數(shù)學(xué)歸納法典型例題

1、數(shù)學(xué)歸納法典型例題一.教學(xué)內(nèi)容：高三復(fù)習(xí)專題：數(shù)學(xué)歸納法二.教學(xué)目的掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用三.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用四.知識(shí)分析【知識(shí)梳理】數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途，因而成為高考的熱點(diǎn)之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察—－歸納—－猜想—－證

2、明”的思維模式，就顯得特別重要。一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n=n0時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k（）時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命

3、題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對(duì)某個(gè)正整數(shù)成立，就能保證該命題對(duì)后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學(xué)歸納，所以當(dāng)時(shí)，等式也成立。由①，②可知，對(duì)一切等式都成立。點(diǎn)評(píng)：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式，命題關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由到時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)。（2）在本例證明過(guò)程中，（I）考慮“n取第一個(gè)值的命題形式”時(shí)，

4、需認(rèn)真對(duì)待，一般情況是把第一個(gè)值代入通項(xiàng)，考察命題的真假，（II）步驟②在由到的遞推過(guò)程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。本題證明時(shí)若利用數(shù)列求和中的拆項(xiàng)相消法，即，則這不是歸納假設(shè)，這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證。（3）在步驟②的證明過(guò)程中，突出了兩個(gè)湊字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由到時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。例2.。解析：解析：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，命題成立。（2）假設(shè)當(dāng)