有限群子群的性質(zhì)對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響.pdf

1、本文研究有限群的某些子群的性質(zhì)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響，內(nèi)容共分四章。 第一章作為全文的引言，簡(jiǎn)述了本文取得的主要工作，并列出了與本文密切相關(guān)的一些基本概念和定理。 設(shè)G是一個(gè)有限群，當(dāng)G的所有極小子群在G中處于良好狀態(tài)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家研究了有限群的結(jié)構(gòu)。例如，N.Ito曾證明一個(gè)奇階群是冪零的，如果它的所有極小子群都在G的中心中。Ito結(jié)果的改進(jìn)形式是：當(dāng)p是奇素?cái)?shù)時(shí)，如果G的所有p階子群都在G的中心中，則G是p-冪零的；當(dāng)G

2、的所有二階元和四階元都在G的中心中，則G是2-冪零的。J.Buckley證明：如果一個(gè)奇階群G的每個(gè)極小子群都是G的正規(guī)子群，那么G是超可解的。A.Yokoyama證明：如果（）是一個(gè)子群封閉的飽和系，G是一個(gè)可解群，它的Sylow2-子群與四元數(shù)群無(wú)關(guān)，那么當(dāng)G的極小子群都在G的（）-超中心Z（）（G）中時(shí)，則G∈（）。等等。然而，以上所考慮的都是充分條件。為了尋求有關(guān)p-冪零、p-超可解、乃至（）p-群的充要條件，在本文第二章中，我

3、們?cè)谀承l件下研究了極小子群對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響，得到了一些有益的結(jié)果（見(jiàn)命題2.2.1，定理2.2.2，推論2.2.3，定理2.2.12，2.2.13，2，2.17，2.2.18，2.2.21，推論2.2.22，定理2.2.27，2.2.30，2.2.33，2.2.35，推論2.2.37），從而推廣了一些數(shù)學(xué)工作者在這方面的工作。 設(shè)G是有限群，它的子群H與K叫做是可換的，如果=HK=KH.如果G的一個(gè)子群日與G的所有子群

4、都可換，就說(shuō)日在G中是擬正規(guī)的（或可換的）。設(shè)7r是G的階的素因子的集合，如果對(duì)于每一個(gè)p∈π，G的子群H與G的每一個(gè)Sylow p-子群可換，那么就說(shuō)G的子群H是G的π-擬正規(guī)子群（或S-擬正規(guī)子群）。擬正規(guī)子群和π-擬正規(guī)子群有許多有趣的性質(zhì)。在本文第三章中，我們研究了有限群的Sylow子群的2-極大子群的π-擬正規(guī)性對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響，獲得了有限群的p-冪零性、超可解性以及具有有序Sylow塔等性質(zhì)的若干充分條件（見(jiàn)定理3.2.2，3

5、.2.5，3.2.8，3.2.10）。 所謂群G的Norm，就是由G的正規(guī)化G的每一個(gè)子群的元素組成的集合，我們用N（G）表示之。顯然，N（G）是G的一個(gè)特征子群，并且G是Dedekind群當(dāng)且僅當(dāng)G=N（G）；眾所周知，G的中心，記為Z（G），包含在G的Norm N（G）中.這一思想是由R.Baer在1935年首先引入的，他總結(jié)了Norm的基本性質(zhì)。至今，已有許多作者研究過(guò)與群的Norm有關(guān)的問(wèn)題。在本文第四章中，我們決定了N

6、orm商群是簡(jiǎn)單的有限群時(shí)的群的表寫(xiě)（presentation）.定理4.2.1及推論4.2.2確定了Norm商群是任意循環(huán)群的有限群的表寫(xiě)，定理4.2.3和定理4.2.4確定了Norm商群是階無(wú)立方階因子的交換群時(shí)的有限群的表寫(xiě)，定理4.2.5和推論4.2.8分別確定了Norm商群足具有循環(huán)的Sylow子群和階是無(wú)平方因子數(shù)時(shí)的有限群的表寫(xiě)。在（）4.3中，我們定義了群G的Norm-中心（norm-center）、Norm-中心嵌入子