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1、橢圓曲線密碼算法的快速實(shí)現(xiàn)一直是橢圓曲線密碼體制研究的重點(diǎn)?;谟邢抻蛏系臋E圓曲線可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)加密、密鑰交換、數(shù)字簽名等密碼方案。本文主要研究了二元擴(kuò)域F2m上橢圓曲線的快速實(shí)現(xiàn)問(wèn)題,并對(duì)SM2密碼方案進(jìn)行了軟件實(shí)現(xiàn)。主要研究?jī)?nèi)容如下:
1.對(duì)二元擴(kuò)域F2m上元素的乘法、平方、模約減、模乘和求逆運(yùn)算進(jìn)行了分析改進(jìn)。對(duì)于多項(xiàng)式的模乘,我們用兩種方法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn):一種是計(jì)算乘法和模運(yùn)算同步進(jìn)行;另外一種是先計(jì)算乘法,再進(jìn)行模運(yùn)算
2、。其中乘法用Comb窗口方法和Karatsuba乘法實(shí)現(xiàn),模運(yùn)算是模三項(xiàng)式的運(yùn)算。通過(guò)實(shí)驗(yàn)我們發(fā)現(xiàn)用Karatsuba乘法和模約減方法實(shí)現(xiàn)模乘的效率最高。對(duì)于平方運(yùn)算,我們用查表法進(jìn)行了單獨(dú)實(shí)現(xiàn),比普通乘法速度快很多。對(duì)于求逆運(yùn)算,我們利用擴(kuò)展的歐幾里得算法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)。當(dāng)需要對(duì)多個(gè)元素進(jìn)行求逆時(shí),我們利用一種新的算法減少了時(shí)間復(fù)雜度。
2.對(duì)如何選擇坐標(biāo)系進(jìn)行了討論,二元擴(kuò)域上橢圓曲線可以用仿射坐標(biāo)、標(biāo)準(zhǔn)射影坐標(biāo)、Jaco
3、bian加重射影坐標(biāo)和Lopez&Dahab射影坐標(biāo)表示,我們根據(jù)橢圓曲線特點(diǎn)和坐標(biāo)的具體形式對(duì)點(diǎn)加和倍點(diǎn)運(yùn)算進(jìn)行了優(yōu)化。其中Lopez&Dahab射影坐標(biāo)下的點(diǎn)加和倍點(diǎn)運(yùn)算具有最快的運(yùn)算速度。
3.對(duì)于多倍點(diǎn)運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了討論,分別用三種方法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn):二進(jìn)制展開(kāi)法、NAF算法、滑動(dòng)窗口算法。其中基于k的有符號(hào)二進(jìn)制展開(kāi)的滑動(dòng)窗口算法實(shí)現(xiàn)速度最快。對(duì)于m等于193或者257,當(dāng)窗口大小w=4時(shí)(預(yù)存儲(chǔ)五個(gè)點(diǎn)),它的
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