有限群的結(jié)構(gòu)與它的子群的性質(zhì).pdf

1、本文中所有的群均指有限群，G總是代表一個有限群，由Galois理論，我們知道： 定理1.0.1設(shè)K為一個域，f為K上次數(shù)為n的一個多項(xiàng)式，且CharK不整除n!，則方程f(x)=0根式可解當(dāng)且僅當(dāng)f的Galois群為一個可解群.故在有限群理論中，判斷一個群是否為可解群總是一個有趣的問題.給出可解群(超可解、冪零群、p-冪零群，…)的特征一直是一個活躍的課題. 通過給定G的子群一些條件來刻化群G的結(jié)構(gòu)是一個有趣的方法。請看

2、下列著名的定理： 定理1.0.2(Thompson定理，[3])若有限群G有一個奇階的冪零的極大子群，則G是可解的. 定理1.0.3(Huppert定理，[1])假設(shè)G的每個極大子群在G中的指數(shù)都是素?cái)?shù)，則G是超可解. 定理1.0.4(Hall定理，[4])群G的每個子群可補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)G是一個每個Sylow子群均為初等交換的超可解群. 順此方向做工作，自然就有兩個問題：1.考慮G的怎樣的子群?2.加什么條件

3、?對第一個問題，通常人們考慮極大子群、極小子群(即素?cái)?shù)階子群)、4階循環(huán)子群(對偶階群而言)、Sylow-子群、Fitting子群、可解子群，……；對第二個問題，開始時人們假設(shè)子群在G的中心內(nèi)或?yàn)镚的正規(guī)子群.下列是一些有趣的經(jīng)典結(jié)果. 定理1.0.5(Ito定理，[1])設(shè)G為奇階群，若G的每個極小子群在Z(G)中，則G為冪零的. 定理1.0.6(Buckley定理，[5])設(shè)G為奇階群，若G的每個極小子群在G中正規(guī)，

4、則G為超可解的. 定理1.0.7(Srinivasan定理，[6])若G的Sylow-子群的每個極大子群在G中正規(guī)(擬正規(guī))，則G為超可解的. 許多作者開始這方面的工作，將上述結(jié)果大大推廣了，給出了許多p-冪零群、冪零群、超可解群的特征.本文繼續(xù)這方面的工作，事實(shí)上，我們的結(jié)果更寬泛，可用formation的理論來敘述. 第1章.我們介紹了問題的背景，基本概念，總結(jié)了本文的結(jié)果.第2章.稱Z為G的Sylow-子群

5、的完全集，如果對p∈π(G)，Z含有且僅含有G的一個Sylowp-子群，記為Gp.稱G的子群H為G的Z-可置換子群，若H與Z中每個元可置換.Z-可置換子群是π-擬正規(guī)子群的推廣.在本章中我們獲得下列結(jié)果： 定理2.2.1設(shè)Z為G的一個Sylow-子群的完全集，p=minπ(G).若Gp∈Z的每個極大子群都是G的Z-置換子群，則G為p-冪零的. 定理2.2.3設(shè)Z為G的一個Sylow-子群的完全集，p=minπ(G).若G

6、與A4無關(guān)，Gp∈Z的每個2次極大子群都是G的Z-置換子群，則G為p-冪零的. 定理2.3.13設(shè)F為包含N的飽和區(qū)，其中N為冪零群類，Z為G的一個Sylow-子群完全集.設(shè)F*(GF)∩G2的每個4階循環(huán)子群均為Z-置換子群，則G∈F可當(dāng)且僅當(dāng)F*(GF)∩Gp中每個素?cái)?shù)階子群在ZF(G)中，其中F*(GF)為GF的廣義Fitting-子群. 定理2.4.4設(shè)F為包含超可解群系的飽和區(qū)，Z為G的一個Sylow-子群完全

7、集，則下列等階： (i)G∈F；(ii)存在G的正規(guī)子群H使得G/H∈F，Gp∩F*(H)的每個素?cái)?shù)階或4階循環(huán)子群均為G的Z-置換子群，p∈π(G). 定理2.4.9設(shè)F為包含超可解群系的飽和區(qū)，Z為G的一個Sylow-子群完全集，則下列等階： (i)G∈F；(ii)存在G的正規(guī)子群H使得G/H∈F，Gp∩F*(H)的每個極大子群均為G的Z-置換子群，p∈π(G). 第3章.稱子群H為G的c-可補(bǔ)子群，

8、若存在子群K，使得G=HK且H∩K≤HG，其中HG為H在G中的核.在本章中，我們證明了：定理3.2.4設(shè)G群，素?cái)?shù)p滿足(|G|，p-1)=1，G與A4無關(guān).若存在正規(guī)子群Ⅳ使得G/Ⅳ為p-冪零的，且Ⅳ的Sylowp-子群的每一個p2階子群在G中均為c-可補(bǔ)的，則G為p-冪零的. 第4章.稱子群H為G的π-擬正規(guī)可嵌入子群若H的Sylow子群均為G的某個π-擬正規(guī)子群的Sylow子群。在本章中我們利用此概念獲得：定理4.2.2設(shè)

9、p∈π(G)，P為G的一個Sylowp子群.如若NG(P)是p-冪零的而且P的每個極大子群均為G的π-擬正規(guī)可嵌入子群，則G為p-冪零的.定理4.2.3設(shè)p=minπ(G)，P為G的一個Sylowp子群.P的每個2次極大子群均為G的π-擬正規(guī)可嵌入子群，則G為p-冪零的. 定理4.3.1設(shè)G群，素?cái)?shù)p滿足(｜G｜，p-1)=1.若存在正規(guī)子群Ⅳ使得G/N為p-冪零的，且Ⅳ的每一個素?cái)?shù)階子群及4階均為G的π-擬正規(guī)可嵌入子群，則G

10、為p-冪零的. 定理3.2.4設(shè)G群，素?cái)?shù)p滿足(|G|，p-1)=1，G與A4無關(guān).若存在正規(guī)子群Ⅳ使得G/Ⅳ為p-冪零的，且Ⅳ的Sylowp-子群的每一個p2階子群均為G的π-擬正規(guī)可嵌入子群，則G為p-冪零的. 第5章.稱H為G的T-子群如果G的每個次正規(guī)子群均為正規(guī)的.稱H為G的NE-子群如果NG(H)∩HG=H，其中HG表示H在G中的正規(guī)閉包.本章有三個目的，第一，給出可解τ-群的兩個新特征：定理5.2.1下列