數(shù)值分析_第三次上機(jī)

1、<p>　　4.求f(x)=sin x在[0,π/2]上的最佳一次逼近多項(xiàng)式。</p><p>　　解：設(shè)P1(x)=a0+a1x是f(x) 的最佳一次逼近多項(xiàng)式，則P1(x)在[0,π/2]上有三個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)，</p><p>　　滿足0<=x1<x2<x3<=π/2。</p><p>　　由于 [f(x)- P1(x)]’’=(co

2、s x-a1)’= -sin x在[0,π/2]上小于0，定號(hào)，</p><p>　　故(cos x-a1)’在[0,π/2]上單調(diào)遞減，且僅有一個(gè)駐點(diǎn)。</p><p>　　故f(x)- P1(x)在[0,π/2]上只有一個(gè)偏差點(diǎn)x2，滿足[f(x)- P1(x)]’|x=x2 =cos x2-a1=0 (1)。</p><p>　　另外兩個(gè)偏差點(diǎn)x1=0 ，x3

3、=π/2 .</p><p>　　于是sin 0-a0 =sin π/2-a0-π/2a1 (2)， sin x2 –a0-a1x2= -( sin 0-a0) (3)</p><p>　　由（1）（2）（3）式得：a1=2/π x2=arccos 2/π=0.88 a0=-1.18</p><p>　　所以P1= -1.18+2/π x 。</p

4、><p>　　6.求f(x)=2x4+3x3-x2+1在[-1,1]上的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式。</p><p>　　解：設(shè)f(x)的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式為P3(x)，</p><p>　　由切比雪夫多項(xiàng)式的極性可得</p><p>　　1/2[f(x)- P3(x)]=1/8T4(x)=1/8(8x4-8x2+1)</p>&l

5、t;p>　　所以P3(x)=f(x)-1/4(8x4-8x2+1)= 2x4+3x3-x2+1-2x4+2x2-1/4 =3x3+x2+3/4</p><p>　　9.求函數(shù)f(x)在指定區(qū)間上關(guān)于Φ(x)=span{1,x}的最佳平方逼近多項(xiàng)式。</p><p>　　(3)f(x)=cosπx, x∈[0,1]；(4)f(x)=ln x, x∈[1,2].</p>&

6、lt;p>　　解：(3)在[0,1]上，經(jīng)計(jì)算得 d0= =0 ，d1== -2/π2</p><p>　　得到法方程組為a0+1/2a1=0 ，1/2a0+1/3a1= -2/π2</p><p>　　由上面兩式解得 a0=12/π2 ，a1= -24/π2</p><p>　　所以f(x)=cosπx在[0,1]上的最佳平方逼近多項(xiàng)式為 S1*=12/π

7、2 -24/π2 x 。</p><p>　　(4) 在[1,2]上，經(jīng)計(jì)算得d0== 2ln2-1 ，d1= = 2ln2-3/4</p><p>　　得到法方程組為 a0+1/2a1=2ln2-1 ，1/2a0+1/3a1= 2ln2-3/4</p><p>　　由上面兩式得 a0= -4ln2+1/2，a1= 12ln2-3</p><p&

8、gt;　　所以f(x)=ln x在[1，2]上的最佳平方逼近多項(xiàng)式為 S1*= -4ln2+1/2 +(12ln2-3) x 。</p><p>　　11.f(x)=sin(π/2 x)在[-1,1]上按Legendre多項(xiàng)式展開(kāi)，求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。</p><p>　　解：在[-1,1]上，Legendre正交多項(xiàng)組為{1，x，1/2(3x2-1)，1/2(5x3-3x)}<

9、;/p><p>　　則d0==0， d1==8/π2</p><p>　　d2= =0 ，d3==60/π2 -480/π4 。</p><p><b>　　由法方程組</b></p><p>　　1 1/2 1/3 1/4 a0 d0</p><p>　　1/2 1/

10、3 1/4 1/5 a1 d1 </p><p>　　1/3 1/4 1/5 1/6 a2 = d2</p><p>　　1/4 1/5 1/6 1/7 a3 d3</p><p>　　得a0= -0.2585 ，a1=2.9074，a2= -7.0253，a3=4.5862</p&

11、gt;<p>　　所以f(x)在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式為</p><p>　　S(x)=a0P0(x)+a1P1(x)+a2P2(x)+a3P3(x)</p><p>　　= -0.2585+2.9074x-7.0253/2 (3x2-1)+4.5862/2 (5x3-3x)</p><p>　　=11.4655x3-10.538x2

12、-3.7919x+3.254</p><p>　　13.求f(x)=arctan x在[-1,1]上的三次Chebyshev插值多項(xiàng)式。</p><p>　　解：設(shè)f(x)=arctan x在[-1,1]上的三次Chebyshev插值多項(xiàng)式為L(zhǎng)3(x)，設(shè)在[-1,1]上給定的4個(gè)互異節(jié)點(diǎn)為x0，x1，x2，x3，函數(shù)在[-1,1]上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，對(duì)f(x)作多項(xiàng)式插值時(shí)，拉格朗日余項(xiàng)

13、表達(dá)式為</p><p>　　R(x)=f(x)-L3(x)=</p><p>　　其中?∈(-1,1)</p><p>　　顯然L3(x)=f(x) -</p><p>　　當(dāng)R(x)最小時(shí)，L3(x)即為所求。</p><p>　　設(shè)M4=max|f4(x)|=12</p><p>　　則有

14、|R(x)|<=| |</p><p>　　由插值節(jié)點(diǎn)為xk=cos(2k+1)π/(2n+2) ，k=0，1，2，···，n</p><p>　　得x0=cos π/8 ，x1=cos 3π/8，x2=cos 5π/8，x3=cos 7π/8.</p><p>　　此時(shí)，有余項(xiàng)R(x)=|f(x)-L3(x)| <=| |

15、==1/16</p><p>　　所以L3(x)=arctan x+1/16</p><p>　　18.已知數(shù)據(jù)如下表，試求一次、二次代數(shù)多項(xiàng)式對(duì)其擬合。</p><p>　　解：在matlab命令窗口執(zhí)行</p><p>　　>>x=[-1 -0.5 0 0.5 1];</p><p>　　>>

16、;y=[-0.22 0.88 2.00 3.13 4.28];</p><p>　　>>polyfit(x,y,1)</p><p>　　>>polyfit(x,y,2)</p><p><b>　　得到</b></p><p>　　ans=2.2500 2.0140</p>&l

17、t;p>　　ans=0.0314 2.2500 1.9983</p><p>　　即其所求一次多項(xiàng)式對(duì)其擬合為：</p><p>　　y=2.25x+2.014</p><p>　　二次多項(xiàng)式對(duì)其擬合為：</p><p>　　y=0.0314x2+2.25x+1.9983</p><p>　　19.已知數(shù)據(jù)

18、見(jiàn)下表，試求擬合公式y(tǒng)=aebx。</p><p>　　解：要求擬合曲線y=aebx</p><p>　　可先求lny=lna+bx</p><p>　　在matlab命令窗口執(zhí)行</p><p>　　>>x=[1 2 3 4 5 6 7 8];</p><p>　　>>y=[15.3 20.5

19、 27.4 34.6 49.1 65.6 87.8 117.6];</p><p>　　>>y1=log(y);</p><p>　　>>polyfit(x,y1,1)</p><p><b>　　得到</b></p><p>　　ans=0.2919 2.4268</p>&l

20、t;p>　　即 b=0.2919 lna=2.4268</p><p>　　所以a=e2.4268=11.3226 b=0.2919</p><p><b>　　所求擬合公式為</b></p><p>　　y=11.3226e0.2919x</p><p>　　20.已知數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，試求擬合公式y(tǒng)=a+bx2

21、</p><p>　　解：在matlab命令窗口執(zhí)行</p><p>　　>>x=[19 25 31 38 44];</p><p>　　>>y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8];</p><p>　　>>polyfit(x,y,2)</p><p><b&

22、gt;　　得到</b></p><p>　　ans=0.0497 0.0193 0.6882</p><p><b>　　所求擬合公式為</b></p><p>　　y=0.6882+0.0497x2</p><p>　　22.已知數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，試求擬合公式y(tǒng)=a+blnx。</p><p&

23、gt;<b>　　解：令x1=lnx</b></p><p><b>　　則y=a+bx1</b></p><p>　　在matlab命令窗口執(zhí)行</p><p>　　>>x=[3 5 10 20];</p><p>　　>>y=[3.5 4.8 4.2 4.5];</

24、p><p>　　>>x1=log(x);</p><p>　　>>polyfit(x1,y,1)</p><p><b>　　得到</b></p><p>　　ans=0.3394 3.5707</p><p>　　即b=0.3394 a=3.5707</p>