幾類微分方程的分支計算與穩(wěn)定性問題.pdf

1、關于平面上光滑自治系統(tǒng)極限環(huán)的分支問題已有很豐富的理論，如Hopf分支，Poincaré分支，同、異宿分支等，并且所得的研究結果在具體的方程中已得到很好的應用。當所研究系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的原點是初等中心時，通過計算該系統(tǒng)的Liapunov數可以討論中心-焦點和極限環(huán)分支問題。在考慮平面近Hamiltonian系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題時要用到它的一階Melnikov函數表達式。對于平面上的非光滑系統(tǒng)的極限環(huán)分支理論的研究剛剛起步，當一般非光滑系統(tǒng)

2、的線性系統(tǒng)在原點是焦點-焦點型時，已有學者給出了該系統(tǒng)的前幾個Liapunov數的表達式.最近文獻[33]考慮了擾動閉軌族可以分支出極限環(huán)的個數問題。
　　 本論文主要討論了兩個方面的內容，一方面是關于平面上非光滑動力系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題，它體現在文章的二、三章中；另一方面討論了幾個時滯捕食被捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分支等問題，并進行了數值模擬，見本文的四—七章。
　　 具體內容如下:
　　 在第二章中研究的是一類平面

3、非光滑Liénard系統(tǒng)的原點處分支出的極限數目問題，通過引入變換和構造Poincaré回歸映射給出一種計算該類系統(tǒng)的Liapunov數的一種算法.通過閱讀文獻[21]，[23]，結合一些新的技巧和方法，利用Liapunov數的表達式，給出可以判定某些系統(tǒng)分支出極限環(huán)個數的一些定理.然后利用這些定理，討論了幾個具體的例子。
　　 第三章里，類似于應用平面上的光滑Hamiltonian擾動系統(tǒng)的一階Melnikov函數表達式，可以

4、討論該系統(tǒng)可以分支出極限環(huán)的個數，應用新的技巧推導出了一類分段Hamiltonian擾動系統(tǒng)的一階Melnikov函數表達式，對一些具體系統(tǒng)應用本文算出的表達式，可以知道加小擾動后系統(tǒng)可以分支出的極限環(huán)的數目。
　　 在第四章里文獻[42]和[43]考慮了一類具有收獲和年齡結構的捕食被捕食系統(tǒng)，它們對系統(tǒng)的特殊情形進行了討論，討論了一般情形下系統(tǒng)正平衡位置的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性問題。
　　 第五、六章是通過構造合適的L

5、iapunov函數和泛函，討論了兩類捕食被捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。
　　 第七章考慮的是一個具有時滯和被捕食者帶有擴散和避難的生物數學模型，應用Routh-Hurwitz引理，分析了系統(tǒng)正平衡位置的局部穩(wěn)定性和分支出周期解的條件，把系統(tǒng)轉化成標準型并應用中心流形定理，給出了判斷Hopf分支的方向和分支出周期解的穩(wěn)定性的表達式。
　　 最后應用數值模擬的方法，考慮了系統(tǒng)在脈沖擾動下的分支現象。
　　 本文的主要創(chuàng)新之