子群性質(zhì)與有限群結(jié)構(gòu).pdf

1、利用有限群子群的一些性質(zhì)來(lái)刻劃有限群的結(jié)構(gòu)是有限群論的經(jīng)典且重大的課題，也是有限群論研究的一個(gè)重要方法．子群有很多經(jīng)典的性質(zhì)，如交換，正規(guī)，可補(bǔ)等．本文從兩個(gè)方面考察了子群性質(zhì)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響． (一)所有子群皆交換或正規(guī)的有限非交換群 所有子群皆交換的非交換群稱(chēng)為內(nèi)交換群，內(nèi)交換群在[1]中有很詳細(xì)的結(jié)論．而所有子群皆正規(guī)的非交換群稱(chēng)為Hamilton群[2],Hamilton群的結(jié)構(gòu)也早已給出．本章研究所有子群皆交

2、換或正規(guī)的有限群的結(jié)構(gòu)，首先給定一個(gè)概念： 若有限群G是它的正規(guī)子群F與子群日的半直積，我們記G=[F]日．設(shè)G=[F]H是一個(gè)以F為核，循環(huán)群H為補(bǔ)的Frobenius群，若對(duì)任意的1≤H，F(xiàn)都是不可約的H<,1>-子群，則稱(chēng)G為(*)-型Frobenius群． 本文主要得到以下兩個(gè)結(jié)論． 結(jié)論1．設(shè)G非冪零，則G的所有子群皆交換或正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)G/Z(G)是一個(gè)(*)-型Frobeniu8群，且G滿(mǎn)

3、足下述性質(zhì)之一： (1)F(G)交換． (2)F(G)非交換，F(xiàn)(G)=P×Q，其中P是F(G)的非交換的Sylow p-子群，Q=O<,p'>(Z(G))．且P是p<'3>階超特殊p-群．特別地，當(dāng)p=2時(shí)，G/Q=SL(2，3)． 結(jié)論2．設(shè)G是非交換冪零群．若G的所有子群皆交換或正規(guī)，則G=P×A，其中P是G的一個(gè)非交換的Sylow p-子群，A是G的交換p-Hall子群．進(jìn)一步，存在P的正規(guī)交換子群N，使

4、得P/N的所有子群都正規(guī)． (二)一些特殊子群的弱擬正規(guī)性對(duì)有限群超可解性的影響 子群的正規(guī)，半正規(guī)，c-正規(guī)，擬正規(guī)性質(zhì)都對(duì)有限群的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生極大的影響．本章利用子群的弱擬正規(guī)概念得到了有限群超可解的幾個(gè)充分條件．先給出“弱擬正規(guī)”的定義： 稱(chēng)群G的子群日為G的一個(gè)弱擬正規(guī)子群，若任取K≤G，至少存在一個(gè)K的共軛子群K<'x>，x ∈G，使得HK<'x>=K<'x>H． 本文得到以下結(jié)論：若有限群G滿(mǎn)足下

5、列任一條件，則G超可解． (1)G的一個(gè)極大且循環(huán)的子群在G中弱擬正規(guī)； (2)M是G的一個(gè)具有素?cái)?shù)冪指數(shù)的子群，M的所有Sylow子群及M的所有Sylow子群的極大子群均在G中弱擬正規(guī)； (3)M是可解群G的一個(gè)極大正規(guī)子群，M的極大子群均在G中弱擬正規(guī)； (4)G可解， G的Sylow子群的極大子群均在G中弱擬正規(guī)； (5)G可解， G的Sylow子群的循環(huán)子群均在G中弱擬正規(guī)； (6