幾類雙曲型方程交替方向有限元分析.pdf

1、雙曲型方程模型在自然科學(xué)方面有著廣泛的應(yīng)用背景，如在油氣勘探工作中，地震勘探是一種很重要的方法，因為它不僅可以提供沉積覆蓋地區(qū)有關(guān)地下地質(zhì)、地層、巖性等方面的信息，而且工作效率高。地震勘探方法是在地表某測線上，在淺井中用炸藥震源人工激發(fā)地震波，從地震記錄中就可以提取與地質(zhì)構(gòu)造、地層巖性等有關(guān)的信息，從而有利于更準確地尋找油氣層。該問題的模型就可體現(xiàn)為對非線性雙曲型方程的研究。現(xiàn)在地震勘探正進一步向高信噪比、高分辨率、高保真度、高精度的方

2、向發(fā)展，但是由于其復(fù)雜性，還需要在理論、方法和實用問題上進行探索。這些研究結(jié)果對于油氣資源的勘探、開發(fā)，環(huán)境科學(xué)的數(shù)值模擬和計算，以及在尋找地?zé)豳Y源及水文工程、城市建設(shè)、地殼測深等工作中有重要的應(yīng)用價值。 1971年，Douglas和Dupont[10]首次在矩形域上將交替方向和有限元方法相結(jié)合，提出交替方向有限元方法，該方法兼?zhèn)淞私惶娣较虻拇鎯α可?，計算量低以及有限元的高精度特點。在此基礎(chǔ)上，Dendy,Fairweather

3、[11，12]，Bramble，Ewing，Li[13]，王申林[14]等作了進一步的研究。對雙曲型方程交替方向有限元方法的工作最初是在[10]中提出，討論了最簡單形式的雙曲型方程并得到H<'1><,0>-模誤差估計。[11]對[10]中針對雙曲型方程的交替方向有限元方法作了推廣，并得到最優(yōu)L<'2>模誤差估計。[12]提出一種新方法，通過轉(zhuǎn)化雙曲型方程中二階時間導(dǎo)數(shù)項得到關(guān)于一階時間導(dǎo)數(shù)的耦合方程組，然后進行離散，得到一個兩層交替方向

4、有限元格式，并得到H<'1><,0>-模和L<'2>-模誤差估計。該方法雖然不受等時間步長的限制，對初始條件的選取也更具靈活性，但是它是針對一類變量分離系數(shù)型的特殊雙曲型方程進行討論的，對一般形式的雙曲型方程則沒有提及。[10-14]這些工作都是將交替方向有限元方法局限在矩形域上，這顯然不適用于很多實際問題[15，16]。有眾多學(xué)者對Galerkin交替方向法作了計算區(qū)域上的推廣。其中Dendy,Fairweather[17]等人將計算

5、區(qū)域推廣到矩形多邊形區(qū)域。Hayes[18-20]在80年代初將其推廣到更一般的非矩形區(qū)域和曲邊區(qū)域中，利用等參元和等參變換的Jacobi行列式的逼近來研究非矩形域上的非線性拋物問題。對在實際應(yīng)用中出現(xiàn)的各種問題，Hayes[21]，Hayes，Kennon和Dulikravich[22]，Krishnamachari，Hayes[23]做了強調(diào)。該方法在流體流動和熱交換問題中的應(yīng)用在Hayes，Krishnamachari[24]，L

6、ewis，Morgan，Roberts[25]中作了討論。但是這種方法只是對拋物問題進行討論的，對非矩形域上雙曲型問題并沒有文獻提及。 本文作者在袁益讓教授的精心指導(dǎo)下，就雙曲型方程的幾類數(shù)學(xué)模型問題利用有限元方法的技巧，構(gòu)造了具有良好計算效果的交替方向有限元格式，對其作了理論上的分析，并首次給出算例說明了方法的有效性。本文拓廣了前人的工作，不具有重復(fù)性。本文的工作共分為四章內(nèi)容。 第一章結(jié)合[10]中對矩形域上雙曲型問

7、題提出的交替方向有限元方法和[19]中利用等參元，等參變換的Jacobi行列式的逼近來研究的思想，給出了兩類非線性雙曲型方程在非矩形域上的交替方向有限元方法。并且利用微分方程先驗估計的理論和技巧，得到了嚴謹?shù)腖<'2>模誤差估計。本章共分兩節(jié)，分別討論了兩類非線性雙曲型方程，都是先提出問題的三層和四層交替方向有限元方法，而后給出了兩種格式的矩陣形式，最后分別得到了兩種格式的誤差估計?！?．1的內(nèi)容投到《Applied Numerical

8、 Mathematics》，§1.2的內(nèi)容已被《Applied Mathematics and Computation》接收并已經(jīng)在網(wǎng)上發(fā)表。 第一章的創(chuàng)新之處在于：1)用等參元，等參變換的Jacobi行列式的逼近來研究的思想是針對拋物型方程提出的，沒有文獻用該方法對雙曲型方程進行討論。本文彌補了這一點。 2)對雙曲型方程，首次提出四層交替方向有限元格式，這在已有文獻上沒有發(fā)現(xiàn)過。 第二章共兩節(jié)內(nèi)容，主要運用[12]的思

9、想方法分別討論了矩形域上的二維和長方體域上三維擬線性雙曲型方程的交替方向有限元方法。兩節(jié)的結(jié)構(gòu)相同，都是首先將雙曲型方程轉(zhuǎn)化為一個耦合方程組，其次提出其交替方向有限元格式，利用微分方程先驗估計的理論和技巧得到了嚴謹?shù)腍<'1>-模和L<'2>-模誤差估計，并且對于將雙曲型方程轉(zhuǎn)化為耦合方程組的這類解決問題的方法，首次給出了數(shù)值算例?！?.1的內(nèi)容已被《Applied Mathematicsand Computation》接收并已經(jīng)在網(wǎng)上

10、發(fā)表。§2.2的內(nèi)容投到《計算數(shù)學(xué)》。 第二章的創(chuàng)新之處在于：1)[12]中提出的新方法是針對一類變量分離系數(shù)型的特殊雙曲型方程進行討論的，對更一般形式的雙曲型問題沒有提及，而本文作了討論；2)該新方法自提出后并沒有數(shù)值分析的支持，而本文則首次給出了數(shù)值算例來支持理論分析結(jié)果，指出該方法的確是一類切實可行的使用高效的工程計算方法。 第三章在第二章的基礎(chǔ)上仍然運用[12]的思想方法討論了矩形域上非線性雙曲型方程的交替方向有

11、限元方法。本章的結(jié)構(gòu)同第二章，也是首先將雙曲型方程轉(zhuǎn)化為一個耦合方程組，其次提出其交替方向有限元格式，得到了嚴謹?shù)腍<'1>-模和L<'2>-模誤差估計，并首次給出了非線性問題的數(shù)值算例。這部分內(nèi)容沒有在相關(guān)文獻發(fā)現(xiàn)。第三章的內(nèi)容投到《Journal of Computational and Applied Mathematics》。 第四章討論了另外形式的方程：廣義KdV方程。孤立子作為一個典型的非線性現(xiàn)象在物理和工程領(lǐng)域有著

12、廣泛的應(yīng)用。關(guān)于KdV方程及更為廣泛一類進化方程的理論研究已有很多工作[26-29]。雖然求廣義KdV方程數(shù)值解的工作也有很多[30-36]，但并沒有對數(shù)值解和精確解給出充分的比較。對于廣義KdV方程，當(dāng)石x→±∞時，邊值趨于0，這樣在對數(shù)值解和精確解作比較時，就有必要考慮對相對誤差的分析。但是對廣義KdV方程差分格式做相對誤差的分析未見到有論文提出。盡管在[30，35]中提出的偽譜方法對于求解廣義KdV方程的數(shù)值解比差分方法更有效，但

13、是對誤差的比較也僅限于L<'2>，L<,∞>模和計算時間的比較，并未涉及對相對誤差的比較。 §4.1首先對一類廣義KdV方程提出兩個差分格式Ⅰ和Ⅳ，并給出了它們的穩(wěn)定性證明。用Fourier方法分析了格式Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ的數(shù)值耗散和數(shù)值頻散。所得結(jié)果與在[31，32]中給出的一致。然后對幾種差分格式作了較詳細的比較，尤其注意了對相對誤差的比較。 §4．1的內(nèi)容已在《Communications in Numerical Met

14、hods in Engineering》上發(fā)表。 §4．2從另一角度用胞映射方法對廣義KdV方程全局吸引域進行了討論。胞映射是點映射通過離散化得到的。點映射作為解決非線性動力系統(tǒng)的有效工具，其一般方法可以追溯到Poincare和Birkhoff<'[37-38]>。簡單胞映射方法(SCM)[39]是C.S.Hsu在20世紀80年代初提出和發(fā)展的。該方法對于研究高維非線性動力系統(tǒng)全局穩(wěn)定性分析是很有效的工具，見[40-42]。本節(jié)

15、首先用行波法將廣義KdV方程轉(zhuǎn)化為常微分方程組，并得到廣義KdV方程的相圖，然后用SCM方法得到廣義KdV方程的全局吸引域和有限步吸引域。畫相圖時主要用到四階Runge-kutta方法，要選不同的初值，而SCM方法主要用到四階Runge-kutta方法和中心點法，不用考慮初值的問題。比較相圖和吸引域，它們是一致的。這意味著可以從胞映射角度對孤立子進行研究，這在相關(guān)文獻上還沒有發(fā)現(xiàn)。§42的內(nèi)容已在《Chaos，Solitons&Frac

16、tals))上發(fā)表。 第四章的創(chuàng)新之處在于：1)首次對廣義KdV方程差分格式作了相對誤差的比較。21首次用胞映射方法討論了廣義KdV方程的全局吸引域。這些內(nèi)容在相關(guān)文獻上均沒有發(fā)現(xiàn)。 在外文論文部分共附有四篇論文，分為四章。其中第一章發(fā)表在《Applied Mathematicsand Computation》，第二章發(fā)表在《Applied Mathematics and Computation》，第三章已投稿到《Jou