Prony模型最優(yōu)解、算法性能及應(yīng)用特性的研究.pdf

1、1795年，Prony提出了復(fù)指數(shù)函數(shù)的一個(gè)線性組合來描述等間隔采樣數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型，常稱為Prony模型。在干擾噪聲背景下，該模型的嚴(yán)格求解是一個(gè)高度非線性的最優(yōu)化問題。200多年來，人們從各種角度給出了這樣或那樣的近似求解算法。這些算法都不是嚴(yán)格最優(yōu)的。由于Prony模型在數(shù)值上是病態(tài)的，非嚴(yán)格最優(yōu)的算法對(duì)于噪聲的影響十分敏感，這極大地限制了Prony模型的應(yīng)用。1999年末，我們得到了Prony模型嚴(yán)格最優(yōu)的求解算法。經(jīng)過幾年來的不

2、斷改進(jìn)，算法的性能是：在信噪比低達(dá)10dB情況下，1000次獨(dú)立的數(shù)值試驗(yàn)中有1-2次不能收斂，計(jì)算精度達(dá)到0.5‰。Prony模型的廣泛應(yīng)用已成為現(xiàn)實(shí)。Prony模型在理論和應(yīng)用上都有十分重大的意義，廣泛適用于雷達(dá)、水聲、語音等領(lǐng)域的信號(hào)處理。另外，Prony模型具有很好的外推能力，Prony方法具有短時(shí)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，這在某些應(yīng)用場合是特別重要的。
　　 本文回顧和總結(jié)了Prony模型求解的歷史。指出線性化處理的擴(kuò)展Prony方

3、法歸結(jié)為噪聲背景下線性預(yù)測方程的求解，該方程的求解已發(fā)展了多種方法，問題在于各方法的數(shù)值穩(wěn)定性及適用場合的研究；和各種高分辨率譜分析方法相比較，擴(kuò)展Prony方法無需估計(jì)樣本自相關(guān)函數(shù)，給出的估計(jì)值方差較小，運(yùn)算量也較?。换仡櫫薖rony模型非線性求解的發(fā)展歷史，包括R.N.McDonough和Hua Y.的工作及對(duì)本人研究的貢獻(xiàn)，還有魏木生、Charles W.Therrien等人的工作；分析總結(jié)了Prony模型在廣泛領(lǐng)域的應(yīng)用研究，

4、包括聲音處理、雷達(dá)信號(hào)處理、電力系統(tǒng)諧波分析、參數(shù)辨識(shí)、Prony級(jí)數(shù)逼近等。
　　 論述了本人關(guān)于Prony模型最優(yōu)求解的三個(gè)發(fā)展歷程，以及相應(yīng)算法性能的分析。通過三個(gè)發(fā)展歷程相應(yīng)算法的性能分析，展示發(fā)展歷程的正確性和重要性。三個(gè)發(fā)展歷程為：最優(yōu)解的代數(shù)表達(dá)、最優(yōu)解的幾何結(jié)構(gòu)、基于最優(yōu)解幾何結(jié)構(gòu)的迭代算法。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)開展算法性能的定性研究，開展了數(shù)字極點(diǎn)與模擬極點(diǎn)、迭代收斂性與初值選擇、參數(shù)向量的更新算法等討論，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5、與LS方法、TLS方法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。尤其是，著重開展了“采樣率的選擇與影響”的數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析研究。分析和研究了多種情況下，采樣率的選擇對(duì)最優(yōu)解迭代算法收斂性能的影響。在給定采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和干擾噪聲強(qiáng)度的前提下，采樣率的選擇按：1）滿足采樣定理、覆蓋“信號(hào)的全貌”；2）過采樣、沒有覆蓋“信號(hào)的全貌”；3）欠采樣，覆蓋“信號(hào)的全貌”三個(gè)方面展開，并就每個(gè)方面分“有理頻率組成的正弦復(fù)合信號(hào)”和“無理頻率組成的正弦復(fù)合信號(hào)”兩種情況進(jìn)行討

6、論。用統(tǒng)計(jì)的“采樣數(shù)據(jù)能量”來關(guān)聯(lián)分析“收斂次數(shù)”，在相空間重構(gòu)理論的引導(dǎo)下，提出“能量觀點(diǎn)的相空間重構(gòu)理論”的猜想。
　　 最主要的創(chuàng)新在于提出了迭代子空間非線性最小二乘估計(jì)（ISNLSE）算法。在最優(yōu)解幾何結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出一個(gè)合理的、能夠確實(shí)反映迭代過程按照期望目標(biāo)收斂的控制條件，該控制條件的獲得為定量描述最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)特征奠定了基礎(chǔ)?；谠摽刂茥l件，并結(jié)合提高數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性的若干方法，構(gòu)造了一個(gè)高效的求解算法。ISNL

7、SE算法的數(shù)值穩(wěn)定性措施包括：1）初值的選擇；2）用QR分解替代SVD分解；3）減少構(gòu)造、子空間的截?cái)嗾`差；4）參數(shù)向量的更新計(jì)算；5）殘余向量 計(jì)算的改進(jìn)。主要思想依據(jù)在于：1）高階低秩逼近方法的應(yīng)用；2）QR分解較SVD分解的數(shù)值穩(wěn)定性；3）乘積矩陣SVD分解或QR分解在數(shù)值上是病態(tài)的。在低信噪比（10dB）的情況下，ISNLSE算法具有良好的收斂性能和數(shù)值精度，有效地避免了“虛假收斂”。
　　 開展了采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)對(duì)ISNL

8、SE算法精度的影響、高階低秩逼近方法和ISNLSE算法的對(duì)比數(shù)值研究。應(yīng)用“相對(duì)精度”或“相對(duì)分辨率”這一信息科學(xué)關(guān)于信息識(shí)別的樸素而又普遍的準(zhǔn)則，提出采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)是ISNLSE算法“測量精度”或“分辨精度”局限的觀點(diǎn)。解釋了頻率“相對(duì)分辨率”的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。
　　 開展了電力系統(tǒng)整次、非整次諧波檢測的擴(kuò)展Prony算法和迭代Prony算法應(yīng)用研究，基于迭代Prony算法的同步發(fā)電機(jī)和無刷直流發(fā)電機(jī)瞬態(tài)參數(shù)辨識(shí)。擴(kuò)展Prony算法

9、應(yīng)用于短(窄)周期脈沖分析，針對(duì)周期信號(hào)提出了擴(kuò)展Prony算法的計(jì)算模型。在未知周期的情形下，應(yīng)用擴(kuò)展Prony算法實(shí)現(xiàn)周期信號(hào)的分析。對(duì)于脈沖周期信號(hào)的有限階（280階）的擬合結(jié)果表明，擴(kuò)展Prony算法可以有效地逼近無限帶寬的周期信號(hào)。
　　 總結(jié)了本文開展的工作和不足之處。介紹了線性預(yù)測及其應(yīng)用于清濁音分段判決的研究工作，提出了Prony模型的非線性預(yù)測特性。介紹了相空間重構(gòu)與卡爾曼濾波匯率預(yù)測的研究工作，提出了相空間重