1奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)的性質(zhì)設(shè)是奇函數(shù).)(xf(1)若有意義，則；)0(f0)0(?f(2)若，則；axfxg??)()(axgxg2)()(???(3)若函數(shù)有最大(小)值，則函數(shù)有最小(大)值，且函數(shù)的最大值與最)(xf)(xf)(xf小值互為相反數(shù).證明證明(1)在恒等式中，令后，可得.0)()(???xfxf0?x0)0(?f(2)可

2、得.aaxfaxfxgxg2])([])([)()(????????(3)這里只證明結(jié)論：若函數(shù)有最大值，則函數(shù)有最小值，且函數(shù)的)(xf)(xf)(xf最大值與最小值互為相反數(shù).設(shè)函數(shù)的定義域是D，得.)(xf)()(00xfxfDxDx?????因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，得)(xfDxDx????，所以函數(shù)有最小值(為Dxxfxfxfxfxfxf??????????0000)()()()()()()(xf)，且函數(shù)的最

3、大值與最小值互為相反數(shù).)(0xf?)(xf題1(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)1必修A版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83頁(yè)第3(2)題)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)為奇函數(shù)？122)(???xaxf解由奇函數(shù)的性質(zhì)(1)，可得.101)0(????aaf還可驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，即是奇函數(shù).1?a0)()(???xfxf)(xf所以存在實(shí)數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù).1?a)(xf題2(2007年高考安徽卷理科第11題)定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，

4、又是周)(xf期函數(shù)，是它的一個(gè)周期，若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，T0)(?xf][TT?n則可能為()nA.0B.1C.3D.5題7若函數(shù)的最大值與最小值分別是Mm，則xxxxxxfcos224sin2)(22????????????()A.Mm=4B.Mm=4C.Mm=2D.Mm=2解D.可得.xxxxxfcos2sin1)(2????可得是奇函數(shù)，且函數(shù)的最大值、最小值分別是xxxxxfxgcos2sin1)()(2????

5、?)(xg.11??mM由奇函數(shù)的性質(zhì)(3)，可得.20)1()1(??????mMmM2偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用偶函數(shù)的性質(zhì)偶函數(shù)的性質(zhì)(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，則恒成立；()()fxxD?()()()fxfxxD??(2)若偶函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)，則；0x?(0)0f??(3)若偶函數(shù)f(x)的定義域是(可得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，是數(shù)集的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)DDABD稱的兩個(gè)子集，則函數(shù)f(x)在數(shù)集上的值域相同.AB證明證明(1)當(dāng)且

6、時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，0?xDx?)()()(xfxfxf???0?xDx?.所以欲證結(jié)論成立.)()(xfxf?(2)由題設(shè)，可得0()(0)(0)limxfxffx?????0000()(0)()(0)()(0)()(0)(0)limlimlimlimxxxtfxffxffxfftffxxxt????????????????????????所以(0)(0)ff????(0)0f??(3)由偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，立得欲證結(jié)論成立.