四元數(shù)體在四維空間中凸正多單形體中的應(yīng)用.pdf

1、在歐氏幾何學(xué)中，有著一種極為規(guī)則的圖形，稱為正多單形體，它們?cè)谠诓煌木S度下有著不同的名稱：在平面上，它們被稱為正多邊形，而在三維空間中，它們被稱為正多面體。它們?cè)跀?shù)學(xué)、自然科學(xué)、藝術(shù)散發(fā)著無(wú)盡的魅力，吸引著人們?nèi)ヌ剿?。在漫漫歷史的長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)家們不懈的努力也使得這一領(lǐng)域碩果累累。
　　 1795年，德國(guó)數(shù)學(xué)家C．F．Gauss是出了有名的正十七邊形的幾何作圖法，但正n邊形作圖可能的充分必要條件是邊數(shù)可以因子分解為n=2mp1…

2、pk（m≥0）的形式，而每個(gè)Pi是相異的形如22ι+1的Fermat素?cái)?shù)。
　　 古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾對(duì)五種正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體作過(guò)專門研究。在群論中，每種正多面體都對(duì)應(yīng)著SO3中的旋轉(zhuǎn)群的有限子群，稱為正多面體群。
　　 1752年，瑞士數(shù)學(xué)家L．Euler發(fā)現(xiàn)了三維空間中任意簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、和面數(shù)F滿足關(guān)系式V-E+F=2，這就是著名的歐拉多面體公式。

3、r>　　 1883年，法國(guó)數(shù)學(xué)家J.H.Poincare證明，Euler公式可以推廣到更高維，其中K是n維有限單純復(fù)形；αr為r維胞腔數(shù)。在本質(zhì)上，它們是GaussBonnet公式的一種表達(dá)形式。
　　 在更高維數(shù)下，瑞士幾何學(xué)家路德維?！な┤R夫利證明了在4維空間中，有六種凸正多單形體，分別是正五胞腔體、正八胞腔體、正十六胞腔體、正二十四胞腔體和正一百二十胞腔體。而當(dāng)維數(shù)n≥5時(shí)，則只有三種，它們的邊界數(shù)分別為n+1，2n，2

4、n。
　　 1948年，英國(guó)幾何學(xué)家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特在他的《Regular Polytope》[1]一書(shū)中，詳細(xì)講述了四維空間里的六種正多單形體（前面已列舉的正五胞腔體、正八胞腔體、正十六胞腔體、正二十四胞腔體、正一百二十胞腔體和正六百胞腔體）的性質(zhì)，并給出了正多單形體的頂點(diǎn)的局部坐標(biāo)。他對(duì)于坐標(biāo)的計(jì)算方法是基于代數(shù)方程及三角函數(shù)的性質(zhì)。而事實(shí)上，利用四元數(shù)體工具則可以更簡(jiǎn)潔的解決這些問(wèn)題。
　　 四元

5、數(shù)體是一種拓展復(fù)數(shù)，最早由愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·哈密爾頓于1843年提出，當(dāng)時(shí)，四元數(shù)體成為一種研究幾何學(xué)和物理學(xué)的重要工具，被用來(lái)描述幾何運(yùn)動(dòng)和電磁學(xué)的麥克斯韋方程組。
　　 在以前對(duì)四元數(shù)體的應(yīng)用中，四元數(shù)體僅僅表示出了三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換，而沒(méi)有揭示出它作為四維空間中旋轉(zhuǎn)變換的一種特倒的本質(zhì)。本文通過(guò)汁算二維子平面方向張量，及張量反射變換公式，導(dǎo)出四維空間中用四元數(shù)體表示旋轉(zhuǎn)變換的完整公式，并揭示了四元數(shù)體表示旋轉(zhuǎn)變換的赤道平

6、面與旋轉(zhuǎn)乘子的關(guān)系。
　　 本文共解決以下三個(gè)問(wèn)題：
　　 1．用四元數(shù)體表示四維空間中的反射及旋轉(zhuǎn)變換。
　　 2.用四元數(shù)體計(jì)算四維空間中最復(fù)雜的兩種正多單形體的頂點(diǎn)坐標(biāo)。
　　 3.判斷四維空間中正一百二十胞腔體的頂點(diǎn)是否有作為正五胞腔體頂點(diǎn)的子集。
　　 下面是本文對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題給出的結(jié)果：
　　 設(shè)qυ是一個(gè)四維向量對(duì)應(yīng)的四元數(shù)體，ρ是一個(gè)二維子空間，σ是以ρ為赤道面旋轉(zhuǎn)角為θ的

7、旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)R是ρ的一個(gè)方向張量矩陣，rij是它的第i行第j列元素，滿足令則對(duì)作旋轉(zhuǎn)變換σ以后對(duì)應(yīng)的四元數(shù)體qσ（υ）的值為：相比以前用的四元數(shù)體表示三維空間的旋轉(zhuǎn)變換，這個(gè)結(jié)果可以更直接求出旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角、軸平面及赤道平面。
　　 正一百二十胞腔體和正六百胞腔體是四維空間中最復(fù)雜的兩種凸正多單形體。它們的頂點(diǎn)位置關(guān)系極其復(fù)雜。本文發(fā)揮了四元數(shù)體作為一種工具，計(jì)算出它們頂點(diǎn)的局部坐標(biāo)，與前面計(jì)算坐標(biāo)的方法相比，減少了計(jì)算量和數(shù)

8、據(jù)存儲(chǔ)負(fù)擔(dān)，得劍下面結(jié)果：
　　 點(diǎn)集（±4，0，0，0）、（±1，±1，±1，±1）及其坐標(biāo)分量的偶排列構(gòu)成凸正多單形體{3，3，5}的120個(gè)頂點(diǎn)。
　　 點(diǎn)集及其坐標(biāo)分量的偶排列構(gòu)成凸正多單形體{5，3，3}的600個(gè)頂點(diǎn)。這是問(wèn)題2的結(jié)果，具體的計(jì)算過(guò)程在正文中有詳述。
　　 這個(gè)結(jié)果與考克斯特的結(jié)果一致，不同的地方就是這里把所有的分?jǐn)?shù)化成了整數(shù)，有利于發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)。
　　 四維空間中的六種正多

9、單形體之間有著嵌入關(guān)系。其中正五胞腔體嵌入正一百二十胞腔體足最難以發(fā)現(xiàn)的。這個(gè)結(jié)論可以用枚舉法證明，然而由于正一百二十胞腔體的頂點(diǎn)數(shù)多達(dá)600個(gè)，只能程序逐個(gè)計(jì)算。但本文通過(guò)坐標(biāo)內(nèi)部的聯(lián)系及正交變換的證明了一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論，并直觀地揭示了這些頂點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系：
　　 設(shè)RP是一個(gè)正一百二十胞腔體，V是P的一個(gè)頂點(diǎn)，則可以在P的頂點(diǎn)中找出28個(gè)頂點(diǎn)，等分成七組，使得每組的四個(gè)頂點(diǎn)與V構(gòu)成正五胞腔體的五個(gè)頂點(diǎn)，且從不同組里選出的點(diǎn)構(gòu)

10、不成正五胞腔體的頂點(diǎn)。這個(gè)結(jié)果不僅給了問(wèn)題3肯定的回答，而且給出了具體的數(shù)量。
　　 本文的結(jié)構(gòu)如下：第一章闡述基本概念，問(wèn)提的由來(lái)：第二章則是先介紹幾何學(xué)和四元數(shù)體的基本知識(shí)，然后解決第一個(gè)問(wèn)題。第三章則利用第一個(gè)問(wèn)題的結(jié)果解決第二個(gè)問(wèn)題，并利用第二個(gè)問(wèn)題的結(jié)果分析并解決第三個(gè)問(wèn)題。
　　 本文最后給出利用第一個(gè)問(wèn)題的結(jié)果給出四元數(shù)計(jì)算四維空間中的幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中的坐標(biāo)的方法，利用這種變換，可以大大減少動(dòng)畫(huà)過(guò)程中的計(jì)算