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1、第一章第一章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)11已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為:,23010ttx???。式中x、y的單位為m,t的單位為s。試22015tty??求:(1)初速度的大小和方向;(2)加速度的大小和方向。分析分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向解(1)速度的分量式為ttxx6010dd????vttyy4015dd???v當(dāng)t=0時(shí)vox=10ms1voy=15ms1則初速度大小為1202
2、00sm0.18?????yxvvv設(shè)vo與x軸的夾角為α則23tan00???xyαvvα=12341′(2)加速度的分量式為2sm60dd????taxxv2sm40dd?????tayyv則加速度的大小為222sm1.72?????yxaaa設(shè)a與x軸的夾角為β則32tan???xyaaββ=3341′(或32619′)12一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng)?,F(xiàn)測(cè)得其加速度a=ABv,式中A、B為正恒量,
3、求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程。分析分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù)因此需將式dv=a(v)dt分離變量為后再兩邊積分tad)(d?vv解選取石子下落方向?yàn)閥軸正向下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)由題(1)vvBAta???dd用分離變量法把式(1)改寫為(2)tBAdd??vv將式(2)兩邊積分并考慮初始條件有????ttBA0ddd0vvvvv得石子速度)1(BteBA???v由此可知當(dāng)t→∞時(shí)為一常量通常稱
4、為極限速度BA?v或收尾速度(2)再由并考慮初始條件有)1(ddBteBAty????vteBAytBtyd)1(d00?????得石子運(yùn)動(dòng)方程)1(2????BteBAtBAy13一個(gè)正在沿直線行駛的汽船,關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后,由于阻力得到一個(gè)與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度,即a=kv2,k為常數(shù)。在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后,試證:(1)船在t時(shí)刻的速度大小為;100??tkvvv(2)在時(shí)間t內(nèi),船行駛的距離為01ln(1)xvktk??;
5、(3)船在行駛距離x時(shí)的速率為v=v0e?kx。[證明證明](1)分離變數(shù)得2ddvktv??,故020ddvtvvktv????,可得:011ktvv??(2)公式可化為001vvvkt??,由于v=dxdt,所以:00001ddd(1)1(1)vxtvktvktkvkt?????積分00001dd(1)(1)xtxvktkvkt?????因此01ln(1)xvktk??二階導(dǎo)數(shù)即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v和加速度的切向分量at而加速度的法
6、向分量為an=v2R這樣總加速度為a=atet+anen至于質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程即為曲線坐標(biāo)的改變量Δs=sts0因圓周長(zhǎng)為2πR質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)自然可求得解(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為btts???0ddvv其加速度的切向分量和法向分量分別為btsat???22ddRbtRan202)(???vv故加速度的大小為2402222)(RbtbRaaatn?????v其方向與切線之間的夾角為??????????Rbbtaaθtn20)(
7、arctanarctanv(2)要使|a|=b由可得bbtbRR???4022)(1vbt0v?(3)從t=0開始到t=v0b時(shí)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為bssst2200v???因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為bRRsnπ4π220v??19已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為:,式中thztRytRx????2sincos???為正的常量。求:(1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方?、、hR程;(2)質(zhì)點(diǎn)的速度大??;(3)質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。解:(1)軌道方程為222Ryx??thz??
8、2?這是一條空間螺旋線。在O平面上的投影為圓心在原點(diǎn),半徑為R的xy圓,螺距為h(2)tRdtdxvx??sin???2222224??hRvvvvzyx?????(3)tRax??cos2??tRay??sin2??,0?za222?Raaayx???1-10飛機(jī)以100ms1的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100m時(shí),駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)處。問(wèn):(1)此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)下方前多遠(yuǎn)?(2)投放物品時(shí),駕駛員看目標(biāo)的視線和水
9、平線成何角度?(3)物品投出2s后,它的法向加速度和切向加速度各為多少?解:(1)212ygtt22452ygyxvmg????=,=(2)?5.12???xyarctg(3)02222202222222nvgtvdvgtdtgt1.9610.0(m9.8010.0(9.629.8)tttntavamsgaaagagamsgms??????????????2=()==()或1.88sg=9.8)或,g=1-11一無(wú)風(fēng)的下雨天,一列火車以
10、v1=20ms的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75角下降,求雨滴下落的速度v2。(設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))解:以地面為參考系,火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為V1雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為V2,旅客看到雨滴下落速度V2’為相對(duì)速度,它們之間的關(guān)系為221vvv?????121755.36vvtgms?????1-12升降機(jī)以加速度a0=1.22ms?2上升,當(dāng)上升速度為2.44ms?1時(shí),有一螺帽自升降機(jī)的天花板脫落,天
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