縱向數(shù)據(jù)混合效應(yīng)模型的統(tǒng)計(jì)分析.pdf

1、在調(diào)查或試驗(yàn)中存在著大量的縱向數(shù)據(jù)，所謂縱向數(shù)據(jù)是指對(duì)每個(gè)個(gè)體在不同的時(shí)間點(diǎn)上測得的一系列數(shù)據(jù)。與橫向數(shù)據(jù)相比，縱向數(shù)據(jù)的一個(gè)主要優(yōu)勢在于它可以有效地估計(jì)個(gè)體內(nèi)和個(gè)體間隨時(shí)間變化的趨勢?？v向數(shù)據(jù)廣泛存在于如社會(huì)科學(xué)、醫(yī)學(xué)、藥物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、農(nóng)業(yè)和工業(yè)等領(lǐng)域中，因此研究縱向數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析有重要的意義。在縱向數(shù)據(jù)中，雖然不同個(gè)體間可視為是相互獨(dú)立的，但是同一個(gè)體的多次觀察數(shù)據(jù)間存在著不可忽視的相關(guān)性，恰當(dāng)?shù)靥幚磉@種相關(guān)性是做好統(tǒng)計(jì)

2、分析的關(guān)鍵。而混合效應(yīng)模型提供了描述這種關(guān)系的一種有效方法，本文將圍繞這個(gè)主題展開討論，歸納起來，本論文的主要內(nèi)容有：第一章綜述性地介紹了本文所涉及的概念、背景、文獻(xiàn)中相關(guān)模型和方法。關(guān)于縱向數(shù)據(jù)的一個(gè)重要研究方向是在較合理的模型假定下給出具有一定優(yōu)良性的估計(jì)。為此本章較為詳細(xì)的敘述了文獻(xiàn)中兩類相關(guān)且在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用的模型：線性混合效應(yīng)模型和變系數(shù)模型。同時(shí)本章還回顧了非參數(shù)回歸模型的局部光滑估計(jì)方法： Nadaray

3、a-Watson估計(jì)、Gasser-Miller估計(jì)和局部多項(xiàng)式估計(jì)方法；由于局部多項(xiàng)式方法相對(duì)于其它兩種方法存在著種種優(yōu)點(diǎn)，本論文將使用局部多項(xiàng)式方法給出未知函數(shù)的估計(jì)。第二章討論了如下形式的關(guān)于縱向數(shù)據(jù)的隨機(jī)截距模型：yij=ui+xτijβ+∈ij i=1，2，…，m；j=1，2，…，ni，其中ni為個(gè)體i的觀測次數(shù)，yij為個(gè)體i的第j次觀察值， xij∈rp為給定的協(xié)變量；β為總體未知參數(shù)；ui是iid.的隨機(jī)

4、效應(yīng)，其期望和方差分別為Eu1=θ，Var(u1)=σ2u＜∞；隨機(jī)誤差∈ij iid.滿足E∈11=0，E∈211=σ2∈＜∞，且與ui獨(dú)立.這個(gè)模型也稱為誤差分量或方差分量模型(見Hsiao,1986)，其主要目的是對(duì)θ，β，σ2u，σ2u,作出統(tǒng)計(jì)推斷.我們?cè)趯?duì)ui及∈ij沒有任何分布設(shè)定的情況下，建立了參數(shù)θ，β，σ2u，σ2∈的無偏估計(jì)顯式表示；并且在較一般的條件下給出了上述估計(jì)量的強(qiáng)相合性，方差分量估計(jì)的強(qiáng)收斂階

5、(達(dá)到了最優(yōu)的收斂速度)和β，σ2∈估計(jì)的漸近正態(tài)性.第三章討論了一般線性混合效應(yīng)模型。Laird & Ware(1982)研究了如下的模型：(公式略)其中ni為個(gè)體i的觀察次數(shù)，Xi和Zi分別為個(gè)體間和個(gè)體內(nèi)的已知設(shè)計(jì)矩陣，βp×1為總體參數(shù)，bi∈Rq是第i個(gè)個(gè)體的隨機(jī)效應(yīng)向量，且bi iid.，與∈i獨(dú)立，∈ij為iid.期望為0，方差為σ2∈(0＜σ2∈＜∞)的隨機(jī)誤差.我們?cè)诓辉O(shè)定隨機(jī)效應(yīng)和隨機(jī)誤差分布的情況下，

6、使用LS方法和殘差平方和分別給出了模型未知參數(shù)β，σ2∈估計(jì)及隨機(jī)效應(yīng)bi預(yù)測的顯式表示，而且深入研究了這些估計(jì)量的大樣本性質(zhì)，在設(shè)計(jì)點(diǎn)列及一定矩條件下證明了各估計(jì)量的強(qiáng)相合性和β估計(jì)的漸近正態(tài)性.第四章研究了一個(gè)新的模型一隨機(jī)截距變系數(shù)模型。Hastie & Tibshirani(1993)提出了如下一般形式的變系數(shù)模型：Y=X1β1(R1)+…+Xpβp(Rp)+∈其中Y為響應(yīng)變量，X=(X1，…，Xp)T為解釋向量，

7、{βl(·)，1≤l≤p}是一些未知函數(shù)，R1，…，Rp稱為效應(yīng)改變(effect modifying)變量，即通過諸未知函數(shù)β1(·)，…，βp(·)來改變X1，…，xp的系數(shù)， β(Rl)(l=1，…，p)暗含了Rl和Xl的一種特殊的相互聯(lián)系，∈是期望為0、方差為σ2∈的獨(dú)立于Xl，Rl的隨機(jī)誤差。注意到Rl可能互不相同，也可能相同，也可能是某個(gè)Xl。當(dāng)R1，…，Rp取不同的協(xié)變量時(shí)，由于“維數(shù)禍根”(the curse

8、 of dimension)問題，上述模型在實(shí)際問題處理中有一定難度。有時(shí)，人們常常將R1，…，Rp取成相同的一元協(xié)變量，如時(shí)間(West,Harrison & Migon 1985，Hastie & Tibshirani 1987和Cleveland，Groose & Shyu 1991)。如將變系數(shù)模型看成是一般線性模型的一種有用的推廣(參見Shumway 1988，P.245)，就存在著與線性模型相同的缺陷，即通常假定回

9、歸函數(shù)是非隨機(jī)的，因而不能很好地反映個(gè)體之間存在的差異.借鑒線性混合效應(yīng)模型的處理，本章中我們提出了帶隨機(jī)截距項(xiàng)的變系數(shù)模型，即如下形式的模型：Y=u+XTβ(w)+∈其中u是隨機(jī)變量，反映了試驗(yàn)的隨機(jī)效應(yīng)，X∈Rp，w∈R為設(shè)計(jì)點(diǎn)列，β(w)=(β1(w)，…，βp(w))T為未知函數(shù)系數(shù)，我們稱此模型為隨機(jī)截距變系數(shù)模型.若在此模型中，對(duì)所有的l=1，…，p，βl(·)=βl(βl為常數(shù))，則此模型就化為隨機(jī)截距模型(

10、radom intercept models)；若u三0，則退化為變系數(shù)模型；顯見這一模型是更具靈活性的一個(gè)新模型.在縱向數(shù)據(jù)的隨機(jī)截距變系數(shù)模型中，我們使用局部多項(xiàng)式方法，給出了函數(shù)系數(shù)βl(·)(l=1，…，p)的估計(jì)。通過應(yīng)用函數(shù)系數(shù)的估計(jì)建立了隨機(jī)效應(yīng)方差σ2u及誤差方差σ2∈的估計(jì)。并探討了這些估計(jì)量的強(qiáng)相合性。兩個(gè)實(shí)例結(jié)果表明，這種新模型是合理的、有用的，相應(yīng)的估計(jì)量是有效可行的。第五章進(jìn)一步推廣了上一章中的隨機(jī)

11、截距變系數(shù)模型。提出了下述更一般的模型：Y=XTβ(w)+ZTb+∈其中Y∈R為響應(yīng)變量；X∈Rp，Z∈Rq，w∈R為設(shè)計(jì)點(diǎn)列；β(w)=(β1(w)，…，βp(w))T為未知函數(shù)系數(shù)；bi∈Rq為第i個(gè)個(gè)體的隨機(jī)效應(yīng)向量，我們稱此模型為變系數(shù)混合效應(yīng)模型.在縱向數(shù)據(jù)場合下，我們首先在假定隨機(jī)效應(yīng)期望θ已知的情況下，利用局部多項(xiàng)式方法得到了函數(shù)系數(shù)β(·)的估計(jì)，通過應(yīng)用函數(shù)系數(shù)的這一估計(jì)，給出了隨機(jī)效應(yīng)期望θ的LS估計(jì)

12、，最后依次得到了β(·)，σ2b，σ2∈的估計(jì)及bi的預(yù)測。并研究了這些估計(jì)量的強(qiáng)相合性及bi預(yù)測，θ估計(jì)的漸近正態(tài)性。模擬研究結(jié)果顯示，這種新模型是合理的，估計(jì)方法是較為理想的。由于充分挖掘了縱向數(shù)據(jù)所提供的豐富信息，我們?cè)诓辉O(shè)定隨機(jī)效應(yīng)和誤差分布的條件下，成功建立了模型中未知量的顯式估計(jì)，較為全面地探討了相應(yīng)估計(jì)量的大樣本性質(zhì)；進(jìn)一步，本論文提出了一類更具靈活性的新模型一變系數(shù)混合效應(yīng)模型，不同于變系數(shù)模型的文獻(xiàn)，我們?cè)?/p>