數(shù)學畢業(yè)論文-----判別二次曲面是直紋面的方法

1、<p><b>　　目錄</b></p><p>　　摘要……………………………………………………………………………1</p><p>　　1.引言…………………………………………………………………………1</p><p>　　2．判別曲面是直紋面的幾種方法……………………………………………2</p><p>

2、　　2.1根據(jù)直紋面的定義進行直接的判別………………………………………2</p><p>　　2.2根據(jù)二次曲面的方程的特點直接判別……………………………………2</p><p>　　2.3利用二次曲面的標準方程判別其是否是直紋面....................3</p><p>　　2.4因式分解二次曲面方程判定其直紋性..................

3、..........9</p><p>　　2.5利用定理對二次曲面的直紋性進行判定………………………………12</p><p>　　結束語…………………………………………………………………………14</p><p>　　參考文獻………………………………………………………………………14</p><p>　　致謝.……………………………………

4、……………………………………14</p><p>　　判別二次曲面是直紋面的方法</p><p>　　摘要：本文就有關二次曲面是直紋面的幾種常用判定方法加以了總結和推廣，并對單葉雙曲面和雙曲拋物面是直紋面加以了證明，而且還對所運用的判定方法分別進行了舉例說明.從而更有利于理論與實踐相結合，進一步提高了對各種知識的分析理解能力.</p><p>　　關鍵詞：二次曲面；

5、直紋面；單葉雙曲面；雙曲拋物面；方程；因式分解 </p><p>　　Quadric discriminant methods are ruled surface</p><p>　　Abstract: This article was the lined surface several commonly used decision method has performed the sum

6、mary and the promotion on the related quadratic surface， and was the lined surface has performed the proof to the single leaf hyperboloid and the hyperbolic paraboloid， moreover also to the decision method which utilized

7、 separately carries on has explained with examples. Thus is more advantageous in the theory and the practice unifies， further enhanced to each kind of knowledge analysis unders</p><p>　　Keywords:quadric surf

8、ace; Ruled Surface; hyperboloid of one sheet; hyperbolic paraboloid; equation; factorization</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　通過我們已對二次曲面的學習后，不難看出二次曲面的有關知識的討論是空間解析幾何中非常重要的內容之一，而在二次曲面中的直紋

9、面又是非常重要的一類.直紋面的相關知識在我們實際生活生產中如在建筑行業(yè)，機械加工以及醫(yī)療，光學等方面的應用都是非常廣泛的.總之在我們的日常生活，現(xiàn)代化生產，科學研究等方面對二次曲面中的直紋面知識的運用都是非常廣泛的.為此，我們非常有必要對直紋面的相關知識加以了解.所謂直紋面是指如果曲面S上有一族單參數(shù)（隨著一個參數(shù)變化的一族直線）而S的每一點都在這族直線上，S就是我們所說的直紋面，這族直線中的每一條直線都稱為直母線.在我們已學過的曲面中

10、的柱面，錐面，特別二次曲面中的橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面都是直紋面.</p><p>　　在我們所學過的二次曲面的類型是非常多的，其中有些二次曲面是直紋面而有些又不是直紋面，那么在如此眾多的二次曲面中我們如何對其直紋性進行快速而又準確的判定呢？下面我就有關二次曲面是否是直紋面的判定方法加以總結和簡單的推廣，并結合相關實例進行說明.</p><p>　　2 判別曲面是直紋面的方法<

11、/p><p>　　2.1根據(jù)直紋面的定義進行直接的判別</p><p>　　直紋面是由一族直線所構成的曲面.簡單地說也就是將某一條直線進行一定方向的移動后所形成的一個軌跡，將這個軌跡看成是一個曲面，那么這個曲面也就是我們常提到的直紋面了.像我們平?？吹降钠矫?，柱面，錐面等都可以直接看作是其中某一條直線經過移動后所形成的軌跡，將這個軌跡看成一個曲面，從而很自然由直紋面的定義就可以知道，這樣的曲面

12、就是直紋面.在中學時代就學過的平面我們可以將其看成是一條直線沿某一個固定方向進行平行移動后所形成的軌跡；由平行于某一個方向且與一條空間定曲線相交的一族平行直線所組成的曲面，叫做柱面.定曲線叫做柱面的準線，平行直線族中的每一條都叫做柱面的直母線.定方向是直母線的方向，也叫柱面方向.很顯然，柱面由它的準線和母線方向所確定，它是直母線沿著準線平行移動所形成的軌跡，也可以看作準線沿著柱面方向平行移動所形成的軌跡；對于錐面，它是指過定點且與一條（

13、不過定方向的）定曲線相交的一族直線組成的曲面.從以上的平面，柱面，錐面的定義可以看出它們都可以看成是一條直線經過移動后所形成的軌跡，是完全符合直紋面的定義的.因此，要是我們遇到可以直接判斷出所給的二次曲面是平面，柱面，錐面等，我們就可以直接</p><p>　　2.2 根據(jù)二次曲面的方程的特點直接判別</p><p>　　在直角坐標系內，我們把由三元二次方程</p><

14、;p><b>　　.</b></p><p>　　所表示的曲面稱為二次曲面.這里和是不全為零的實數(shù)，根據(jù)二次曲面的特點我們可以得到關于二次曲面是直紋面的兩個結論.</p><p>　　定理1 若方程中缺少一個變量，則它表示母線平行于與所缺變量同名的坐標軸的柱面．在空間坐標系中，曲面的方程如不含某個坐標表示母線平行于這個坐標軸的柱面.如：</p>&

15、lt;p>　　， ， .</p><p>　　分別表示母線平行于OZ軸，OX軸，OY軸的柱面.因此是直紋面.</p><p>　　定理2 在取定的空間坐標系下，x，y，z的n次齊次方程的圖象是頂點在原點的錐面.</p><p>　　證明 設.是一個n次齊次方程，則由齊次方程的定義有：</p><p><b>

16、;　　.</b></p><p>　　將t=0代入上式得說明原點在在方程的圖象上設非原點滿足則直線的方程為：</p><p><b>　　，，.</b></p><p><b>　　代入.得：</b></p><p><b>　　.</b></p>&

17、lt;p>　　說明直線上的每一點均落在方程的圖象上，從而方程.的圖象是由經過原點的一族直線組成的.即它是以原點為頂點的錐面.</p><p>　　推論1 若方程是關于，， 的齊次方程則此方程所表示的曲面是以（a，b，c）為頂點的錐面，因而是直紋面.</p><p>　　例1 判定下列曲面是直紋面．</p><p>　　(1)+xy-+x+1=0.

18、 (2) +xy+-yz-y=0.</p><p>　　解 （1）因為（1）中缺少變量z，因而我們可以由定理1知道：它表示一個平行 z軸的柱面，而柱面可以看成是由直線移動所形成的曲面，也就是由直紋面的定義就可以看出（1）是直紋面. </p><p>　　（2）將上面可以看成x，y，z+1的齊二次方程： </p><p><b>　　.<

19、/b></p><p>　　由定理2和推論1可以知道它表示一個以（0，0，1）為頂點的錐面，所以它是直紋面.</p><p>　　2.3 利用二次曲面的標準方程判別其是否是直紋面</p><p>　　對于非退化的二次曲面，只有柱面，錐面，單葉雙曲面，拋物雙曲面是直紋面因此我們對二次曲面是否是直紋面的判定時，我們可以通過二次曲面的化簡.首先將一般方程化為標準方

20、程，然后判定它是否是直紋面.下面就空間解析幾何二次曲面方程的化簡，運用正交變換法和單葉雙曲面以及雙曲拋物面是否是直紋面等相關知識進行說明.在空間中由三元二次方程：</p><p>　　. 所表示的曲面叫二次曲面.利用坐標變換通過選取適當?shù)淖鴺讼?，我們就可以將二次曲面方程寫成以下十七種標準方程的形式之一：</p><p>　?。?）++=1（橢球面）; （2）++=1（虛橢

21、球面）;</p><p>　　（3）++=0 （虛二次錐面）; （4）+=1 （單葉雙曲面）;</p><p>　?。?）+=1 （雙曲雙曲面）; （6）+=0（二次錐面）;</p><p>　　（7）+=2z（橢圓拋物面）; （8） =2z （雙曲拋物面）;</p><p>　?。?）+=1（橢圓柱面）;

22、 （10）+=1（虛橢圓柱面）;</p><p>　　（11）+=0（一對共軛平面）; （12）=1（雙曲柱面）;</p><p>　?。?3）=0（一對相交平面）; （14）=2py （拋物柱面）;</p><p>　?。?5）（一對平行平面）; （16）（一對共軛虛平面）;</p><p>　?。?

23、7）=0 （一對重合平面）.</p><p>　　這就說明：二次曲面的各種可能的情況共有以上的十七種標準形式.因此，我們可以說三元二次所可能確定的本質上不同的十七種.曲面中除了虛的軌跡與分解為平面（方程（2），（3），（10），（11），（13），（15），（16），（17））以外，對于下面的六種曲面：單葉雙曲面（方程（4）），二次錐面（方程（6）），雙曲拋物面（方程（8）），橢圓柱面（方程（9）），雙曲柱面（方

24、程（12）），拋物柱面（方程（14））.可以看出，這六種曲面中的每一個曲面都可以由一族直線構成.因此，這些二次曲面都是直紋面.</p><p>　　接著我們來討論下如何運用正交變換法對二次曲面進行化簡.設一般二次曲面的方程為：</p><p>　　.（其中二次系數(shù)不全為零，全部系數(shù)均為實數(shù) i，j=1，2，3，4）.方程的左端顯然不是二次型，只有二次部分才是.這樣直接尋找一個正交變換，既可

25、以消去交叉項又能消去一次項或常數(shù)項是比較困難的.只有作旨在消去交叉項的，正交變換后使新方程左端僅含平方項，一次項和常數(shù)項，再利用配方，又作一次正交變換來化簡二次曲面的方程是可行的，與坐標變換比較起來更簡捷得多.其具體的化簡方法，我們可以通過如下的一個非中心型二次曲面的例子來說明.</p><p>　　例2 化簡二次曲面方程并對其是否是直紋面作出判斷.</p><p>　　.

26、 (1)</p><p>　　解 將（1）中的x，y，z分別換成，，得:</p><p>　　. (2)</p><p><b>　　其中二次型為，</b></p><p><b>　　. (3)</b></p><p>　　由二次曲面的方程可以得到A的

27、系數(shù)矩陣為：</p><p><b>　　A= ， </b></p><p>　　其中A的特征方程為：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　特征根為： ，.</b></p><p><b>　　對于

28、，</b></p><p><b>　　解齊次方程組：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　它的系數(shù)矩陣的秩為1，故只需解一個方程：</p><p>　　. </p><p><b>　　容易得：<

29、;/b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　單位化后分別為：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　對于.解齊次方程組</b></p><p><b

30、>　　.</b></p><p>　　它的系數(shù)矩陣的秩為2，解得.單位化后為 ，顯然：</p><p><b>　　(4)</b></p><p><b>　　不難驗證：</b></p><p><b>　　， 通過正交變換得</b></p>&

31、lt;p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　即 ： .</b></p><p>　　原二次型（3）變?yōu)?. (6)</p><p>　　將（5）代入（6）得到</p><p><b>　　，

32、</b></p><p><b>　　即為 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　再作變換：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b&g

33、t;　　即正交變換：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　后得由曲面的規(guī)范方程為.則它所表示的是拋物柱面，即為直紋面.</p><p>　　其次我們來討論下單葉雙曲面和雙曲拋物面的直紋性.</p><p>　　我們知道一個二次曲面是柱面或錐面，它一定是直紋二次曲面.例如，當二次

34、方程.的左邊只有二次項，沒有常數(shù)項和一次項.則它是一個錐面（稱為二次曲面）即是直紋面.又若中有一個變量沒有出現(xiàn)，則它是一個柱面（稱為二次曲面），也是直紋面.如果有：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　記 為平面（i=1，2）則二次曲面是和 的并集，它或是兩張相交平面（當 和 相交時）或是兩張平行平面（當 和 平行而不重合時）或是一張

35、平面（當 和 重合時）.無論何種情況，它都是直紋面.</p><p>　　對于單葉雙曲面.在二次曲面中的單葉雙曲面方程為在二次曲面中的單葉雙</p><p><b>　　曲面方程為：</b></p><p>　　. （1）這里是3個正常數(shù)．</p><p>　　定理3 單葉雙曲面為直紋面.</p><

36、;p>　　證明 . (1) </p><p>　　其中均為非零實數(shù)，設曲面（1）上存在的直線的方程為</p><p>　　，. (2)</p><p>　　由（2）式代入（1）可得到</p><p><b>　　.</b></p><p

37、><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因為對于任意的上式均成立，所以有</p><p>　　. (3)</p><p>　　由（3）中最后一個等式可以知道不能同時為0不妨設.由（3）式中第二個等式可以得到：</p>

38、<p><b>　　.</b></p><p>　　又因為為實數(shù)上式有實數(shù)解的條件為： </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　經整理可以得到：</b></p><

39、;p><b>　　.</b></p><p>　　由于A，B，C為非零實數(shù)，所以有ABC0.</p><p>　　因為A，B，C不能全為負，只能兩正一負，所以在橢圓面和雙曲面中只有單葉雙曲面是直紋面．</p><p><b>　　對于雙曲拋物面：</b></p><p>　　.

40、 （4）</p><p>　　其中A，B為非零實數(shù)，若其上存在直線，則由式： </p><p><b>　　， .</b></p><p>　　代入（4）式可以得到：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由于上式對于任意t都成立，所

41、以有：</p><p>　　. （5） </p><p>　　由（5）式 中第二個式子可知，m不能同時為0，否則會為0.又由（5）式中的第一個式子可知必須異號.</p><p>　　由上可知，在拋物面中只有雙曲拋物面是直紋曲面.</p><p>　　2.4 因式分解二次曲面方程判定其直紋性</p><p&

42、gt;　　在空間解析幾何教材中，在標準方程形式下證明了單葉雙曲面和雙曲拋物面都是直紋面，并給出了直母線族的方程，那么這種方法可以推廣到一般的二次曲面方程中去，從而去判別一個二次曲面是否為直紋面.若是直紋面還可以得到它的直母線方程.</p><p>　　定理4 非退化的二次曲若能分解成</p><p>　　. （1）</p><p>　　其中 的次數(shù)小

43、于等于1.則是直紋面，并且它的直母線可以表示為：</p><p>　　，（w，u不全為零）. （2）</p><p>　　或 ， （t，v不全為零）. （3）</p><p>　　其中是使上式有意義的參數(shù).</p><p>　　推論2 若（1）（2）表示相同的直線族，則此曲面是柱面或錐面.當直母線族的方向向量與

44、參數(shù)無關時，此時的曲面一定是柱面，當通過一定點時，它一定是錐面.</p><p>　　例3．判斷下列曲面的類型.</p><p><b>　　. .</b></p><p>　　解 （1）因為是（1）的形式，故是直紋面.</p><p>　　又因為故式（ 2 ）與式（3 ）相同.所以可以逐步判斷出它是柱面或是錐

45、面.</p><p>　　下面我們通過推論中所講的方向向量確定其是柱面還是錐面.</p><p><b>　　直線族：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　的方向向量是 所以可以判斷出它是錐面.</p><p><b>　?。?）因為

46、方程：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　可以改為：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　故它表示為一個柱面或錐面，而直母線族：</p><p><b>　　

47、.</b></p><p><b>　　的方向向量：</b></p><p>　　， ， . </p><p>　　所以它表示為一個柱面.</p><p>　　對于直紋面中的柱面和錐面還可以討論其特殊性.</p><p>　　例4 證明：表示為一個圓錐面.</p>

48、<p>　　證明 因為方程是關于的齊二次方程，所以它表示一個頂點在原點的錐面.要證明它表示為圓錐面.只須證明它的直母線與固定方向成定角，為此求出它的直母線族方程為:</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　其中方向向量為：</b></p><p>　　， ， </

49、p><p><b>　　.</b></p><p>　　取三條直母線，方向向量和.（這里） 令 </p><p><b>　　解得 . </b></p><p><b

50、>　　令</b></p><p><b>　　而 .</b></p><p>　?。ㄆ渲袨橹蹦妇€族與定方向所成的角），從而：</p><p><b>　　45°</b></p><p>　　知道直母線族于定方向是成定角.故其方程表示為一個圓錐面.</p>&

51、lt;p>　　2.5利用定理對二次曲面的直紋性進行判定</p><p><b>　　設有二次曲面</b></p><p>　　. (1)</p><p><b>　　記.</b></p><p>　　. </p&g

52、t;<p>　　則有如下的二次曲面直紋性判定定理：</p><p>　　定理5 給定二次曲面（方程為（1））對于上任意一點如果</p><p>　　方程. (2)</p><p>　　有非零實數(shù)解m:n:p則是直紋面，并且為在過點M處的直母線方向.</p><p>　　證明 要證明是直紋面，只須證明對于上任意一點過點

53、M總有直線落在上，為此，過點M的直線為L，其方程為：</p><p>　　. （3）</p><p>　　于是（1）的參數(shù)方程為：</p><p>　　， （t為參數(shù)）. （4）</p><p>　　今假設整條直線L落在，故對一切t的取值（4）應滿足（1），將（4）

54、代入（1）整理即得關于t的恒等式：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　而 M點在上，所以有恒等式：</p><p><b>　　.(5)</b></p><p>　?。?）恒成立的的充要條件是方程組（2）成立.因此，若（2）有非零實數(shù)解m:n:p，則總有直線（3）

55、落在上，即知是直紋面，并且（3）為的直母線.</p><p><b>　　例5 判定曲面</b></p><p>　　.是否是直紋面，其中a，b，c為不全為零的常數(shù).</p><p><b>　　解 將的方程展開為</b></p><p><b>　　，</b></p&g

56、t;<p><b>　　.</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而 </b></p><p><b>　　=.</b></

57、p><p><b>　　又 ，</b></p><p>　　利用定理5中的(2)得方程組：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　解之得：cn-bp=ap-am=bm-an=0</p><p>　　即m:n:p=a:b:c 因此由定理知是直紋面，并且由于過上

58、任意一點處的直母線方向為常向量，還可以進一步知道是柱面.</p><p><b>　　結束語</b></p><p>　　本文在空間解析幾何中的二次曲面的相關知識基礎上，就直紋面的定義，常見的直紋面，利用二次曲面方程的特點，二次曲面方程的化簡，將二次曲面方程利用因式分解以及利用定理等手段來對二次曲面的直紋性做出了判別.對于相應的判別方法都加以舉出實例進行說明.<

59、/p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在我畢業(yè)論文開題、調查、研究和撰寫過程中，***副教授給予了我耐心，細致和全面的幫助.在此我特向*老師表示感謝！</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]蔣大為 .空間解析幾何及其應用 [M] . 科學出版社 .

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