第9章功平衡法和上限法及其應(yīng)用

1、202第9章功平衡法和上限法及其應(yīng)用如前所述，確定金屬塑性加工變形力學(xué)的理論解是極為困難的，即使比較簡(jiǎn)單的平面應(yīng)變問(wèn)題和軸對(duì)稱問(wèn)題也不易辦到。于是促使人們尋找各種近似求解方法。近似解法依據(jù)其原理分為兩類：一類是根據(jù)力平衡條件求近似解，如第七章工程法；另一類是根據(jù)能量原理求近似解，如本章功平衡法和上限法等。功平衡法是利用塑性變形過(guò)程的功平衡原理來(lái)求解變形力的近似解；極值原理是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理，確定物體總位能接近于最低狀態(tài)下，

2、即物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)下變形力的近似解。9.1功平衡法功平衡法是利用塑性變形過(guò)程中的功平衡原理來(lái)計(jì)算變形力的一種近似方法，又稱變形功法。功平衡原理是指：塑性變形過(guò)程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物體塑性變形所消耗的應(yīng)變功（Wd）和接觸摩擦功（Wf）之和，即WP=WdWf對(duì)于變形過(guò)程的某一瞬時(shí)，上式可寫成功增量形式dWP=dWddWf（1）外力所作功的增量dWP設(shè)外力P沿其作用方向產(chǎn)生的位移增量為duP，則dWp=PduP（2

3、）塑性變形功增量dWddWd為變形物體內(nèi)力所作功增量。當(dāng)變形物體中某一單元體積為dV，所處主應(yīng)力狀態(tài)為、、，相應(yīng)的主應(yīng)變?cè)隽糠謩e為、、時(shí)，則該單元體積的塑性1?2?3?1?d2?d3?d變形功增量為dWd=ddV=(dVij?ij?)ddd332211????????根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽坷碚摲匠蘣emmmdddd???????????23332211??????可求得、、，考慮到塑性變形時(shí)σe=σT代入上式，經(jīng)整理后得，整個(gè)塑性變1?d2?

4、d3?d形體V內(nèi)所消耗的塑性變形功增量為：????dVddWWevTdd??204???ud??由體積不變條件0????????hdhpdududddzp?????于是)()(hdhdu??????積分后得du=（12）ρ（dhh）C當(dāng)ρ=0時(shí)，即圓柱體中心軸上，du=0，積分常數(shù)C=0，于是徑向位移du=（12）ρ（dhh）代入式（a），得徑向和周向應(yīng)變?cè)隽繛椋篸εz=dhhhdudhdhd)21()21(??????即等效應(yīng)變?cè)隽縣

5、dhdzppze])()()[()32(222????????????????下面按式（91），計(jì)算各項(xiàng)功的消耗，并求變形力?????vTTevTddhDdVhdhdVdW?????2)4(圓柱體上下接觸面上消耗的摩擦功增量，考慮到dF=2ρdρ及，得：?Tfm?????FTfmdudFW?2???)()2()32(2)(32)2(0hdhDmGdpphdhmDT???外力所作功為PdhWP?將以上各式代入功平衡方程式（91）中，可求得