Gabor框架和小波框架的必要條件和充分條件.pdf

1、框架這一概念是Duffin和Schacffer在1952年研究非調(diào)和Fourier級數(shù)時(shí)提出來的,它是Riesz基的推廣?？蚣艿囊粋€(gè)重要應(yīng)用是我們可以通過框架系數(shù)來重構(gòu)函數(shù)。近年來,隨著小波分析的發(fā)展,框架理論越來越受到人們的重視.在短短的十幾年內(nèi),框架理論已經(jīng)在函數(shù)論、偏微分方程、量子力學(xué)、理論物理等眾多領(lǐng)域取得了重要的應(yīng)用.特別地,框架在小波分析和不規(guī)則采樣理論中起著非常重要的作用,并且框架理論在信號處理等多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,很

2、多人對此進(jìn)行了深入的研究。本文主要研究了兩個(gè)問題：
　　 第一個(gè)問題是關(guān)于形如∪1≤k≤r{ei(x,λ)gk(x-μ):μ∈△k:λ∈∧k}的多生成不規(guī)則Gabor框架,這里gk∈L2(Rd),△k以及∧k是Rd的任意點(diǎn)列.我們把Chui和Shi在[1]中得到的關(guān)于Gabor框架的重要不等式推廣到高維多生成不規(guī)則Gabor框架的情況.得到了下面的結(jié)果。定理1令△k和∧K為Rd的點(diǎn)列且gk∈L2(Rd),1≤k≤r。(ⅰ).如果

3、∪1≤k≤r{ei(x,λ)gk(x-μ):μ∈△k:λ∈∧k}有框架上界B,則我們有(ⅱ).如果∪1≤k≤r{ei(x,λ)gk(x-μ):μ∈△k:λ∈∧k}有框架下界A則我們有這里D-,D+分別表示點(diǎn)列的下Beurling密度和上Beurling密度。
　　 第二個(gè)問題是關(guān)于小波系構(gòu)成小波框架的必要條件.我們得到了離散小波系{aj/2ψ(aj·-bk):J,k∈Z}成為小波框架的一個(gè)必要條件,證明了當(dāng)伸縮因子a是整數(shù)時(shí)這個(gè)

4、條件是充要的.并進(jìn)一步把這個(gè)結(jié)果推廣到矩陣伸縮的情況.具體來講就是對于實(shí)的擴(kuò)張矩陣A和實(shí)可逆矩陣引以及ψ∈L2(Rd),得到了形式如{|detA|j/2ψ(Ajx-Bk):J∈Z,k∈Zd}的小波系構(gòu)成L2(Rd)的小波框架的一個(gè)必要條件,并且進(jìn)一步證明了這個(gè)必要條件在A為整數(shù)矩陣且AB=BA的假設(shè)下也是充分條件。具體來說,我們證明了以下定理：定理2給定ψ∈L2(R)以及常數(shù)a>1,b>0.(ⅰ).如果{aj/2ψ(aj·-bk):J,

5、k∈Z}是L2(R)的以A和B為界的框架,則有A≤GGa,n(ψ,ω)≤B,n.e.,()n≥1:a∈A＼{0}(ⅱ).進(jìn)一步,如果a是整數(shù),則上面的條件是{aj/2ψ(aj·-bk):J,k∈Z}構(gòu)成L2(R)的框架的充要條件。其中定理3給定ψ∈L2(Rd),實(shí)擴(kuò)張矩陣A以及實(shí)可逆矩陣B.(ⅰ).如果{|detA|j/2ψ(Ajx-Bk):J∈Z,k∈Zd}構(gòu)成L2(Rd)的以L和M為界的框架,則有(ⅱ).進(jìn)一步,如果A是整數(shù)陣且滿足