基于偏微分方程的圖像分割和腫瘤生物醫(yī)學建模研究.pdf

1、偏微分方程是反映有關的未知變量關于時間的導數(shù)和關于空間變量的導數(shù)之間制約關系的等式。許多領域中的數(shù)學模型都可以用偏微分方程來描述，很多重要的物理、力學等學科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微積分理論剛形成后不久，人們就開始用偏微分方程來描述、解釋或預見各種自然現(xiàn)象，并將所得到的研究方法和研究成果運用于各門科學和工程技術中，顯示了偏微分方程對于人類認識自然界基本規(guī)律的重要性。逐漸地，以物理、力學等各門科學中的實際問題為背景的偏微分方程的

2、研究成為傳統(tǒng)應用數(shù)學中的一個最主要的內容，它直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實際問題，不斷地提出和產(chǎn)生出需要解決的新課題和新方法，不斷地促進著許多相關數(shù)學分支（如泛函分析、微分幾何、計算數(shù)學等）的發(fā)展，并從它們之中引進許多有力的解決問題的工具。偏微分方程已經(jīng)成為當代數(shù)學中的一個重要的組成部分，是純粹數(shù)學的許多分支和自然科學及工程技術等領域之間的一座重要的橋梁。
　　 本論文主要討論偏微分方程這一強大的數(shù)學工具在圖象分割和生物醫(yī)學建模領域

3、的應用。
　　 在圖像處理和計算機視覺中，基于偏微分方程的方法已經(jīng)成為研究的熱點。一方面它得益于偏微分方程作為基礎數(shù)學的一個重要分支，已經(jīng)形成了理論體系和數(shù)值方法;另一方面也得益于傳統(tǒng)的圖像處理技術所積累的經(jīng)驗。在過去的十幾年里，偏微分方程被廣泛應用于不同的圖像處理領域:圖像分割、放大、超分辨率分析、修復、銳化、去噪、運動物體輪廓跟蹤等等。
　　 在圖象分割領域，偏微分方程的應用開始于上世紀八十年代末——Kass等人提出

4、了以偏微分方程為基本形式的活動輪廓模型，從動力學角度來研究曲線的演化過程，通過求解偏微分方程得到圖像感興趣區(qū)域的邊界。在接下來的三十年里，隨著該模型的迅速發(fā)展，活動輪廓模型逐漸成為最有生機、最成功的圖像分割技術之一，之后它衍生出各種不同特點的模型，如幾何模型、活動曲面、形變氣球、形變輪廓、形變曲面等等。在所有活動輪廓模型中，本論文主要研究了兩種經(jīng)典幾何模型的基礎理論和改進——基于邊緣信息的測地活動輪廓模型(GAC)和基于區(qū)域信息的C-V

5、模型，這兩種模型都對以后的圖像分割產(chǎn)生了巨大的影響，但是由于這兩種模型各自的缺點，其應用范圍都受很大限制。因此，本論文在圖象分割方面的研究工作主要是，分別針對這兩種經(jīng)典的活動輪廓模型，GAC模型和C-V模型，進行了改進，使得改進后的模型有更廣的應用和更好的分割效果。
　　 偏微分方程不僅僅能夠在圖像分割領域發(fā)揮作用，這一強大的數(shù)學理論工具也被應用到生物醫(yī)學工程領域。生物醫(yī)學工程是在電子學、微電子學、現(xiàn)代計算機技術，化學、高分子化

6、學、力學、近代物理學、光學、射線技術、和精密機械發(fā)展的基礎上，在與醫(yī)學結合的條件下發(fā)展起來的。它包含的研究方向很多，比如生物系統(tǒng)建模與仿真、生物醫(yī)學信號檢測與分析、生物醫(yī)學成像和圖像處理、電磁場生物效應、人工器官以及相關的醫(yī)療儀器研制等。本論文即利用偏微分方程的數(shù)學理論、多種物理學理論和計算機技術，研究了兩種與腫瘤密切相關的生物系統(tǒng)的建模與仿真。
　　 腫瘤是威脅人類生命的重要殺手之一。它生長旺盛，常呈持續(xù)性生長，惡性腫瘤更是無

7、限制地向外周擴散，侵犯要害器官和引起衰竭，最后導致人死亡。隨著科學技術的發(fā)展，研究和分析腫瘤的方法越來越多樣化。目前，對于腫瘤研究的熱點主要在于(1)研究腫瘤的生長趨勢;(2)研究腫瘤藥物傳遞的過程和效果，這兩方面知識的獲得對于腫瘤生長機理的認識和理解，以及對于腫瘤的診斷和治療具有科學的和現(xiàn)實的意義。
　　 實驗數(shù)據(jù)和理論研究表明，影響腫瘤生長的微環(huán)境因素多種多樣，腫瘤的生長是一個復雜的變化過程，受到腫瘤細胞與細胞，細胞與基質之

8、間相互作用的影響，同時腫瘤細胞間壓強以及營養(yǎng)濃度的分布等因素都將直接影響腫瘤的生長變化。同樣地，對于腫瘤內部的藥物傳遞過程，腫瘤內部復雜的微結構和微環(huán)境，以及藥物本身的特性都將對藥物傳遞的分布和結果產(chǎn)生作用和影響。因此，僅僅依靠傳統(tǒng)的臨床和實驗方法，已經(jīng)不足以充分說明影響腫瘤生長的各種因素與腫瘤生長趨勢之間的相關性，以及腫瘤內部復雜環(huán)境與藥物注射傳遞過程的相關性。在這種情況下，應用數(shù)學和物理理論，結合計算機技術，將各種影響腫瘤生長和藥物

9、傳遞的因素綜合考慮，建立可靠的腫瘤生長趨勢模型和腫瘤內部藥物傳遞模型，對于獲得腫瘤生物學過程的知識，以及優(yōu)化腫瘤藥物治療方案都將有著特殊的意義。因此，本論文中在生物醫(yī)學建模方面的工作主要是，應用基于偏微分方程的數(shù)學物理方法，研究了腫瘤生長趨勢和腫瘤內部藥物傳遞過程這兩個生物系統(tǒng)的建模和仿真。
　　 本論文的主要創(chuàng)新點有:
　　 1.在基于偏微分方程的圖像分割方面，首先，以實現(xiàn)人腦部矢狀位海馬體結構的分割為目的，對基于邊緣

10、信息的GAC模型進行了改進。通過分析GAC模型曲線演化的行為，將先驗區(qū)域力和先驗形狀力合理地添加到原始GAC模型中，實現(xiàn)了先驗知識對曲線演化的有效約束——先驗區(qū)域力指導曲線快速演化進入分割目標所在區(qū)域;先驗形狀力指導曲線在先驗區(qū)域中更加精確的實現(xiàn)目標的分割。在將其應用到人腦部矢狀位海馬體結構的分割的仿真實驗中，取得了良好的分割效果，證明了添加先驗知識的GAC模型的有效性。
　　 2.以基于圖像區(qū)域的C-V模型為原始模型，在分析一

11、種改進C-V模型——局部二值擬合(LBF)模型行為的基礎上，應用高斯混合模型(GMM)和粒子群優(yōu)化(PSO)算法實現(xiàn)更為快速和有效的局部分布擬合模型。無論是基于全局信息的C-V模型還是改進的基于局部信息的LBF模型，其目標區(qū)和背景區(qū)的擬合灰度分布值都是隨著曲線演化需要不斷更新的，因此在改進的局部分布擬合模型中，我們應用GMM模型來預先估計圖像目標區(qū)和背景區(qū)的擬合灰度分布函數(shù)，并應用PSO算法優(yōu)化GMM模型的計算過程。這就使得目標區(qū)和背景

12、區(qū)的擬合灰度分布函數(shù)不再依賴于曲線的演化，而是在曲線演化之前就已經(jīng)得到。仿真實驗證明我們改進后的模型使得曲線演化的速度更快，結果更精確。
　　 3.在腫瘤生長趨勢建模方面，通過綜合考慮腫瘤細胞間粘著能量，細胞速度，細胞間壓強，腫瘤內部質量交換，以及營養(yǎng)濃度分布等多個因素，以符合質量守恒定律的對流-擴散-反應方程和符合流體力學的對流-擴散方程為基礎，建立了一種描述腫瘤生長趨勢的離散-連續(xù)混合型數(shù)學模型，并給出了詳細的數(shù)值實現(xiàn)方案。

13、仿真實驗和結果分析證明了本論文所構建的腫瘤生長模型能夠演化腫瘤向外生長擴張的趨勢，并能夠根據(jù)營養(yǎng)濃度的變化等條件演化出相應的結果，模擬出腫瘤生長過程中出現(xiàn)的突起結構，是符合實際腫瘤生長的基本模式的。
　　 4.在腫瘤內部藥物傳遞建模方面，以流體力學中表達動量守恒定律的納維-斯托克斯方程為主體，并結合連續(xù)方程和對流-擴散方程，構建了腫瘤內部藥物傳遞過程的數(shù)學模型。為了突顯腫瘤環(huán)境特性對藥物傳遞的影響，我們把腫瘤環(huán)境視為一種多孔性組

14、織，從質量、動量和藥物濃度守恒的本質考慮，將可以表達腫瘤環(huán)境多孔性結構的孔隙參數(shù)合理地添加到了連續(xù)方程、N-S方程和對流-擴散方程中，同時考慮了由這種多孔性結構帶來的摩擦力作用。為了突顯藥物自身特性對藥物傳遞的影響，我們以實際的實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)，認為藥物會滯留于流體的運動，因此將藥物和流體分開考慮，用表達藥物流動和流體流動速度的關系式來區(qū)分流體和藥物，這就使得我們的模型會隨著藥物的不同而發(fā)生變化，更加突顯藥物特性對藥物傳遞分布結果的影響。