行列式的計(jì)算方法文獻(xiàn)綜述

1、《論文寫(xiě)作與研究方法指導(dǎo)》作業(yè) 《論文寫(xiě)作與研究方法指導(dǎo)》作業(yè): 文獻(xiàn)綜述 文獻(xiàn)綜述1行列式的計(jì)算方法 行列式的計(jì)算方法摘 要 ：本文敘述了行列式的發(fā)展歷程，現(xiàn)狀和研究方法分析。概述了一些計(jì)算方法，最后提出一些行列式的計(jì)算方法值得進(jìn)一步探討的問(wèn)題。關(guān)鍵詞 關(guān)鍵詞 : 行列式； 方程組；計(jì)算方法；加邊法1. 1. 引言 引言行列式是人們?yōu)榱搜芯慷?、三元的線性方程組而創(chuàng)建的，它是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，是求解線性方程組,求逆矩陣及求矩

2、陣特征值的基礎(chǔ)。而它的應(yīng)用并不止局限于代數(shù)的范圍,它也是許多其他學(xué)科研究的重要工具，如行列式經(jīng)常被用于涉及到的電子工程、控制論、數(shù)學(xué)物理方程的研究等。而行列式的計(jì)算具有一定的規(guī)律性和技巧性， 綜合性較強(qiáng)，在行列式計(jì)算中需要我們多觀察總結(jié)，才能更熟練地計(jì)算出行列式的值。在行列式的計(jì)算過(guò)程中，不同特征的行列式適用不同的方法，每一種方法都有它們各自的優(yōu)點(diǎn)及其獨(dú)特之處，因此具有非常重要的研究?jī)r(jià)值。本論文主要從2000 年到2012 年發(fā)表的若干

3、期刊中，總結(jié)出行列式的計(jì)算的發(fā)展歷程、現(xiàn)狀以及研究的方向。2. 2. 正文 正文2.1 2.1 行列式的歷史： 行列式的歷史：行列式的概念最初是因方程組的求解而發(fā)展起來(lái)的，它的提出是在十七世紀(jì)，由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國(guó)數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨(dú)立得出，那時(shí)已經(jīng)使用行列式來(lái)確定線性方程組解的個(gè)數(shù)以及形式。十八世紀(jì)開(kāi)始，行列式開(kāi)始作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被研究。1750 年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，對(duì)行列式

4、的定義和展開(kāi)法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱(chēng)的解線性方程組的克萊姆法則。后來(lái)，數(shù)學(xué)家貝祖將 確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解。 1772 年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī) 則，推廣了他的展開(kāi)行列式的方法。十九世紀(jì)以后，行列式理論進(jìn)一步得到發(fā)展和完善 。1815 年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的處理，其中主要結(jié)果之一是行列式

5、的乘法定理。1841 年，雅 可比發(fā)表了一篇關(guān)于函數(shù)行列式的論文，討論函數(shù)的線性相關(guān)性與雅可比行列式的關(guān) 系。 十九世紀(jì)五十年代，凱萊和詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將矩陣的概念引入數(shù)學(xué)研究中。行列式和矩陣之間的密切關(guān)系使得矩陣論發(fā)展的同時(shí)也帶來(lái)了許多關(guān)于行列式的 新結(jié)果，例如阿達(dá)馬不等式、正交行列式、對(duì)稱(chēng)行列式等等。與此同時(shí)，行列式也被應(yīng)用于各種領(lǐng)域中。 2.2 2.2 行列式的現(xiàn)狀： 行列式的現(xiàn)狀：行列式的計(jì)算一直是

6、代數(shù)研究的一個(gè)重要課題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者專(zhuān)家已經(jīng)總結(jié)了很多常 用的技巧及方法，研究成果頗為豐碩。文獻(xiàn)[1]-[23]黃娟霞、胡喬林、陳黎欽、李輝、毋光先等學(xué)者對(duì)行列式的一些計(jì)算方法做出的歸納，其中有幾種是目前較常用的方法， 主要有三角化法、拆項(xiàng)法、加邊法、遞推法、分離線性因子法、數(shù)學(xué)歸納法等，而幾種尚未被廣泛使用的方法主要有超范德蒙行列式法、微積分法、軟件法、按拉普拉斯定理《論文寫(xiě)作與研究方法指導(dǎo)》作業(yè) 《論文寫(xiě)作與研究方法指導(dǎo)》作業(yè): 文獻(xiàn)

7、綜述 文獻(xiàn)綜述3根據(jù)所求行列式的特點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)或積分對(duì)行列式進(jìn)行計(jì)算。若行列式含有未知量 x，可將行列式看成關(guān)于這個(gè)未知量的多項(xiàng)式 ，若易于求出某個(gè)初始值 ，再對(duì) ? ? f x ? ? 0 f x進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，求出 ，最后根據(jù)微積分知識(shí)求出 在初始值 處的解 ? ? f x ? ? ? ? k f x ? ? f x ? ? 0 f x析表達(dá)式。記 ，則 。同上可得 。從而 ? ? n f x D ? ? ? 0 f a ? ? ?

8、? ? ! ( 1,2, 1) !n kkn f x D k n k? ? ? ? ?， 。接下來(lái)解決的問(wèn)題是已知 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 0n f a f a f a f a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 !n f x n x? ?， ，求 的表達(dá)式。由 ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 0n f a f a f a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 !n f x n

9、 x? ? ? ? f x ? ? ? ? 1 !n f x n x? ?，知 ，而 ，得 ? ? ? ?2 2 !2n n f x x c? ? ? ? ? ? ?2 0n f a? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 !2n n f x x a x a? ? ? ?依次類(lèi)推可計(jì)算出 。文獻(xiàn)[13]盛興平給出了相應(yīng)的行列式的 ? ? ? ? ? ?1 1n f x x a x n a? ? ? ? ? ? ? ? ?計(jì)算，文獻(xiàn)[25]

10、歐伯群對(duì)微積分在行列式計(jì)算中的應(yīng)用做了較詳細(xì)的講解。3.軟件法對(duì)于 （已知）階行列式的計(jì)算或一些稍復(fù)雜的行列式的計(jì)算，可以借助于一些數(shù)學(xué) n軟件，如 EXCEL、Matlab 等來(lái)進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[6]張玉蘭給出了在軟件 EXCEL、Matlab 中計(jì)算行列式的詳細(xì)步驟。4.按拉普拉斯定理展開(kāi)就是在中任意取 k 行（或列） ，由這 k 行（或列）所組成的一切 k 級(jí)子式與它們的的乘積的和等于原本行列式的值。通常很少用一般的拉普拉斯定理展開(kāi)

11、行列式進(jìn)行計(jì)算,主要是應(yīng)用按一行(列) 的拉普拉斯展開(kāi)來(lái)計(jì)算行列式的。但如果行列式里為零的元素較多時(shí), 運(yùn)用一般的拉普拉斯展開(kāi)來(lái)計(jì)算行列式會(huì)變得比較簡(jiǎn)單。南岳兵在期刊[18]中給出 了按拉普拉斯定理，并通過(guò)兩道例題展開(kāi)行列式并求解。2.3 2.3 研究方法的分析 研究方法的分析行列式的計(jì)算方法的研究大部分是從行列式的定義、性質(zhì)、公式、定理、升降階等 角度進(jìn)行的，而部分計(jì)算方法的研究結(jié)合了函數(shù)、矩陣、計(jì)算機(jī)軟件等，如文獻(xiàn)[30]鄧勇,譚衛(wèi)

12、群從函數(shù)的角度出發(fā)對(duì)行列式進(jìn)行探討推導(dǎo)出有關(guān)行列式的一些理論。這些研究 方法是值得我們借鑒的，特別是利用定理、函數(shù)、計(jì)算機(jī)軟件等。3. 3. 結(jié)論與建議 結(jié)論與建議對(duì)于行列式的計(jì)算，具有較大的技巧性和綜合性，由于所用方法的不同，計(jì)算過(guò)程的難易程度相差較大，要使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單明了，避免過(guò)多不必要的解題步驟，就應(yīng)該善于選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，掌握一定的技巧，?duì)這些技巧進(jìn)行總結(jié)歸納，不僅對(duì)課程的建設(shè)有現(xiàn)實(shí)意義，而且對(duì)理論方面也有深刻的意義。因此，我覺(jué)得