平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積

1、作業(yè)：下周一交(12月4號）,第四次作業(yè) (一) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23 (二)2, 3(1)(3)(5), 4 (3)(5)(7)(11)(13)(15)(17) 6(1)(3)(5)(9),9,12,14,16(1)(3)(5), 18(1),19 21(1)(3)(5)(7)(9),23,25,26(1),29(3),第四節(jié) 微積分基本公式,一、變速直線運動中

2、位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系,,,,,,,,,,,,,,,變上限積分的求導(dǎo)公式,定積分的換元法,,第五節(jié) 廣義積分,,,,,,,,,,,,,,,,,,◆定積分的元素法,復(fù)習(xí)曲邊梯形的面積計算方法（演示）,定積分的元素法分析（演示）,定積分的元素法（演示）,,應(yīng)用定積分的元素法解決問題時，關(guān)鍵在于確定積分元素f(x)dx 和積分區(qū)間[a ,b]。,一般地：若所量U與變量的變化區(qū)間[a , b]有關(guān)，且關(guān)于[a , b]具有可加性，在

3、[a , b]中的任意一個小區(qū)間[x , x+dx]上找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定積分表達式 這種方法叫做定積分的元素法。 dU=f(x)dx稱為所求量U的元素。,◆直角坐標(biāo)系下的平面圖形的面積（演示）,1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所圍成的平面圖形的面積為,2、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及 y=g (x) 所圍平面

4、圖形的面積為,3、 由y= c ， y= d ,x=0 及 x=φ (y) 所圍平面圖形的面積為,◆平面圖形的面積例題選舉,例1 計算由 及 所圍成的圖形的面積。,例2 計算由曲線 和 所圍成的圖形的面積。,例3 計算由 和 所圍成的圖形的面積。,例4 求橢圓

5、 的面積。,解,練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。,（1）,（2）,練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。,（4）,（5）,,一般地：如右圖中的陰影部分的面積為,練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。,（6）,或,法一：以 y 作積分變量,法二：以 x 作積分變量,（7）,練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。,例 4 求由下列給定曲

6、線所圍成的圖形面積。,星形線,解由圖形的對稱性可得,,,,a,b,旋轉(zhuǎn)體的概念——平面圖形繞同一平面上某一定直線（旋轉(zhuǎn)軸） 旋轉(zhuǎn)一周所得的立體（演示）。,◆旋轉(zhuǎn)體的體積,示例：圓錐、圓柱、圓臺、球等都是旋轉(zhuǎn)體（演示）。,◆旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式,1、旋轉(zhuǎn)軸為 x 軸（演示）,由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體

7、的體積為,由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為,2、旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸（演示）,◆旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式,例 1 連接坐標(biāo)原點 O 及點 P( h , r) 的直線，直線 x=h及 x軸圍成一個直角三角形，將它繞 x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為 r，高為 h的圓錐體，計算圓錐體的體積。,解 如圖所示,體積元素為,直線OP的方程為,所求體積為,返回,例3 計算

8、由曲線 y=x2 與 x=y2 所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積。,解 如圖所示,V2,V1,◆練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式,,,繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,,◆練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式,繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,,軸,軸,◆練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,◆練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,例4 求由曲線