數(shù)學(xué)建模講座之四——無約束優(yōu)化

1、2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,無約束最優(yōu)化,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,無約束最優(yōu)化問題,求解無約束最優(yōu)化問題的的基本思想,*無約束最優(yōu)化問題的基本算法,返回,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,標(biāo)準(zhǔn)形式：,求解無約束最優(yōu)化問題的基本思想,求解的基本思想 ( 以二元函數(shù)為例 ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5,3,1,,,,,,,連續(xù)可微,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,多局部極小,,,,唯一極小(全局極

2、小),,,,,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,搜索過程,,,最優(yōu)點 (1 1)初始點 (-1 1),,,,,,,,,,,,,,,,-1,1,4.00,,,-0.79,0.58,3.39,,,-0.53,0.23,2.60,,,-0.18,0.00,1.50,,,0.09,-0.03,0.98,,,0.37,0.11,0.47,,,0.59,0.33,0.20,,,0.80,0.63,0.05,,,0.95,0.90,0.003,

3、,,0.99,0.99,1E-4,,,0.999,0.998,1E-5,,0.9997,0.9998,1E-8,返回,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,2. 優(yōu)化函數(shù)的輸入變量,使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其它優(yōu)化函數(shù)時, 輸入變量見下表:,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,3. 優(yōu)化函數(shù)的輸出變量下表:,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,4．控制參數(shù)options的設(shè)置,(3) MaxIter: 允許進行迭代的最大次數(shù),取值為正整數(shù).,Options中

4、常用的幾個參數(shù)的名稱、含義、取值如下:,(1)Display: 顯示水平.取值為’off’時,不顯示輸出; 取值為’iter’時,顯示每次迭代的信息;取值為’final’時,顯示最終結(jié)果.默認值為’final’.,(2)MaxFunEvals: 允許進行函數(shù)評價的最大次數(shù),取值為正整數(shù).,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8) 該語句創(chuàng)建一個稱為

5、opts的優(yōu)化選項結(jié)構(gòu),其中顯示參數(shù)設(shè)為’iter’, TolFun參數(shù)設(shè)為1e-8.,控制參數(shù)options可以通過函數(shù)optimset創(chuàng)建或修改。命令的格式如下：,(1) options=optimset(‘optimfun’) 創(chuàng)建一個含有所有參數(shù)名,并與優(yōu)化函數(shù)optimfun相關(guān)的默認值的選項結(jié)構(gòu)options.,（2）options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,..

6、.) 創(chuàng)建一個名稱為options的優(yōu)化選項參數(shù),其中指定的參數(shù)具有指定值,所有未指定的參數(shù)取默認值.,(3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’, value2,...) 創(chuàng)建名稱為oldops的參數(shù)的拷貝,用指定的參數(shù)值修改oldops中相應(yīng)的參數(shù).,返回,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,用Matlab解無約束優(yōu)化問題,其中（3）、（4）、（

7、5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。 函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。,常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）[x，fval]= fminbnd（...）（4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...）（5）[x，fva

8、l，exitflag，output]= fminbnd（...）,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,主程序為wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作圖語句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8) f1='-2*exp(-x).*sin(x)';

9、 [xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8),2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,例2 對邊長為3米的正方形鐵板，在四個角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？,解,先編寫M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x;,主程序為wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xm

10、ax=x fmax=-fval,運算結(jié)果為: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊長為0.5米時水槽的容積最大,最大容積為2立方米.,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,命令格式為:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options

11、）（3）[x，fval]= fminunc（...）； 或[x，fval]= fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）； 或[x，fval，exitflag]= fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）； 或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（.

12、..）,2、多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題,標(biāo)準(zhǔn)型為：min F(X),2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,[3] fminunc為中型優(yōu)化算法的步長一維搜索提供了兩種算法， 由options中參數(shù)LineSearchType控制：LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三 次多項式插值；LineSearchType=’cubicpo

13、ly’，三次多項式插,使用fminunc和 fminsearch可能會得到局部最優(yōu)解.,說明:,fminsearch是用單純形法尋優(yōu). fminunc的算法見以下幾點說明：,[1] fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由options中的參數(shù)LargeScale控制：LargeScale=’on’(默認值),使用大型算法LargeScale=’off’(默認值),使用中型算法,[2] fminunc為中型優(yōu)化算法

14、的搜索方向提供了4種算法，由 options中的參數(shù)HessUpdate控制：HessUpdate=’bfgs’（默認值），擬牛頓法的BFGS公式；HessUpdate=’dfp’，擬牛頓法的DFP公式；HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1),1、編寫M-文件 fun1.m: fu

15、nction f = fun1 (x) f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、輸入M文件wliti3.m如下: x0 = [-1, 1]; x=fminunc(‘fun1’,x0); y=fun1(x),3、運行結(jié)果: x= 0.5000 -1.0000 y =

16、 1.3029e-10,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,例 產(chǎn)銷量的最佳安排 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個牌號，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大. 所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量.,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,基本假設(shè),1．價格與銷量成線性關(guān)系,2．成本與產(chǎn)量成負指數(shù)關(guān)系,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,模型建立,,若根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,

17、a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,則問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲,乙兩個牌號的產(chǎn)量x1，x2，使總利潤z最大.,為簡化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,問題轉(zhuǎn)化為求: z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的極值. 顯然其解為x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b

18、2/2a22 = 70,我們把它作為原問題的初始值.,總利潤為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2,2024/4/3,數(shù)學(xué)建模,模型求解,1.建立M-文件fun.m: function f = fun(x) y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1); y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))