二元非線性算子方程解的存在性及其應(yīng)用研究.pdf

1、本論文首先運(yùn)用迭代技巧,研究反向混合單調(diào)算子耦合不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性問(wèn)題,獲得了耦合不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性及其迭代收斂性的結(jié)果;然后提出了τ-φ-凹-凸算子這一新概念,并研究了該類算子的不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性問(wèn)題,獲得了一系列新結(jié)果,并將所得結(jié)果應(yīng)用于非線性Hammerstein積分方程的解的存在唯一性研究中;最后,針對(duì)二元非線性算子,提出了g-可比較算子這一新概念,它是混合單調(diào)算子和反向混合單調(diào)算子的推廣,并研究了這一類算子的2一耦合不動(dòng)點(diǎn)的存

2、在唯一性問(wèn)題,獲得了一些新結(jié)果,作為應(yīng)用,還給出了幾個(gè)例子.本論文的主要結(jié)果敘述如下:
　　 1.設(shè)E是實(shí)Banach空間,P< E是正規(guī)錐,A:P×P→P為反向混合單調(diào)的凝聚算子,存在u0,v0∈P,使得u0≤A(v0,u0)≤A(u0,v0)≤v0.則存在u*,v*∈[u0,v0],使得 u*=limun,v*=limvn,其中un=A(A(un-1,vn-1),A(vn-1,un-1)),vn=A(A(vn-1,un-1)

3、,A(un-1,vn-1)).N=1,2,且A在[u0,v0]×[u0,v0]中存在耦合不動(dòng)點(diǎn).并且1)若u*=v*,則A在P*={(x,y)∈P×p(x,y)≥(u0,v0)或(x,y)≤(v0,u0)}中存在惟一的耦合不動(dòng)點(diǎn)(u*,u*),此時(shí)u*為A的不動(dòng)點(diǎn).2)若u*≠v*,則A在P*中存在耦合不動(dòng)點(diǎn)(u△,v△),且(u*,v*)不是A的耦合不動(dòng)點(diǎn).另外,對(duì)于A在P*中的任何耦合不動(dòng)點(diǎn)(r,s),必滿足(u*,v*)<(r,s

4、)<(v*,u*).若再設(shè)錐P< E是極小的,則對(duì)A的任何耦合不動(dòng)點(diǎn)(x,y)必有下式不成立.(x,y)<[inf{u*+v*/2,A(U*+v*/2)}],sup{u*+v*/2,A(u*+v*/2,u*+v*/2)}]
　　 2.設(shè)E是實(shí)Banach空間,P是E中的正規(guī)錐.A:P×P→P是混合單調(diào)算子,且是r-φ-凹-凸的.另外,存在h∈P+使得A(h,h)∈Ph,對(duì)任意的t∈(a,b),x,y∈Ph,有φ(t,x,y)≥φ

5、(t,h,h).則A在Ph中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*,且對(duì)任意的x0,y0∈Ph,構(gòu)造序列xn=A(xn-1,yn-1),yn=A(yn-1,xn-1),n=1,2,有‖xn-x*‖→0,Iyn-X*‖→0,(n→∞).
　　 3.設(shè)(X,d)是一個(gè)完備的半序度量空間,F:X×X→X是連續(xù)的g-可比較算子且與g可交換,其中g(shù):X→Xx是連續(xù)的.若F(X×X)

6、,y),F(u,v)))≤φ(max(d(g(x),g(u)),d(g(y),g(v))))-φ(max(d(g(x),g(u)),d(g(y),g(v))))對(duì)一切滿足g(x)與g(u)可比較,g(y)與g(v)可比較的x,y,u,v∈X成立.(2)存在x0,y0∈X,使得g(x0)與F(x0,y0)可比較,g(y0)與F(y0,x0)可比較.(3)如果{xn}n=1是X中的可比較序列,則對(duì)任意的s,l∈N+,xs與xl可比較.則F存

7、在g-耦合不動(dòng)點(diǎn),即存在(x,y)∈X×X,使得g(x)=F(x,y),g(y)=F(y,x).
　　 4.設(shè)(X,d)是一個(gè)完備的半序度量空間,F:X×X→X是連續(xù)的g-可比較算子且與g可交換,其中g(shù):X→X是連續(xù)的.若F(X×X)