一類帶交錯(cuò)擴(kuò)散的競(jìng)爭(zhēng)方程組尖峰平衡解的不穩(wěn)定性.pdf

1、本文主要研究以下帶交錯(cuò)擴(kuò)散的競(jìng)爭(zhēng)方程組尖峰平衡解的穩(wěn)定性{ut=[(d1+ρ12v)u]xx+u(a1-b1u-c1v)x∈(0，1)，t＞0{vt=[(d2+ρ21u)v]xx+v(a2-b2u-c2v)x∈(0，1)，t＞0(1)u/n=v/n=0.x=0，1經(jīng)過一系列變量替換，方程組(1)可以改寫為{(φ/1+g)t=d1φxx+φ/1+g(a1-b1φ/1+g-1/αc1g)(2)gt=d2ψxx+g(a2-b2φ/1+g-1/

2、αc2g)當(dāng)α充分大時(shí)，方程組(2)是下方程組的一個(gè)擾動(dòng){(φ/1+g)t=d1φxx+φ/1+g(a1-b1φ/1+g)gt=d2ψxx+g(a2-b2φ/1+g)(3)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的擾動(dòng)理論，方程組(2)與方程組(3)的尖峰平衡解的穩(wěn)定性是一樣的.因此，我們只需分析方程組(3)的尖峰平衡解的穩(wěn)定性.當(dāng)d1充分大時(shí)，我們可以得到(3)的shadowsystem. ∫01(ζ(t)/1+g)tdx=∫01ζ(t)/1+g(a1-b1

3、ζ(t)/1+g)dxgt=d2ψxx+g(a2-b2ζ(t)1+g)(4)1.在第二章中用shadowsystemanalysis方法，對(duì)shadowsystem的尖峰解進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析.本章首先證明了shadowsystem的尖峰解ψε0(x)在離開零后，若做變量替換可知它是趨近于另一個(gè)以指數(shù)率衰減的函數(shù).然后將(4)在尖峰平衡解處線性化，得到的線性化方程組為{ζt∫01a110,ε(x)dx+∫01a120,ε(x)ψtdx=ζ

4、∫01b110,ε(x)dx+∫01b120,ε(x)ψdxx∈(0，1)，t＞0a21,ε(x)ζt+a220,ε(x)ψt=ε2ψxx+b210,ε(x)ζ(t)+b220,ε(x)ψ(x，t)x∈(0，1)，t＞0ψx(x，t)=0x=0，1(5)(5)對(duì)應(yīng)的廣義特征值問題為：{ζ∫01(λa110,ε-b110,ε)dx+∫01(λa120,ε-b120,ε)ψdx=0ε2ψxx+(b220,ε-λa220,ε)ψ=(λa210

5、,ε-b210,ε)ζ(6)為了便于分析，首先定義了加權(quán)a220,ε(x)的Lε算子，即：Lε=ε22/x2+b220,ε(x)，對(duì)加權(quán)a220,ε(x)的Lε算子的廣義特征值問題{ε22/ψ/x2+b220,ε(x)ψ=λa220,ε(x)ψψ′(0)=ψ′(1)=0(7)進(jìn)行譜分析，得到了加權(quán)a220,ε(x)的Lε算子廣義特征值及特征函數(shù)的性質(zhì).然后對(duì)shadowsystem的廣義特征值問題進(jìn)行細(xì)致分析，根據(jù)其廣義特征值的符號(hào)我們

6、得到了shadowsystem的尖峰平衡解的不穩(wěn)定性結(jié)論. 本章的主要結(jié)果：定理2.4假設(shè)a1/a2＞b1/b2，β≥0成立，當(dāng)d2充分小時(shí)，可以找到充分大的d0，使得當(dāng)d1≥d0時(shí)，則存在(α)充分大，當(dāng)α≥(α)時(shí)，shadowsystem的尖峰平衡解在R×H2(0，1)上是線性不穩(wěn)定的. 2.在第三章中對(duì)方程組(3)的尖峰平衡解進(jìn)行穩(wěn)定性分析.首先將方程組(3)在尖峰平衡解處線性化，得到了其相應(yīng)的廣義特征值問題.由

7、于(3)的尖峰平衡解是shadowsystem的尖峰平衡解擾動(dòng)而來的，因此在第二章結(jié)論的基礎(chǔ)上，對(duì)(3)的特征方程進(jìn)行分析，從而得到了方程組(3)的尖峰平衡解的不穩(wěn)定性結(jié)論.本章的主要結(jié)果：定理3.2假設(shè)a1/a2＞b1/b2，β≥0成立，當(dāng)k0≠0,d2充分小時(shí)，可以找到充分大的d0，使得當(dāng)d1≥d0時(shí)，則存在α充分大，當(dāng)α≥(α)時(shí)，non-shadowsystem的尖峰平衡解在H2(0，1)×H2(0，1)上是不穩(wěn)定的.

8、3.在第四章中對(duì)方程組(1)當(dāng)α,ρ12都非常大時(shí)尖峰平衡解進(jìn)行穩(wěn)定性分析.首先回顧了[1]中對(duì)β=0時(shí)方程組尖峰平衡解的穩(wěn)定性分析，用相同的思路得到了不論β是否為零都不會(huì)影響方程組尖峰平衡解的不穩(wěn)定性.本章的主要結(jié)果：定理4.1(1)當(dāng)1/2(b1/b2+c1/c2)＜a1/a2＜1/4b1/b2+3/4c1/c2成立，并且(a1/a2，b1/b2，c1/c2)不在斜線Γ上(斜線定義在命題A.5[見1]中).或(2)1/4b1/b2+

9、3/4c1/c2＜a1/a2＜1/2(b1/b2+c1/c2)成立，則存在非常小的d0＞0，使得對(duì)任一個(gè)0＜d2＜d0,shadowsystem的正的非常數(shù)平衡解(ξd20，ψd20(x))在R×H2(0，1)上是線性不穩(wěn)定的. 定理4.2(1)當(dāng)1/2(b1/b2+c1/c2)＜a1/a2＜1/4b1/b2+3/4c1/c2成立，并且(a1/a2，b1/b2，c1/c2)不在斜線Γ上(斜線定義在命題A.5[見1]中).或(2)