淺水波模型方程研究.pdf

1、雙線性方法，又稱直接方法，是由日本數(shù)學(xué)家Ryogo Hirota發(fā)明的，該方法可以統(tǒng)一地用來解決許多非線性偏微分方程問題。其基本思想是通過變換將一個(gè)非線性偏微分方程改寫成雙線性導(dǎo)數(shù)方程，并由雙線性導(dǎo)數(shù)方程的解而得到原方程的解。雙線性方法的優(yōu)點(diǎn)是并不要求所研究的非線性偏微分方程具有Lax對(duì)，即可用于許多不可積方程的研究。但是，究竟什么樣的非線性偏微分方程可以寫成雙線性導(dǎo)數(shù)方程?一個(gè)非線性偏微分方程與相應(yīng)的雙線性導(dǎo)數(shù)方程之間是否(局部)等價(jià)

2、?這些問題長(zhǎng)期以來并沒有得到解決。
　　 Backlund變換最初是由瑞典幾何學(xué)家Albert Victor Backlund在研究三維歐氏空間中的負(fù)常高斯曲率曲面時(shí)發(fā)現(xiàn)的sine-Gordon方程解之間的一個(gè)變換，并將之成功地應(yīng)用于負(fù)常高斯曲率曲面，其基本思想是將一個(gè)非線性偏微分方程的求解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)相容的常微分方程的求解。隨著可積系統(tǒng)理論的發(fā)展，Backlund變換已經(jīng)成為求解非線性偏微分方程的一種重要方法，許多重要的非

3、線性偏微分方程，如KdV方程和KP方程，都有Backlund變換，由此可得到這些方程的孤子解以及解的非線性疊加原理。
　　 本文對(duì)于Hirota和Satsma引入的淺水波模型方程研究上述兩個(gè)方面的問題。首先用攝動(dòng)方法求解雙線性化淺水波模型方程，進(jìn)而得到淺水波模型方程的解；接著研究如何從淺水波模型方程的解得到相應(yīng)的雙線性化方程的解，并由此證明淺水波模型方程與對(duì)應(yīng)的雙線性化方程之間局部等價(jià)。我們給出兩個(gè)例子，說明如何由淺水波模型方程