數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

1、專題專題3939數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在證明等式、證明不等式、證明整除性問(wèn)題、歸納猜想證明等本專題主要舉例說(shuō)明利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題.1、數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍：關(guān)于正整數(shù)n的命題（例如數(shù)列，不等式，整除問(wèn)題等），則可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明2、第一數(shù)學(xué)歸納法：通過(guò)假設(shè)nk?成立，再結(jié)合其它條件去證1nk??成立即可.證明的步驟如下：（1）歸

2、納驗(yàn)證：驗(yàn)證0nn?（0n是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)??0nkknnN???成立，證明當(dāng)1nk??時(shí)，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：0nnnN??時(shí)，命題均成立3、第一歸納法要注意的地方：（1）數(shù)學(xué)歸納法所證命題不一定從1n?開始成立，可從任意一個(gè)正整數(shù)0n開始，此時(shí)歸納驗(yàn)證從0nn?開始（2）歸納假設(shè)中，要注意0kn?，保證遞推的連續(xù)性（3）歸納假設(shè)中的nk?，命題成立，是證明1nk??命題成立的重要

3、條件.在證明的過(guò)程中要注意尋找1nk??與nk?的聯(lián)系4、第二數(shù)學(xué)歸納法：在第一數(shù)學(xué)歸納法中有一個(gè)細(xì)節(jié)，就是在假設(shè)nk?命題成立時(shí)，可用的條件只有nk?，而不能默認(rèn)其它nk?的時(shí)依然成立.第二數(shù)學(xué)歸納法是對(duì)第一歸納法的補(bǔ)充，將歸納假設(shè)擴(kuò)充為假設(shè)nk?，命題均成立，然后證明1nk??命題成立.可使用的條件要比第一歸納法多，證明的步驟如下：（1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證0nn?（0n是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)??0nkkn

4、nN???成立，證明當(dāng)1nk??時(shí)，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：0nnnN??時(shí)，命題均成立.5.注意點(diǎn)：對(duì)于歸納猜想證明類問(wèn)題，有三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).一是歸納結(jié)論不正確；二是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得：，則，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于，據(jù)此可知的最小值為.點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于合理利用歸納推理得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通