外形設計中的幾何逼近及圖形轉換技術研究.pdf

1、本文圍繞計算機輔助幾何設計領域中的兩類占有重要地位的圖形處理技術--幾何逼近技術以及圖形轉換技術展開深入研究。 鑒于計算機輔助幾何設計中的幾何逼近問題主要針對特定的對象,采用逼近的方法用簡單易操作的曲線曲面來近似代替原對象,本文主要涉及等距逼近、PH逼近、降階逼近、合并逼近以及有理曲線多項式逼近。 鑒于計算機輔助幾何設計中的圖形轉換主要針對圖形之間的漸變轉化或精確轉化,本文主要涉及手繪圖形從首幀變到末幀的形狀調配轉換以及

2、曲線在不同調配基函數下的互變轉換。 在系統(tǒng)地論述這兩項技術的內容、特點、定義、研究成果的基礎上,本文就以下幾方面給出了創(chuàng)新的研究成果： (I)幾何逼近 (1)針對目前逼近等距曲線大多采用多項式形式從而導致逼近曲線次數過高的弊病,我們抓住曲線參數速度這個影響等距曲線精確有理化的關鍵要素,基于Jacobi最佳最小二乘逼近理論,給出了有理Bezier曲線參數速度的有理多項式逼近,從而進一步導出了有理Bezier曲線的等

3、距曲線有理逼近的新算法.該方法保持法矢平移方向,且所得逼近曲線插值原等距曲線端點。 (2)針對PH曲線具有等距曲線可有理表示及曲線參數速度為多項式函數等良好特性,然而現(xiàn)有設計方法沒有利用曲線的幾何參數,因而缺乏幾何內在特性導致應用困難的現(xiàn)狀,我們以外形設計中最常用的三次PH曲線為基本模型,提出并實現(xiàn)了基于幾何參數的一整套PH曲線的插值與逼近算法,其中基本的幾何參數包括控制多邊形前后兩個邊向量的長度之比ρ及夾角θ,控制多邊形首個邊

4、向量的長度L及其與首個控制頂點向量的夾角δ,以及曲線轉向Dir.對于一條三次PH曲線的端點插值,推導了其Bezier表示的條件方程.進一步,對于一條非三次PH曲線的保端點逼近,分別給出了基于{δ,θ},{ρ,θ}以及{ρ,δ}這三種幾何參數的算法,導出了相應的逼近誤差界。 (3)針對NURBS曲面由于節(jié)點處理困惑表達形式復雜導致其降階逼近研究明顯缺乏的現(xiàn)狀,我們基于NURBS曲面的顯式矩陣表示,結合Chebyshev多項式逼近理

5、論,提出一種NURBS曲面降階新方法.分別對一小片NURBS曲面和整張NURBS曲面進行降多階,并導出了誤差界計算公式.對整張曲面降階時先分別對各小片操作,再對各片降階逼近曲面的控制頂點集中其下標相重的部分做加權平均得到最終的整張降階逼近曲面.提出的算法可以一次降多階,所得NURBS降階逼近曲面具有顯式表達式,實現(xiàn)了NURBS曲面降階的最佳或近似最佳一致逼近。 (4)針對多段曲線合并為工程急需但從未有人加以研究的現(xiàn)狀,我們利用B

6、ézier曲線離散后的矩陣表示,給出不同次數的若干段子曲線可精確合并的統(tǒng)一的矩陣表示.采用廣義逆矩陣求解方法求出逼近合并曲線的控制頂點.在合并過程中,同時考慮了合并Bézier曲線在左右端點處與原Bézier曲線族插值或者達到高階插值的合并。 (5)針對有理曲線多項式逼近的精度與速度尚不盡如人意的現(xiàn)狀,我們導出有理Bézier曲線多項式逼近的矛盾方程組,進一步基于廣義逆矩陣理論,給出了矩陣表示的最小二乘解.結合對于由原有理曲線權

7、因子為Bézier縱標生成的多項式升階,實現(xiàn)在保持多項式逼近曲線次數不變的同時,有效地提高有理Bézier曲線的多項式曲線逼近的精度。 (II)圖形轉換 (1)基于藝術圖形應用價值高、然而傳統(tǒng)手繪方法成本大的現(xiàn)實,我們提出一種新的關鍵幀動畫方法來自動生成藝術手繪圖形系列.引入圓域B樣條曲線作為藝術手繪圖形的輪廓線模型,并對首末兩幀圓域B樣條曲線的內在幾何特征量進行調配.對于給定的藝術手繪圖形的首末兩幀,首先基于骨架線提取

8、技術給出其骨架線,進一步生成其圓域B樣條曲線表示,最后通過插值首末兩幀圓域B樣條曲線的內在量得到中間幀,從而快速有效地實現(xiàn)藝術手繪圖形的形狀調配。 (2)基于B樣條基具有標準全正性和局部支柱性,所構造的曲線兼具保形性及形狀局部可調性的現(xiàn)實,同時也基于2003年Delgado和Pena提出的另一類用標準全正基(DP-NTP基)構造的新曲線雖具保形性及求值運算的線性時間復雜度,但沒有形狀局部可調性的現(xiàn)實,為了使它們實現(xiàn)優(yōu)勢互補,并在