一種新的iSCAD懲罰厄蘭混合模型的一致估計(jì)及其在保險(xiǎn)中的應(yīng)用.pdf

1、本文主要研究Erlang混合分布的估計(jì)和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，其密度函數(shù)是h（x;α，γ，θ）=m∑ j=1αjxγj-1e-x/θ/θγj(γj-1）!，x＞0，其中α=（α1，…，αm）是混合權(quán)重系數(shù)，γj是Erlang分布的整數(shù)形狀參數(shù)，θ＞0是尺度參數(shù)。
　　Erlang混合模型主要應(yīng)用于金融、保險(xiǎn)領(lǐng)域，在保險(xiǎn)破產(chǎn)理論和保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)的擬合中都有重要應(yīng)用，模型適合分析保險(xiǎn)數(shù)據(jù)的異質(zhì)性，同時(shí)對(duì)于保險(xiǎn)人關(guān)心的指標(biāo)有顯式解析式。Willmot

2、&Woo[67]給出Erlang混合模型在破產(chǎn)理論中的應(yīng)用，當(dāng)投保人的損失額服從Erlang混合分布時(shí)，有限、無限時(shí)間破產(chǎn)概率，隨機(jī)破產(chǎn)時(shí)刻的拉普拉斯變換等都有顯式解析式。類似的研究可以參閱[7，41，47，63]等文獻(xiàn)。Lee&Lin[43]給出Erlang混合模型在保險(xiǎn)損失擬合中的應(yīng)用，計(jì)算了常見的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)Value-at-risk(VaR)和tail VaR(TVaR); Verbelen[64]等在Erlang混合模型中引入

3、雙邊截?cái)啵@方面的研究還有[23，64，65]等文獻(xiàn)。
　　混合模型的線性結(jié)構(gòu)很好的刻畫了異質(zhì)性，但是產(chǎn)生了不可回避的問題:混合數(shù)（序）的確定。很多學(xué)者討論過正態(tài)混合模型序的確定，主要包括最小距離法[15，38]，假設(shè)檢驗(yàn)法[17，18，25，26]，懲罰似然法[1，16，40，58]等。Erlang混合模型序確定的文獻(xiàn)比較少，Lee&Lin[43]和Verbelen[64]都采用傳統(tǒng)的BIC來確定，但是并沒有給出BIC在Erla

4、ng混合分布中統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的說明。
　　混合模型的線性結(jié)構(gòu)與線性回歸的結(jié)構(gòu)很相似，F(xiàn)an&Li[31]提出應(yīng)用于線性回歸模型的SCAD懲罰函數(shù)，SCAD通過懲罰回歸系數(shù)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了變量的選擇和回歸系數(shù)的估計(jì)。受Fan&Li[31]的啟發(fā)，本文提出一種新的懲罰函數(shù)，命名為iSCAD，將其應(yīng)用于Erlang混合模型，通過懲罰權(quán)重參數(shù)，運(yùn)用EM算法，給出了混合模型的權(quán)重參數(shù)的閾值式估計(jì)(π)(k+1）j=(q)(k）jI（(q)(k）j＞a

5、λ）+M/λ((q)(k)j-λ）+I（(q)(k）j≤aλ）同時(shí)實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的估計(jì)和模型序的確定，而且估計(jì)量滿足稀疏性、連續(xù)性和無偏性，即關(guān)于零鄰域內(nèi)的權(quán)重參數(shù)的估計(jì)具有稀疏性，遠(yuǎn)離零的權(quán)重參數(shù)的估計(jì)具有無偏性，估計(jì)關(guān)于樣本是連續(xù)的。
　　本文第二章給出參數(shù)估計(jì)量統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的證明，借鑒Wald[66]的證明，基于一些必要的引理，定理2.4.6證明了極大懲罰似然函數(shù)的估計(jì)滿足一致性，推論2.4.8證明了混合模型序估計(jì)的一致性。第三章針

6、對(duì)左截?cái)酁閘的Erlang混合分布，詳細(xì)闡述如何利用EM算法來估計(jì)混合權(quán)重參數(shù)和Erlang分布共用的尺度參數(shù)。本章進(jìn)行兩個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)，同時(shí)將模型應(yīng)用于實(shí)際保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)，結(jié)果說明本文建議的方法比傳統(tǒng)的BIC方法更有效，驗(yàn)證了模型和算法的有效性。
　　本文關(guān)于模型的選擇是通過刪除小權(quán)重的分量模型來實(shí)現(xiàn)。保險(xiǎn)數(shù)據(jù)的尾部是大額且稀疏的，其相應(yīng)的權(quán)重很小但不可刪除。為克服這個(gè)缺陷，第四章引入極值分布，用于擬合大于閾值μ的尾部數(shù)據(jù)，建立了Er