四元射影空間中的一些特殊曲面.pdf

1、特殊曲面是包括Gauss曲率是常數(shù)和平均曲率為零的曲面.本文主要研究四元數(shù)射影空間中的特殊曲面—極小曲面.
　　極小曲面是平均曲率H=(0)的曲面.最早是由Plateau問(wèn)題引出的.是數(shù)學(xué)中有悠久歷史的極為重要的課題，是微分幾何中研究得最多的曲面，它與復(fù)解析函數(shù)和偏微分方程有深入的聯(lián)系.它與許多數(shù)學(xué)分支有密切的聯(lián)系，在建筑，航空，輪船制造，生物，計(jì)算機(jī)圖形等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用.由于其廣泛的應(yīng)用，該問(wèn)題自十九世紀(jì)二三十年代提出開始便一

2、直吸引著眾多學(xué)者.其中代表人物有Jesse，Douglas，Morse，Couant等.他們對(duì)極小曲面是否存在？在什么條件下存在？極小曲面的數(shù)目有多少？等問(wèn)題深入進(jìn)行了研究.本文利用前人研究曲面的方法及研究曲面的普遍方法對(duì)四元射影中的極小曲面做一研究.
　　研究四元射影空間中的極小曲面，首先要對(duì)四元射影空間有很好的了解.四元射影空間是具有常四元截面曲率4的四元?jiǎng)P勒流形.由于四元數(shù)的不可交換性，對(duì)于四元射影空間中子流形的幾何的研究有

3、較大困難，因此我們?nèi)缜叭怂鞯哪菢樱瑢⑺脑獢?shù)體H解釋成一個(gè)二維復(fù)向量空間C2并帶有一個(gè)實(shí)線性算子j:C2→C2滿足j2=-1，由此出發(fā)，我們?cè)谒脑溆翱臻gHPn中引進(jìn)度量，使其成為具有常四元截面曲率4的四元?jiǎng)P勒流形.
　　李興校，劉西民等人已對(duì)曲面在四元射影空間中的極小浸入進(jìn)行了深入研究，而對(duì)于HPn中的曲面，研究結(jié)果不是很多.Salamon研究了四元?jiǎng)P勒流形中可兼的極小曲面，證明了這樣的曲面可提升為(Z)中的極小曲面.Glaze

4、brook研究了曲面到HPn中的迷向調(diào)和映射，證明了線性完滿的迷向調(diào)和映射φ:M→HPn的集合與M×C2n+2的某一類全純子叢的集合一一對(duì)應(yīng).Zandi在四元?jiǎng)P勒流形中的極小曲面上定義了光滑的四元Darboux標(biāo)架，此標(biāo)架在退化點(diǎn)處是連續(xù)的，然后定義了一個(gè)6次(6，0)型微分式，并證明了在HPn的情形這一微分式是全純的.
　　文章分為四部分:
　　第一章引言主要介紹了極小曲面的歷史起源及本文主要內(nèi)容.
　　第二章是四元

5、數(shù)射影空間.我們介紹了四元線性空間并給出了四元數(shù)射影空間的定義及四元數(shù)射影空間上的聯(lián)絡(luò).
　　第三章利用x:M→ HPn的到S4n+3的局部提升及活動(dòng)標(biāo)架法研究了四元射影空間中的曲面，給出了四元射影空間中曲面的平均曲率及x:M→HPn是極小曲面的充要條件.
　　第四章中首先給出了四元射影空間中常四元數(shù)角的定義，然后給出了本文中主要定理:設(shè)x:M→HPn是常四元數(shù)角0＜θ＜π/2的極小曲面，則M的高斯曲率K≤1，并且當(dāng)K=1時(shí)