互反代數整數的最大模的最小值的相關研究.pdf

1、多項式的Mahler測度指的是它的所有模大于1的根與其首項系數的乘積的絕對值．而代數整數的最大模問題是與Mahler測度相關的計算數論中的又一大課題．代數整數α的最大模α指的是它的所有共軛根的模的最大值，又被形象地稱為代數整數α的房子．即對d次代數整數α1α1=α，α2，…，αd是它的所有共軛根，則α=maxl≤i≤d |αi|．如果一個代數整數的極小多項式是互反的，也稱這個代數整數是互反的．不妨設互反代數整數α的極小多項式P為：P=b

2、0x2d+b1x2d-1=…=b2d-1x=b2d=2dⅡi=1(x-αi).其中b0=b2d=1,bi=b2d-i.我們定義s1=Σ2di=1αi,sk=Σ2di=1αki. 對于互反代數整數的最小房子問題，Boyd[1]計算出了次數d≤16的非單位根的代數整數的最小房子．他在計算中用到的方法是：對固定的次數d，他給定界B，使得存在d次的互反代數整數α滿足同≤B．如果同≤B，顯然有|sk|≤dBk．他應用sk的這些界和牛頓公式

3、：sk+sk1b1+…+s1bk-1+kbk=0歸納給出系數bk七的范圍，從而得到一個d次的所有α≤B的互反多項式構成的集合Fd，再進一步找出最小房子． 若沿用Boyd的方法，隨著互反代數整數的次數d的變大，計算時間會急劇增加．因而在本文中，我們借助具有下面形式的輔助函數：f(z)=-Re(z)-J∑j=1ejlog|Qj(z)|得到sk更好的界．此方法曾經在[10]中用到過，我們應用此方法把互反代數整數的最小房子計算到了26次