極限的性質(zhì)與四則運算法則

1、第四節(jié)第四節(jié)極限的性質(zhì)與四則運算法則極限的性質(zhì)與四則運算法則教學目的：使學生掌握極限的四則運算法則，并會利用它們求極限；教學目的：使學生掌握極限的四則運算法則，并會利用它們求極限；教學重點：有理函數(shù)極限的計算；教學重點：有理函數(shù)極限的計算；教學過程：教學過程：一、復習無窮大和無窮小的概念及性質(zhì)二、講解新課：一、函數(shù)極限的性質(zhì)定理1：（保號性）設，Axfxx??)(lim0（i）若，則，當時，。)0(0??AA0???)(0???xUx0

2、)(?xf)0)((?xf（ii）若，必有。)0)((0)(??xfxf)0(0??AA證明：（i）先證的情形。取，由定義，對此，當0?A2A??0????)(0???xUx時，，即。2)(AAxf????0)(232)(220?????????xfAAAxfAAA當時，取，同理得證。0?A2A???（ii）(反證法)若，由(i)矛盾，所以。0?A0)(??xf0?A當時，類似可證。0)(?xf注：(i)中的“”，“”不能改為“”，“”

3、。????在(ii)中，若，未必有。0)(?xf0?A二、極限四則運算法則由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。定理1：若，則存在，且BxgAxf??)(lim)(lim)]()(lim[xgxf?。)(lim)(lim)]()(lim[xgxfBAxgxf?????證明：只證，過程為，對，當BAxgxf???)]()(lim[0xx?001??????時，有，對此，，當100????xx2)(???Ax

4、f?02???時，有，取，當200????xx2)(???Bxgmin21????時，有????00xx定理4：如果，且，則。)()(xx???bxax??)(lim)(lim??ba?【例1】。baxbxabaxbaxxxxxxxxx???????????00000limlimlim)(lim【例2】。nnxxnxxxxx0]lim[lim00????推論1：設為一多項式，當nnnnaxaxaxaxf???????1110)(??。)

5、()(lim001101000xfaxaxaxaxfnnnnxx???????????推論2：設均為多項式，且，則。)()(xQxP0)(0?xQ)()()()(lim000xQxPxQxPxx??【例3】。31151105(lim221?????????xxx【例4】（因為）。33009070397lim53530?????????????xxxxx03005???注：若，則不能用推論2來求極限，需采用其它手段。0)(0?xQ【例5】

6、求。322lim221?????xxxxx解：當時，分子、分母均趨于0，因為，約去公因子，1?x1?x)1(?x所以。53322lim322lim1221??????????xxxxxxxx【例6】求。)1311(lim31?????xxx解：當全沒有極限，故不能直接用定理3，但當時，131113????xxx1??x，所以12)1)(1()2)(1(1311223?????????????xxxxxxxxxx。11)1()1(2112