淺談數(shù)學歸納法在高考中的應用

1、贛南師范學院2015屆本科生畢業(yè)論文11、數(shù)學歸納法的理論基礎、數(shù)學歸納法的理論基礎數(shù)學歸納法，人類天才的思維、巧妙的方法、精致的工具，解決無限的問題。它體現(xiàn)的是利用有限解決無限問題的思想，這一思想凝結了數(shù)學家們無限的想象力和創(chuàng)造力，這無疑形成了數(shù)學證明中一道絢麗多彩的風景線。它的巧妙讓人回味無窮，這一思想的發(fā)現(xiàn)為后來數(shù)學的發(fā)展開辟了道路，如用有限維空間代替無限維空間（多項式逼近連續(xù)函數(shù)）用有限過程代替無限過程（積分和無窮級數(shù)用有限項和

2、答題，導數(shù)用差分代替）。1.11.1數(shù)學歸納法的發(fā)展歷史數(shù)學歸納法的發(fā)展歷史自古以來，人們就會想到問題的推廣，由特殊到一般、由有限到無限，可人類對無限的把握不順利。在對無窮思考的過程中，古希臘出現(xiàn)了許多悖論，如芝諾悖論，在數(shù)列中為了確保結論的正確，則必須考慮無限。還有生活中一些現(xiàn)象，如烽火的傳遞，鞭炮的燃放等，觸動了人類的思想。安提豐用圓周內(nèi)接正多邊形無窮地逼近圓的方法解決化圓為方；劉徽、祖沖之用圓內(nèi)接正多邊形去無窮地逼迫圓，無窮的問題

3、層出不窮，后來古希臘歐幾里得對命題“素數(shù)的個數(shù)是無窮的”的證明，通過了有限去實現(xiàn)無限，體現(xiàn)了數(shù)學歸納法遞推思想。但要形成數(shù)學歸納法中明確的遞推，清晰的步驟確是一件不容易的事，作為自覺運用進行數(shù)學證明卻是近代的事。伊本海塞姆（10世紀末）、凱拉吉（11世紀上葉）、伊本穆思依姆（12世紀末）、伊本班納（13世紀末）等都使用了歸納推理，這表明數(shù)學歸納法使用較普遍，尤其是凱拉吉利用數(shù)學歸納法證明22333(1)124nnn???????????

4、這是數(shù)學家對數(shù)學歸納法的最早證明。接著法國數(shù)學家萊維.本.熱爾松(13世紀末)用“逐步的無限遞進“，即歸納推理證明有關整數(shù)命題和排列組合命題。他比伊斯蘭數(shù)學家更清楚地體現(xiàn)數(shù)學歸納法證明的基礎，遞進歸納兩個步驟。到16世紀中葉，意大利數(shù)學家毛羅利科對與全體和全體自然數(shù)有關的命題的證明作了深入的考察在1575年，毛羅利科證明了21nnaan???其中12312kak?????????????????他利用了逐步推理鑄就了“遞歸推理”的思路，

5、成為了較早找到數(shù)學歸納中“遞歸推理”的數(shù)學家，為無限的把握提供了思維。17世紀法國數(shù)學家帕斯卡為數(shù)學歸納法的發(fā)明作了巨大貢獻，他首先明確而清晰地闡述數(shù)學歸納法的運用程序，并完整地使用數(shù)學歸納法，證明了他所贛南師范學院2015屆本科生畢業(yè)論文3證明證明:（1）當時，左邊=1=右邊命題成立1n?（2）假設時命題成立，即nk?22333(k1)124kk???????????那么當時，1nk??223333(k1)12(1)(1)4kkk??

6、????????????22(1)(k2)4k???即當時命題也成立，所以原命題成立。1nk??2.22.2第二數(shù)學歸納法第二數(shù)學歸納法假設是關于自然數(shù)的命題如果滿足:()pnn()pn(1)成立；(1)p(2)假設對于所有滿足的自然數(shù)成立，則也成立；()pnak?a()pk那么命題對一切自然數(shù)都成立。()pnn證明:設又設(差集)n|()Mpn??成立，nNANM??假設不空由自然數(shù)的最小數(shù)原理有最小數(shù)AA0a由條件(1)知故1M?0

7、1a?因此又由條件(2)知必有0121aM????01aM??0aM?這與矛盾所以A為空集0aA?從而則命題對一切自然數(shù)n都成立。MN?()pn第二數(shù)學歸納法是第一數(shù)學歸納法的加強，在高考數(shù)學中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以開拓一個學生的思維，體會其中的思想奧妙，在一定程度上可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，促使學生去創(chuàng)新，與此同時可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美。2.32.3數(shù)學歸納法其他類型數(shù)學歸納法其他類型（1）跳躍數(shù)學歸納法①當ln321??