數學模型第三次練習

1、數學建模第三次練習 數學建模第三次練習習題一 習題一從經濟角度看，漁場捕魚模型的建立，不應當單純追求產量最 從經濟角度看，漁場捕魚模型的建立，不應當單純追求產量最大，而應該考慮效益最佳。如果經濟效益用從捕撈所得的收入中 大，而應該考慮效益最佳。如果經濟效益用從捕撈所得的收入中扣除開支后的利潤來衡量，并假設魚的銷售單價為 扣除開支后的利潤來衡量，并假設魚的銷售單價為 p，單位捕撈 ，單位捕撈率（如每條出海漁船）的費用為常數 率（如每條出海

2、漁船）的費用為常數 c，試建立最大利潤下的漁場 ，試建立最大利潤下的漁場捕魚模型。 捕魚模型。解：一、摘要合理假設，建立漁場魚量，捕撈強度，利潤的方程，根據數學相關知識求解出平衡點，分析計算結果得出效益最佳時的漁場捕魚模型。二、問題的提出再生資源如：漁業(yè)，林業(yè)等，非再生資源如：礦業(yè)等。對于再生資源類的漁場捕魚模型，在不單純追求產量最大化的條件下，如何使得效益的最佳。三、問題的分析當捕撈量自然增長率，漁場的魚量將保持不變，則捕撈量是穩(wěn)定的

3、。四、建模過程（1）模型假設1、假設在無捕撈情況下魚的數量增長符合 Logistic 規(guī)律（即阻滯增長模型） ；2、單位時間捕撈量與漁場魚量 X(t)成正比，比例系數為 E3、捕撈強度 E(t)的變化率與利潤成正比4、魚群生活在穩(wěn)定的環(huán)境中，無大量爆發(fā)死亡情況；（2）定義符號說明設 t 時刻時漁場中魚量為 x(t)，捕撈強度為 E（t） ，魚群的固有增長率為 r，漁場環(huán)境容許的最大魚量為 N， ，魚的銷售單價為 p，單位捕撈率（如每條出

4、海漁船）的費用為常數 c，f(x)為單位時間增長量，h(x)為單位時間捕撈量，T 為單位時間收入，S 為單位時間支出，K 為比例常數（3）模型建立及求解1.在無捕撈條件下 x(t)的變化服從 Logistic 規(guī)律，則關于時間的微分方程為……….(1)? ? ? ? 1 x x t rx f x N? ? ? ? ? ? ? ? ?2.漁場魚量滿足的方程單位時間捕撈量與漁場魚量 x(t)成正比，比例系數為捕撈強度 E，則單位時間捕撈量為

5、………(2) ? ? h x Ex ?5.效益分析對于封閉式捕撈，只追求利潤 R 最大，則1 2Rr c E pN? ? ? ? ? ? ? ?對于開放式捕撈，只需利潤 R>0，則1 sc E r pN? ? ? ? ? ? ? ?可知當 R=0 時（臨界強度）的捕撈強度 2 R E ? s E臨界強度下漁場魚量1 ssE c x N r p? ? ? ? ? ? ? ? ?由此，當 p↑,c↓,則↑ ↓ s x s E綜上所訴當

6、效益最佳時，最大利潤為22 2 1 1 4 2m m m mpNr c cr c R pE x cE p N pN? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?習題二： 習題二：兩種群相互競爭模型中，若 兩種群相互競爭模型中，若 p1=1.3，p2=0.8，r1=1.8，r2=2.5，N1=1.7，N2=1.1，初始條件 ，初始條件 x(0)=1.1，y(0)=2.2，試畫出 ，試畫出 x(t),y(t)以及相軌