一輪復(fù)習(xí)配套講義第12篇 第3講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用

1、第3講數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用[最新考綱]1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.知識(shí)梳理1數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示辨析感悟1數(shù)學(xué)歸納法原理(1)用數(shù)

2、學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用()2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用(4)(教材習(xí)題改編)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為12n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于3.(√)審題路線(1)代入等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求an，bn；(2)注意到所證結(jié)論是關(guān)于“n”的命題，可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)解由a1＝2，公差d＝3，∴a

3、n＝a1＋(n－1)d＝3n－1.在等比數(shù)列bn中，公比q＝2，首項(xiàng)b1＝2，∴bn＝22n－1＝2n.(2)證明①當(dāng)n＝1時(shí)，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)＝ak＋1b1＋qTk＝ak＋1b1＋q(

4、－2ak＋10bk－12)＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.因此n＝k＋1時(shí)等式也成立由①、②可知，對(duì)任意n∈N，Tn＋12＝－2an＋10bn成立規(guī)律方法(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少(2)由n＝k時(shí)等式成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差