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1、奧林學(xué)堂 0571-87151959 成就夢想 1 三角形結(jié)構(gòu)中的一個解題系統(tǒng) 三角形結(jié)構(gòu)中的一個解題系統(tǒng) 陶平生 陶平生 在初等不等式的范圍內(nèi),有許多是涉及三角形內(nèi)角函數(shù)關(guān)系的不等式。對于這類問題,傳統(tǒng)的做法通常是“化雜為弦” ,并借助正余弦定理或海倫公式將其歸結(jié)為邊的度量關(guān)系來解證。由于其變元受三角形條件約束,處理起來不甚方便。 以下從一個基本等式出發(fā),導(dǎo)出相應(yīng)的運算系統(tǒng),利用“易弦為切” 的方法以及這一系統(tǒng)的特殊轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu),可以簡便
2、而有效地處理一系列三角形有關(guān)不等式的解證問題。 一、三角形中的一個運算系統(tǒng) 一、三角形中的一個運算系統(tǒng) 以下常設(shè),x=cot A,y=cot B,z=cot C (或者 x= tan 2A ,y= tan 2B ,z= tan 2C ) ,其中 A、B、C 為三角形的三個內(nèi)角,則有: 1.1)x,y,z 中至少有二個正數(shù),并且 x+y、y+z、x+z 及 x+y+z 都是正數(shù)。 事實上,當(dāng) x,y,z 表示半角的正切函數(shù)時,顯然 x,y
3、,z 都是正數(shù)。今考慮 x,y,z表示余切函數(shù)的情形,由于三角形中至少有二個銳角,即 x,y,z 中至少有二個正數(shù),并且x+y=cot A +cot B= cossinAA+ cossinBB= sin( )sin sinA BA B? >0。同理有 y+z>0,x+z>0。又將這三式相加得 x+y+z>0。 1.2) 1 xy yz xz ? ? ? 這是由于, 在三角形 ABC 中成立等式cot A cot
4、 B + cot B cotC +cot A cotC =1, 以及 tan 2A tan 2B + tan 2B tan 2C + tan 2A tan 2C =1。 1.3) 2 1 ( )( ) x x y x z ? ? ? ? , 2 1 ( )( ) y x y y z ? ? ? ? , 2 1 ( )( ) z x z y z ? ? ? ?這只要將右端展開,并利用(1.2)式立即可得。 1.4)2 2 2 (1 )(1
5、 )(1 ) ( )( )( ) x y z x y y z x z ? ? ? ? ? ? ? ; 2 2 2 ( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 ) ( )( )( ) x y z y z x x z y x y y z x z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 2 22(1 )(1 )1x y x yz? ? ? ??,2 22(1 )(1 )1y z y zx? ? ? ??,2 22(1 )(1 )1
6、x z x zy? ? ? ??。 這只要利用(1.3)式立即可得。 1.5) 1 1 1 1x y z xyz ? ? ?(當(dāng) 0 xyz ? ) 只需將左端通分,并利用(1.2)式即可得到。 奧林學(xué)堂 0571-87151959 成就夢想 3 二、若干基本不等式 二、若干基本不等式 下面的一組不等式,對于 x,y,z 表示余切函數(shù)或半角的正切函數(shù)時均為適用。在解證其它不等式時,通常可化歸為這些情形。 2.1) 2 2 2 1 x y
7、 z ? ? ? 證: 2 2 2 1 x y z xy yz zx ? ? ? ? ? ? 2.2) 3 x y z ? ? ?證:由于 2 2 2 2 2( ) 3 x y z x y z xy yz xz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ,且 x y z ? ? 為正數(shù),故3 x y z ? ? ? 。 2.3) 9 x y z xyz ? ? ?證:如果 x,y,z 中只有二個正數(shù),則9 0 xyz ? ,而 0
8、 x y z ? ? ? ,此時結(jié)論顯然;如 x,y,z 都是正數(shù),則因 1 xy yz xz ? ? ? ,故 1 1 1 9 xy yz xz ? ? ? ,則有 9 x y z xyz ? ? ?2.4) 39 xyz ?證:如果 x,y,z 中只有二個正數(shù),則結(jié)論顯然;當(dāng) x,y,z 都為正數(shù)時,由于2 3 1 3 ( ) xy yz xz xyz ? ? ? ? ,所以 1 327 9 xyz ? ?2.5) 8 ( )( )
9、( ) ( ) 9 x y x z y z x y z ? ? ? ? ? ?證:( )( )( ) x y x z y z x y z xyz ? ? ? ? ? ? ?8 1 8 ( ) ( 9 ) ( ) 9 9 9 x y z x y z xyz x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?以上諸式中,等號成立的充要條件是 33 x y z ? ? ? ,即 ABC ? 為正三角形。 三、三角形中一些常規(guī)不等式的證明 三、
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