高一數(shù)學(xué)直線(xiàn)方程知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題

1、直線(xiàn)的一般式方程及綜合直線(xiàn)的一般式方程及綜合【學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握直線(xiàn)的一般式方程；2能將直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等方程化為直線(xiàn)的一般式方程，并理解這些直線(xiàn)的不同形式的方程在表示直線(xiàn)時(shí)的異同之處；3能利用直線(xiàn)的一般式方程解決有關(guān)問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：直線(xiàn)方程的一般式要點(diǎn)一：直線(xiàn)方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線(xiàn)我們把方程寫(xiě)為AxByC=0，這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線(xiàn)方程的一般式要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂c(diǎn)詮釋?zhuān)?A

2、、B不全為零才能表示一條直線(xiàn)，若A、B全為零則不能表示一條直線(xiàn).當(dāng)B≠0時(shí)，方程可變形為，它表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)ACyxBB???0CB???????AB?當(dāng)B=0，A≠0時(shí)，方程可變形為AxC=0，即，它表示一條與x軸垂直的直線(xiàn)CxA??由上可知，關(guān)于x、y的二元一次方程，它都表示一條直線(xiàn)2在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線(xiàn)，反過(guò)來(lái)，一條直線(xiàn)可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于x、y的一次方程（如斜率為2，在y軸上

3、的截距為1的直線(xiàn)，其方程可以是2x―y1=0，也可以是，還可以是4x―2y2=0等）11022xy???要點(diǎn)二：直線(xiàn)方程的不同形式間的關(guān)系要點(diǎn)二：直線(xiàn)方程的不同形式間的關(guān)系直線(xiàn)方程的五種形式的比較如下表：名稱(chēng)方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)―y1=k(x―x1)（x1，y1）是直線(xiàn)上一定點(diǎn)，k是斜率不垂直于x軸斜截式y(tǒng)=kxbk是斜率，b是直線(xiàn)在y軸上的截距不垂直于x軸兩點(diǎn)式112121yyxxyyxx?????（x1，y1），

4、（x2，y2）是直線(xiàn)上兩定點(diǎn)不垂直于x軸和y軸截距式1xyab??a是直線(xiàn)在x軸上的非零截距，b是直線(xiàn)在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式AxByC=0（A2B2≠0）A、B、C為系數(shù)任何位置的直線(xiàn)要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂c(diǎn)詮釋?zhuān)涸谥本€(xiàn)方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線(xiàn)方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線(xiàn)存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多（x1≠x2，y1≠y2），應(yīng)用時(shí)若采用(y2―y1)(x―x1

5、)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿(mǎn)足“直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件直線(xiàn)方程的一般式包含了平面上的所有直線(xiàn)形式一般式常化為斜截式與截距式若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同要點(diǎn)三：直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用要點(diǎn)三：直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用1已知所求曲線(xiàn)是直線(xiàn)時(shí)，用待定系數(shù)法求2根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)方程的形式，求出直線(xiàn)方程對(duì)于兩直

6、線(xiàn)的平行與垂直，直線(xiàn)方程的形式不同，考慮的方向也不同【變式1】已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角是，求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和一般式方程.l(31)B?30?【答案】31(3)3yx???333330xy????【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)傾斜角是，所以直線(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方30?3tantan303k?????程為：，化成一般式方程為：.31(3)3yx???333330xy????例2的一個(gè)頂點(diǎn)為，、的平分線(xiàn)在直線(xiàn)ABC?(14)A??B?C?和上，求

7、直線(xiàn)BC的方程.10y??10xy???【答案】230xy???【解析】由角平分線(xiàn)的性質(zhì)知，角平分線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以可得A點(diǎn)關(guān)于的平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在BC上，B點(diǎn)關(guān)于的平分線(xiàn)B?AC?的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在BC上寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，即為直線(xiàn)BC的方程.BAB例3求與直線(xiàn)3x4y1=0平行且過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線(xiàn)的方程l【答案】3x4y―11=0【解析】解法一：設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，∵與直線(xiàn)3x4y1=0平行，∴l(xiāng)l34k??又∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

8、2），可得所求直線(xiàn)方程為，即3x4y―11=0l32(1)4yx????解法二：設(shè)與直線(xiàn)3x4y1=0平行的直線(xiàn)的方程為3x4ym=0，l∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），∴3142m=0，解得m=―11l∴所求直線(xiàn)方程為3x4y―11=0【總結(jié)升華】（1）一般地，直線(xiàn)AxByC=0中系數(shù)A、B確定直線(xiàn)的斜率，因此，與直線(xiàn)AxByC=0平行的直線(xiàn)可設(shè)為AxBym=0，這是常采用的解題技巧我們稱(chēng)AxBym=0是與直線(xiàn)AxByC=0平行的直線(xiàn)系方程參數(shù)m

9、可以取m≠C的任意實(shí)數(shù)，這樣就得到無(wú)數(shù)條與直線(xiàn)AxByC=0平行的直線(xiàn)當(dāng)m=C時(shí)，AxBym=0與AxByC=0重合（2）一般地，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（x0，y0），且與直線(xiàn)AxByC=0平行的直線(xiàn)方程為A(x―x0)B(y―y0)=0（3）類(lèi)似地有：與直線(xiàn)AxByC=0垂直的直線(xiàn)系方程為Bx―Aym=0（A，B不同時(shí)為零）舉一反三：舉一反三：【變式1】已知直線(xiàn)：3mx8y3m10=0和：x6my4=0.問(wèn)m為何值時(shí):1l2l（1）與平行（2）與垂