幾類典型PDEs高次有限元方程的快速算法研究.pdf

1、H(D)(D=grad,curl,div)型橢圓偏微分方程和Maxwell鞍點問題是幾類典型的微分方程組(PDEs).高次有限元方法是求解這幾類偏微分方程的重要離散化方法,由于這些離散系統(tǒng)系數(shù)矩陣的條件數(shù)較強地依賴于網(wǎng)格規(guī)模、跳系數(shù)分布及有限元的次數(shù)(如HBk分層基下的高次有限元)等,因此研究其快速求解算法非常必要.本文利用基于輔助空間的預(yù)條件子方法、代數(shù)多層網(wǎng)格(AMG)法和非重疊區(qū)域分解法(DDM),比較系統(tǒng)地研究了上述幾類典型PD

2、Es的高次有限元離散系統(tǒng)的高效預(yù)條件子及相應(yīng)的快速求解算法，獲得以下主要結(jié)果。
　　針對含跳系數(shù)的H(grad)型橢圓問題在HBk分層基下的高次有限元方程,給出了一種基于塊磨光方法的并行兩水平預(yù)條件子算法(TLB-p),它本質(zhì)性地將高次元預(yù)條件子構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線性元預(yù)條件子構(gòu)造問題.通過將線性元預(yù)條件子取為經(jīng)典并行AMG預(yù)條件子,獲得了求解高次元方程的第一種預(yù)條件子(TLB-AMG-p),數(shù)值實驗結(jié)果表明,相應(yīng)的并行PCG法

3、的迭代次數(shù)基本不依賴于網(wǎng)格規(guī)模,弱依賴于高次元的次數(shù)以及系數(shù)的跳幅,接著,設(shè)計了一種基于非重疊DDM的線性元預(yù)條件子,與已有的非重疊DDM預(yù)條件子相比,它具有粗空間簡單和計算復(fù)雜度低等優(yōu)點,理論和數(shù)值實驗結(jié)果表明該預(yù)條件子對應(yīng)的預(yù)條件系統(tǒng)的有效條件數(shù)是漸近最優(yōu)的,基于該線性元預(yù)條件子,我們得到了另一種求解高次元方程的預(yù)條件子(TLB-DDM-p),數(shù)值實驗結(jié)果表明,相應(yīng)的PCG法也是高效的.
　　針對H(curl)型橢圓問題的兩類

4、高次棱有限元離散系統(tǒng),利用高次元空間的穩(wěn)定性分解理論和上述構(gòu)造的H(grad)型高次元預(yù)條件子,本質(zhì)性地將H(curl)型高次元預(yù)條件子構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線性元預(yù)條件子構(gòu)造問題.進(jìn)一步,通過將線性元預(yù)條件子取為一種基于輔助空間的預(yù)條件子,得到了求解H(curl)型高次棱元方程的第一種預(yù)條件子,數(shù)值實驗結(jié)果表明,不論是對光滑系數(shù)還是對有無浮動子區(qū)域的跳系數(shù)情形,相應(yīng)的并行PCG法的迭代次數(shù)都基本不依賴于網(wǎng)格規(guī)模,弱依賴于系數(shù)跳幅,且具有

5、很好的算法可擴(kuò)展性.接著,設(shè)計了一種基于非重疊DDM的線性元預(yù)條件子,它具有與上述H(grad)型線性元DDM預(yù)條件子同樣的優(yōu)點,特別對常系數(shù)的情形,證明了該預(yù)條件系統(tǒng)的條件數(shù)是漸近最優(yōu)的.數(shù)值實驗驗證了理論的正確性,同時表明對大跳系數(shù)的情形,該預(yù)條件子也是高效的.
　　針對Maxwell鞍點問題零階項系數(shù)γ=0的情形,利用正則化思想和輔助空間預(yù)條件子方法,為高次棱元鞍點系統(tǒng)設(shè)計了一種新的Uzawa算法.特別針對光滑系數(shù)下的線性棱

6、元鞍點系統(tǒng),證明了該Uzawa法的收斂率與網(wǎng)格規(guī)模無關(guān).數(shù)值實驗結(jié)果表明,不論是對于有無浮動子區(qū)域及有無內(nèi)交叉點的跳系數(shù)情形,該Uzawa法的迭代次數(shù)基本不依賴于系數(shù)跳幅及網(wǎng)格規(guī)模,且比常用的Uzawa法具有更強的健壯性和更高的運算效率.
　　針對H(div)型橢圓問題的兩類高次有限元離散系統(tǒng),建立了一般高次元空間的穩(wěn)定性分解理論,它本質(zhì)性地將H(div)型高次元預(yù)條件子構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線性元預(yù)條件子和H(curl)型高次元預(yù)