2.5 第1課時 二次函數(shù)與一元二次方程1

1、2.5 二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)與一元二次方程第 1 課時 課時 二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)與一元二次方程1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系；(重點)2．理解二次函數(shù)與 x 軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根；(重點)3．通過觀察二次函數(shù)與 x 軸交點的個數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．(難點)一

2、、情境導(dǎo)入一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖所示．現(xiàn)測得，當水面寬 AB＝1.6m 時，涵洞頂點與水面的距離 OC＝2.4m.當水位上升一定高度到達點 F 時，這時，離水面距離 CF＝1.5m，則涵洞寬 ED 是多少？是否會超過 1m?根據(jù)已知條件，要求 ED 寬，只要求出 FD 的長度．在如圖所示的直角坐標系中，只要求出點 D 的橫坐標即可．由已知條件可得到點 D 的縱坐標，又因為點 D 在涵洞所成的拋物線上，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式

3、可以進一步算出點D 的橫坐標．你會求嗎？二、合作探究探究點一：二次函數(shù)與一元二次方程 【類型一】 求拋物線與 x 軸的交點坐標已知二次函數(shù) y＝2x2－4x－6，它的圖象與 x 軸交點的坐標是________________．解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝2(x－3)(x＋1)，設(shè) 2(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴它的圖象與 x 軸交點的坐標是(3，0)，(－1，0)．故答案為(3，0)，(－

4、1，0)．方法總結(jié)：拋物線與 x 軸的交點的橫坐標，就是二次函數(shù)為 0 時，一元二次方程的解．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓(xùn)練”第 6 題【類型二】 判斷拋物線與 x 軸交點的個數(shù)已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與 x 軸總有兩個交點；(2)若此拋物線與 x 軸總有兩個交點，且它們的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù) m 的值．解析：(1)只需證明Δ＝(m＋2)2－4m×

5、;2≥0 即可；(2)利用因式分解法求得拋物線與 x 軸交點的橫坐標，然后根據(jù) x 的值來求正整數(shù) m 的值．(1)證明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－的拋物線問題如圖，足球場上守門員在 O 處開出一高球，球從離地面 1 米的 A 處飛出(A在 y 軸上)，運動員乙在距 O 點 6 米的 B 處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點 M，距地面約 4 米高，球落地后又一次彈起．據(jù)

6、實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．(1)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式；(2)足球第一次落地點 C 距守門員多少米(取 4 ＝7)? 3(3)運動員乙要搶到第二個落點 D，他應(yīng)再向前跑多少米(取 2 ＝5)? 6解析：要求足球開始飛出到第一次落地時，拋物線的表達式，則需要根據(jù)已知條件確定點 A 和頂點 M 的坐標，因為 OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以點 A 的坐

7、標為(0，1)，頂點 M 的坐標是(6，4)．根據(jù)頂點式可求得拋物線關(guān)系式．因為點 C 在 x 軸上，所以要求 OC 的長，只要把點 C 的縱坐標 y＝0 代入函數(shù)關(guān)系式，通過解方程求得 OC 的長．要計算運動員乙要搶到第二個落點 D，他應(yīng)再向前跑多少米，實際就是求 DB 的長．求解的方法有多種．解：(1)設(shè)第一次落地時，拋物線的表達式為 y＝a(x－6)2＋4，由已知：當 x＝0 時，y＝1，即 1＝36a＋4，所以 a＝－ .112

8、所以函數(shù)表達式為 y＝－ (x－6)2＋4112或 y＝－ x2＋x＋1；112(2)令 y＝0，則－ (x－6)2＋4＝0，112所以(x－6)2＝48，所以 x1＝4 ＋6≈ 313，x2＝－4 ＋6<0(舍去)． 3所以足球第一次落地距守門員約 13米；(3)如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意：CD＝EF(即相當于將拋物線 AEMFC 向下平移了 2 個單位)．所以 2＝－ (x－6)2＋4，解得 x1＝6－112

9、2 ，x2＝6＋2 ， 6 6所以 CD＝|x1－x2|＝4 ≈10. 6所以 BD＝13－6＋10＝17(米)．方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是先進行數(shù)學(xué)建模，將實際問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的條件．常有兩個步驟：(1)根據(jù)題意得出二次函數(shù)的關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題；(2)應(yīng)用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)作答．三、板書設(shè)計二次函數(shù)與一元二次方程1.二次函數(shù)與一元二次方程2.利用二次函數(shù)解決運動中的拋物線問題本節(jié)課注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓