2 -2 -2>> Y = pascal(3)Y = 1 1 1 1 2 3 1 3 6>> realpow(X,Y)ans = -2 -2 -2 -2 4 -8 -2 -8 64,例3.4-1顯示X矩陣的2行2列元素提高到Y(jié)矩陣2行2列元素的冪，同

38、理類推新生成的矩陣ans的2行3列，3行2列，3行3列元素為(-2)3、(-2)3、(-2)6。,nextpow2函數(shù)時用來計算僅僅比輸入?yún)?shù)大的2的冪。例如輸入?yún)?shù)為m，函數(shù)計算結(jié)果整數(shù)n需要滿足的條件 2 𝑛 ≥𝑎𝑏𝑠(𝑚)≥ 2 𝑛?1 。>> nextpow2(18)ans = 5,【例3.4-2】計算比僅僅

39、18大的2的冪。,表3-6指數(shù)運算函數(shù),說明：complex函數(shù)語法為z = complex(x,y) ，函數(shù)創(chuàng)建復(fù)數(shù)z，輸入的x，y必須同為變量或維數(shù)相同、相同數(shù)據(jù)類型的向量、矩陣或者多維數(shù)組。輸出的結(jié)果跟輸入的維數(shù)相同，返回值為x+y*i；y=complex(x) 返回結(jié)果為實部為x，所有虛部為0的復(fù)數(shù)，等價于y=complex(x,0)。,>> x = complex(22,54)x = 22.0000 +54

40、.0000i>> x = complex(3:6,2:5)x = 3.0000 + 2.0000i 4.0000 + 3.0000i 5.0000 + 4.0000i 6.0000 + 5.0000i>> abs(x)ans = 58.3095>> angle(x) %單位為弧度ans =1.1839>> angle(x)*180/

41、pi %計算為度的單位ans = 67.8337>> conj(x)ans = 22.0000 -54.0000i,【例3.4-3】創(chuàng)建復(fù)數(shù)示例。,表3-7圓整和求余函數(shù),說明：rem/mod(x,y)，當x與y具有相同符號時，兩者相等；但是當兩者符號不同，兩者不同。R = rem(x,y) ，如果y?0，返回 x - n.*y， 其中 n = fix(x./y)。M = mod(x,y) ，如果

42、y?0，返回 x - n.*y， 其中n = floor(x./y)。>> rem(11,-3)ans = 2>> mod(11,-3)ans =-1,>> m=[0.2875 0.9985 1.002];>> floor(m)ans = 0 0 1>> ceil(m)ans = 1 1 2>

43、;> fix(m)ans = 0 0 1>> round(m)ans = 0 1 1>> X=[-0.231 0 0.52];>> sign(X)ans = -1 0 1,表3-8矩陣（數(shù)組）常用操作函數(shù),仍然運行example32_2.m文件，產(chǎn)生rad矩陣。>> size(rad)ans

44、= 3 5>> length(rad)ans = 5>> ndims(rad)ans = 2>> numel(rad),ans = 15>> disp(rad) 0.1419 0.7922 0.0357 0.6787 0.3922 0.4218 0.9595 0.8491 0

45、.7577 0.65550.9157 0.6557 0.9340 0.7431 0.1712,3.4.2 矩陣和數(shù)組的基本運算,MATLAB對數(shù)組和矩陣提供了分別提供了運算方法—“矩陣算法”和“數(shù)組算法”?！熬仃囁惴ā彼惴ㄊ前丫仃嚳醋鲆粋€整體，各種運算完全按照線性代數(shù)中的矩陣運算法則進行，運算的書寫形式和運算符號都與矩陣理論完全一致。“數(shù)組算法”就是把矩陣看做由其元素構(gòu)成的一組“數(shù)組”，運算時對應(yīng)元素之間

46、數(shù)與數(shù)的運算。這種算法適用于大批數(shù)據(jù)的處理和一次求出多個函數(shù)值。在MATLAB中獲取矩陣（線性代數(shù)）的運算函數(shù)，請在MATLAB命令行窗口輸入：>> help matfun Matrix functions - numerical linear algebra. Matrix analysis. norm - Matrix or vector norm.normest - Es

47、timate the matrix 2-norm.……,（1）矩陣的基本運算表3-9列出了矩陣基本運算及對應(yīng)的含義說明，其中假設(shè)A、B為矩陣，a為標量,【例3.4-4】求解方程組 ?𝑥+𝑦+2𝑧=2 3𝑥?𝑦?𝑧=6 ?𝑥+3𝑦+4𝑧=4 在數(shù)學(xué)上該方程可以寫為：A= ?1 1

48、 2 3 ?1 ?1 ?1 3 4 ，B= 2 6 4 ?1 1 2 3 ?1 ?1 ?1 3 4 𝑥 𝑦 𝑧 = 2 6 4 𝑥 𝑦 𝑧 = ?1 1 2 3 ?1 ?1 ?1 3 4 ?1 2 6 4,在Editor窗

49、口編輯如下代碼行A=[-1 1 2;3 -1 1;-1 3 4];B=[2;6;4];X1=inv(A)*BX2=A\B運行example34_1.m,X1 = 1.0000 -1.0000 2.0000X2 = 1.0000 -1.0000 2.0000,x1與x2相同，A\B相當于矩陣方程AX=B的解，即inv(A)*B。而A/B相當于矩陣方程XB=A的解，即A*inv(B)。

50、,【解】程序example34_5.m： clear;A=[2i,3+i,4;2+6i,3,4+2i;5,6,9+4i]b=A' %求轉(zhuǎn)置矩陣c=conj(A)d=A^2e=3+Af=det(A) %求矩陣的行列式。行列式不為0，可以求出逆矩陣g=inv(A) %求逆矩陣h=eig(A) %求矩陣A的全部特征值構(gòu)成矩陣hv=[1 2 3];

51、x=diag(v, 3) %創(chuàng)建對角矩陣，對角元素為v向量，返回3+3階方陣Xy=diag(v) %向量v為主對角線元素,運行后結(jié)果為：A = 0 + 2.0000i 3.0000 + 1.0000i 4.0000 2.0000 + 6.0000i 3.0000 4.0000 + 2.0000i 5.0000 6

52、.0000 9.0000 + 4.0000ib = 0 - 2.0000i 2.0000 - 6.0000i 5.0000 3.0000 - 1.0000i 3.0000 6.0000 4.0000 4.0000 - 2.0000i 9.0000 - 4.0000ic =

53、 0 - 2.0000i 3.0000 - 1.0000i 4.0000 2.0000 - 6.0000i 3.0000 4.0000 - 2.0000i 5.0000 6.0000 9.0000 - 4.0000id = 1.0e+002 * 0.1600 + 0.2000i 0.3100 + 0.09

54、00i 0.4600 + 0.3400i 0.1400 + 0.3200i 0.3300 + 0.3200i 0.4800 + 0.6400i 0.5700 + 0.6600i 0.8700 + 0.2900i 1.0900 + 0.8400ie = 3.0000 + 2.0000i 6.0000 + 1.0000i 7.0000 5.0000 + 6.0000i

55、 6.0000 7.0000 + 2.0000i 8.0000 9.0000 12.0000 + 4.0000i,f = 1.1800e+002 +2.0000e+001ig = 0.0247 - 0.0042i -0.0211 - 0.1744i -0.0025 + 0.0852i 0.1416 - 0.4647i -0.2055 + 0.1

56、874i 0.1212 + 0.1151i 0.0256 + 0.3008i 0.1138 - 0.0786i -0.0195 - 0.1153ih = 13.9778 + 4.9197i -0.9328 + 3.2377i -1.0449 - 2.1574ix = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2

57、 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y = 1 0 0 0 2 0 0 0 3,（2）矩陣的分

58、解,矩陣分解是將一個矩陣分解為幾個“較簡單”矩陣的連乘積的形式。表3-10提供4種矩陣分解的函數(shù)。,①對稱正定矩陣的Cholesky分解R=chol(A)；對稱正定矩陣的Cholesky分解，其中X為對稱正定矩陣。Cholesky分解是把一個對稱正定矩陣X分解為一個上三角矩陣R與其轉(zhuǎn)置的乘積，即X=R’*R。一個對稱矩陣能夠進行Cholesky分解的條件是矩陣是正定的，即矩陣所有對角元素都是正數(shù)，同時矩陣非對角元素不會太大。例如x

59、=pascal(4)，對其進行Cholesky分解為：>> x=pascal(4)x = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20>> R=chol(x)R = 1 1 1 1 0 1 2

60、 3 0 0 1 3 0 0 0 1,②LU分解[L,U]=lu(A)；A為一個方陣，L為“心里”下三角矩陣，U為上三角矩陣。LU分解是將任意一個方陣分解為一個“心里”下三角矩陣L與一個上三角矩陣U的乘積，即A=L*U?！靶睦铩毕氯蔷仃囀窍氯蔷仃嚺c置換矩陣的乘積。[L,U,P]=lu(A)；A為一個方陣，L為下三角矩陣，U為上三角矩陣，P為置換矩陣；滿足P

61、*A=L*U的關(guān)系。在命令行窗口輸入A，并進行LU分解： >> A=[1 2 3;2 5 2;3 1 5]A = 1 2 3 2 5 2 3 1 5>> [l,u]=lu(A) % l存儲的心里下三角矩陣，u存儲上三角矩陣l = 0.3333 0.3846 1.0000

62、0.6667 1.0000 0 1.0000 0 0u = 3.0000 1.0000 5.0000 0 4.3333 -1.3333 0 0 1.8462,>> [L,U,P]=lu(A) %L為下三角矩陣，U為上三角矩陣，P為置換矩陣。L = 1.

63、0000 0 0 0.6667 1.0000 0 0.3333 0.3846 1.0000U = 3.0000 1.0000 5.0000 0 4.3333 -1.3333 0 0 1.8462P = 0 0 1 0 1

64、 0 1 0 0,③矩陣奇異值分解[U,S,V]=sud(A)；對于m?n的矩陣A，如果存在m?m的酉矩陣U和n?n的酉矩陣V（酉矩陣即為滿足XHX=XXH=E, XH為X的共軛轉(zhuǎn)置矩陣），使得A=U*S*V，其中S為一個m?n的矩陣的非負對角矩陣，且對角元素值降序排列，則A=U*S*V為A的奇異值分解。U、S、V稱為矩陣A的奇異值分解的三對組。在命令行窗口輸入A，并進行奇異值分解：>>

65、; A=[1 2 3;2 5 2;3 1 5]A = 1 2 3 2 5 2 3 1 5>> [u,s,v]=svd(A)u = -0.4437 0.0476 -0.8949 -0.6139 -0.7436 0.2648 -0.6529 0.6669 0.3592s = 8.2667

66、 0 0 0 3.6074 0 0 0 0.8048v = -0.4391 0.1555 0.8849 -0.5576 -0.8194 -0.1327 -0.7044 0.5517 -0.4466,④正交三角分解[Q,R]=qr(A); 其中矩陣R為與矩陣A 具有相同大小的上

67、三角矩陣，Q為正交矩陣。矩陣的正交分解是把一個m?n的矩陣A分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積，即A=Q*R。因此矩陣的正交分解也稱為QR分解。在命令行窗口輸入A，并進行正交分解：>> [Q,R]=qr(A)Q = 0.2673 0.2488 0.9309 0.5345 0.7656 -0.3581 0.8018 -0.5933 -0.0716R =

68、 3.7417 4.0089 5.8797 0 3.7321 -0.6890 0 0 1.7187,（3）非線性矩陣運算函數(shù),說明：注意expm()、logm()、sqrtm()和exp()、log()、sqrt()的區(qū)別，前三個是針對矩陣，按矩陣運算規(guī)則進行運算，而后三個是按數(shù)組規(guī)則進行運算的。,①矩陣指數(shù)運算：如果矩陣X的特征向量為V，相應(yīng)的特

69、征值為D，即[V,D] = eig(X)，那么 expm(X) = V*diag(exp(diag(D)))/V計算矩陣A的指數(shù)>> A=[1 1 0;0 0 2;0 0 -1]A = 1 1 0 0 0 2 0 0 -1>> [v,d]=eig(A)v = 1.0000 -0.7071 0.4082

70、 0 0.7071 -0.8165 0 0 0.4082d = 1 0 0 0 0 0 0 0 -1,>> diag(d)ans = 1 0 -1>> expm(A)ans = 2.7183 1.7183 1.0862

71、 0 1.0000 1.2642 0 0 0.3679>> exp(A)ans = 2.7183 2.7183 1.0000 1.0000 1.0000 7.38911.0000 1.0000 0.3679,②矩陣對數(shù)運算 矩陣對數(shù)運算是矩陣指數(shù)運算的逆運，logm(expm(A)) = A = exp

72、m(logm(A))。例如再對expm(A)矩陣進行對數(shù)運算。>> A=[1 1 0;0 0 2;0 0 -1];>> B=expm(A)B = 2.7183 1.7183 1.0862 0 1.0000 1.2642 0 0 0.3679>> C=logm(B)C = 1.0000 1.