出海捕魚(yú)的最優(yōu)問(wèn)題畢業(yè)論文

1、<p><b>　　出海捕魚(yú)問(wèn)題</b></p><p>　　The Problem of Fishing</p><p>　　屆 系</p><p><b>　　專(zhuān) 業(yè) </b></p><p><b>　　學(xué) 號(hào)</b><

2、;/p><p><b>　　學(xué)生姓名 </b></p><p><b>　　指導(dǎo)教師</b></p><p>　　完成日期 年 月 日</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文主要考慮出海捕魚(yú)的最優(yōu)問(wèn)題，出海捕

3、魚(yú)追求的是最大產(chǎn)量或最優(yōu)效益，為了使生態(tài)環(huán)境不受到破壞，同時(shí)實(shí)現(xiàn)捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲，首先要考慮魚(yú)的自然增長(zhǎng)率和捕撈率的關(guān)系，據(jù)此建立三種模型．一、產(chǎn)量模型，即追求魚(yú)的最大產(chǎn)量，利用常微分方程解出穩(wěn)定情況下漁場(chǎng)的魚(yú)量及最大持續(xù)產(chǎn)量；二、效益模型：效益模型又分為不考慮銀行利率等影響模型Ⅰ和考慮銀行利率等影響模型Ⅱ；模型Ⅰ與產(chǎn)量模型相似，在控制捕撈強(qiáng)度下求出利潤(rùn)最大時(shí)的穩(wěn)定魚(yú)量及單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量，模型Ⅱ在模型Ⅰ的基礎(chǔ)上引入折扣因子，從經(jīng)濟(jì)學(xué)上

4、考慮長(zhǎng)期效益，通過(guò)解歐拉方程求最優(yōu)魚(yú)量和持續(xù)捕撈量，最后在邊際損失和邊際得益平衡時(shí)得到最大效益。三、捕撈過(guò)度模型，通過(guò)比較單位捕撈費(fèi)用、貸款實(shí)際利率和魚(yú)的售價(jià)方面的關(guān)系分析資源枯竭的問(wèn)題．最后通過(guò)比較上述模型得出最優(yōu)模型．</p><p>　　關(guān)鍵詞：魚(yú)的自然增長(zhǎng)率 捕魚(yú)強(qiáng)度 捕撈系數(shù) 持續(xù)產(chǎn)量 最優(yōu)效益</p><p><b>　　Abstract</b>&

5、lt;/p><p>　　The paper main consideration the optimalization problem of goes to sea to catches fish, The pursue of go to sea catches fish is the greatest output or the most superior benefit, In order to cause t

6、he ecological environment do not be destructed, simultaneously realizes catching fish industry continues sustained yield, Must consider fish's natural increase rate and the fishing rate relations, according to the a

7、bove explanation establishes three kind of models. First, the output model, the goal o</p><p>　　Key words：the natural increasing rate　 fishing intensity　the coefficient of fishing　 the sustained yield 　the l

8、argest benefit</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　?。?緒 論1</p><p>　　1.1 課題研究的目的和意義1</p><p>　　1.1.1 當(dāng)前海洋的生態(tài)情況1</p><p>　　1.1.2 相應(yīng)的政策和措施2&

9、lt;/p><p>　　1.2 論文中涉及的部分知識(shí)點(diǎn)2</p><p>　　1.2.1 方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性2</p><p>　　1.2.2 變分法簡(jiǎn)介3</p><p>　　2 出海捕魚(yú)的數(shù)學(xué)模型5</p><p>　　2.1 產(chǎn)量模型5</p><p>　　2.1.1

10、產(chǎn)量模型Ⅰ5</p><p>　　2.1.2 產(chǎn)量模型Ⅱ6</p><p>　　2.1.3 產(chǎn)量模型Ⅲ8</p><p>　　2.1.3 兩個(gè)模型的比較11</p><p>　　2.2 效益模型11</p><p>　　2.2.1 效益模型Ⅰ11</p><p>　　2.2

11、.2 效益模型Ⅱ12</p><p>　　2.3 捕撈過(guò)度模型13</p><p>　　2.3.1 過(guò)度捕撈模型Ⅰ13</p><p>　　2.3.2 捕撈過(guò)度模型Ⅱ14</p><p>　　2.4 模型小結(jié)16</p><p>　　3 關(guān)于捕魚(yú)模型的展望16</p><p&

12、gt;　　參 考 文 獻(xiàn)17</p><p><b>　　致 謝18</b></p><p><b>　?。?緒 論</b></p><p>　　1.1 課題研究的目的和意義</p><p>　　1.1.1 當(dāng)前海洋的生態(tài)情況</p><p>　　海洋是生

13、物資源寶庫(kù).據(jù)生物學(xué)家統(tǒng)計(jì)，海洋中約有20萬(wàn)種生物，其中已知魚(yú)類(lèi)約1.9萬(wàn)種，甲殼類(lèi)約2萬(wàn)種．許多海洋生物具有開(kāi)發(fā)利用價(jià)值，為人類(lèi)提供了豐富食物和其他資源．世界海洋浮游植物產(chǎn)量5000億噸，折合成魚(yú)類(lèi)年生產(chǎn)量約6億噸．假如以50%的資源量為可捕量，則世界海洋中魚(yú)類(lèi)可捕量約3億噸． 但是近幾年來(lái)我國(guó)海洋生物資源出現(xiàn)嚴(yán)重的衰退，漁業(yè)資源過(guò)度捕撈是我國(guó)漁業(yè)資源衰退的主要原因之一．</p><p>　　中國(guó)有句古話，授之

14、以魚(yú)不若授之以漁.講的是與其給予物質(zhì)幫助，不如傳授生存的技巧．古人以魚(yú)和漁來(lái)作比喻，顯示了水產(chǎn)資源和水產(chǎn)捕撈與人類(lèi)的密切關(guān)系．自有人類(lèi)以來(lái)，漁、獵、采摘就是食物來(lái)源的重要途徑． 　　時(shí)至今日，海洋所能夠提供的已經(jīng)接近極限．世界漁業(yè)和水產(chǎn)養(yǎng)殖狀況的報(bào)告指出，由于人類(lèi)科技的進(jìn)步，和需求量的不斷增加，占全球面積70%的海洋中，只有3%海洋資源處于未開(kāi)發(fā)狀態(tài)．21%的漁業(yè)資源可以少量提高捕撈量．而52%的資源目前處于充分開(kāi)發(fā)狀態(tài)，16%的資源

15、處于過(guò)度開(kāi)發(fā)狀態(tài)，7%的資源遭到完全破壞，僅有1%的資源從衰竭狀態(tài)開(kāi)始恢復(fù)．報(bào)告指出，漁獲量最高的十種資源中，有七種處于完全開(kāi)發(fā)或過(guò)度開(kāi)發(fā)狀態(tài)．捕撈量的增加可能導(dǎo)致嚴(yán)重的生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)問(wèn)題．東北大西洋、地中海和黑海以及西北大西洋、東南大西洋、東南太平洋和南大洋被確認(rèn)為受損害最嚴(yán)重的區(qū)域． 　　據(jù)《文匯報(bào)》20日?qǐng)?bào)道，東海區(qū)近年的漁獲量約在600萬(wàn)噸以上，與上世紀(jì)七八十年代300-500萬(wàn)噸的資源評(píng)估量相比，整個(gè)海區(qū)的漁業(yè)資源看似

16、增加了，但樂(lè)觀的數(shù)字背后卻隱含著危機(jī)．首先，漁撈量的增長(zhǎng)相當(dāng)程度上是由于捕撈強(qiáng)度的加大，以及作業(yè)漁場(chǎng)范</p><p>　　1.1.2 相應(yīng)的政策和措施</p><p>　　世界糧農(nóng)組織漁業(yè)委員會(huì)官員認(rèn)為，恢復(fù)被破壞的資源，實(shí)際上首先應(yīng)該避免目前認(rèn)為還處于健康狀態(tài)的資源遭到破壞．報(bào)告呼吁大量減少過(guò)度開(kāi)發(fā)資源的捕撈或采取臨時(shí)性的禁漁，同時(shí)采取措施恢復(fù)遭到破壞的魚(yú)類(lèi)棲息地．強(qiáng)烈呼吁各國(guó)遵循可持

17、續(xù)發(fā)展提出的目標(biāo)，到2015年將資源恢復(fù)到健康水平．這些措施對(duì)保護(hù)生態(tài)環(huán)境平衡起了很大的作用．</p><p>　　我國(guó)也對(duì)漁業(yè)資源管理采取了價(jià)格機(jī)制和計(jì)劃?rùn)C(jī)制相結(jié)合的手段，尤其是對(duì)近海漁業(yè)資源采取了計(jì)劃控制措施．其公共政策歸納為五個(gè)方面．第一，征收漁業(yè)資源增殖保護(hù)費(fèi)，專(zhuān)門(mén)用于增殖和保護(hù)漁業(yè)資源.收費(fèi)不可能高到可以實(shí)現(xiàn)資源再生產(chǎn)的程度。第二，捕撈能力控制，第三，入漁權(quán)的控制和分配，第四，漁業(yè)資源修復(fù)和培育，主要手

18、段包括海洋伏季休漁和春季禁漁制度，第五，污染治理與食品安全．大量政策的實(shí)施在一定程度上遏制了漁業(yè)資源枯竭的態(tài)勢(shì)．</p><p>　　1.2論文中涉及的部分知識(shí)點(diǎn)</p><p>　　1.2.1 方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性</p><p><b>　　設(shè)有微分方程</b></p><p><b>　?。?-1）<

19、;/b></p><p>　　右端不顯含自變量，代數(shù)方程</p><p><b>　　（1-2）</b></p><p>　　的實(shí)根稱(chēng)為方程(1-1)的平衡點(diǎn)，它也是方程(1-1)的解.</p><p>　　如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程(1-1)的解都滿足 </p><p><b

20、>　?。?-3）</b></p><p>　　則稱(chēng)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；否則稱(chēng)是不穩(wěn)定的.</p><p>　　判斷平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定通常有兩種方法：利用定義(1-3)式稱(chēng)為間接法：不求方程1-1的解，因而不利用(1-3)式的方法稱(chēng)為直接法.下面介紹直接法</p><p>　　將在做泰勒展開(kāi)，只取一次項(xiàng)，方程1-1近似為</p><p&g

21、t;<b>　　（1-4）</b></p><p>　?。?-4）稱(chēng)為（1-1）的近似線性方程，也是（1-4）的平衡點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的穩(wěn)定性有如下結(jié)論，</p><p>　　若，則對(duì)(1-1)和(1-4)都是穩(wěn)定的;</p><p>　　若，則對(duì)(1-1)和(1-4)都是不穩(wěn)定的.</p><p>　　1.2.2 變分法簡(jiǎn)介&

22、lt;/p><p>　　泛函的變分法同函數(shù)的微分一樣，函數(shù)的微分是線性主部，泛函的變分是泛函增量的線性主部，作為泛函的自變量，函數(shù)在的增量記作</p><p>　　也稱(chēng)為函數(shù)的變分，由它引起的泛函增量記作</p><p><b>　　如果可以表示為</b></p><p>　　其中是的線性項(xiàng)，是的高階項(xiàng)，則稱(chēng)為泛函在的變分，

23、記作，用變動(dòng)的代替就有.泛函變分的一個(gè)重要性質(zhì)是它可以表示為對(duì)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)：</p><p><b>　　(1-5)</b></p><p><b>　　1.極值與變分</b></p><p>　　利用極值的表達(dá)式1-5可以得到泛函極值和變分的關(guān)系,若在達(dá)到極值，則</p><p>　　因?yàn)槿我饨o定的

24、，是變量的函數(shù)，該函數(shù)在處達(dá)到極值，根據(jù)函數(shù)極值的必要條件知</p><p>　　2.歐拉方程——泛函極值的必要條件</p><p>　　討論最簡(jiǎn)泛函在固定端點(diǎn)條件下取得極值的必要條件，設(shè)泛函和端點(diǎn)的條件表示為</p><p><b>　　(1-6)</b></p><p>　　，

25、 (1-7)</p><p>　　其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，容許函數(shù)集為滿足的二階可微函數(shù)集合.</p><p>　　引理 設(shè)是內(nèi)的連續(xù)函數(shù),若對(duì)于任意的充分光滑函數(shù)滿足=0,有</p><p><b>　　0</b></p><p><b>　　則在內(nèi).</b></p>&

26、lt;p>　　歐拉方程的推導(dǎo):設(shè)泛函(1-6)在取得極值，滿足(1-7),記滿足按照泛函極值與變分的關(guān)系有</p><p><b>　　(1-8)</b></p><p>　　對(duì)于(1-6)表示的計(jì)算</p><p><b>　　(1-9)</b></p><p>　　對(duì)右端第二項(xiàng)作分部積分并

27、利用得</p><p>　　代入(1-9)式并根據(jù)(1-8)式有</p><p>　　因?yàn)槭侨我獾挠梢砹⒖痰玫?lt;/p><p><b>　　(1-10)</b></p><p>　　(1-10)稱(chēng)為歐拉方程，是在取得極值的必要條件.</p><p>　　2 出海捕魚(yú)的數(shù)學(xué)模型</p>

28、;<p>　　考察出海捕魚(yú)問(wèn)題，因?yàn)轸~(yú)量在天然環(huán)境下按一定的規(guī)律增長(zhǎng)，如果捕撈量恰好等于增長(zhǎng)量，那么魚(yú)量保持不變，這樣捕撈量就可以持續(xù).分析魚(yú)量穩(wěn)定的條件，并且在穩(wěn)定的前提下，討論如何控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量或經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最大，最后研究捕撈過(guò)度的問(wèn)題．</p><p>　　我們從產(chǎn)量和效益著手建立模型，分析如何控制捕撈強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)產(chǎn)量最大和效益最高.假設(shè)船隊(duì)出海對(duì)某漁場(chǎng)捕魚(yú)，由于漁場(chǎng)有其自身的限制，所以我們假

29、設(shè)其有最大容量，與人口的增長(zhǎng)模型相似．這樣便于模型的假設(shè)和建立．</p><p><b>　　2.1 產(chǎn)量模型</b></p><p>　　2.1.1 產(chǎn)量模型Ⅰ</p><p>　　記時(shí)刻t漁場(chǎng)為，關(guān)于的自然增長(zhǎng)和人工捕撈作如下假設(shè)：</p><p>　　1. 在無(wú)捕撈條件下的增長(zhǎng)服從Gompertz規(guī)律，即<

30、/p><p>　　是固有增長(zhǎng)率，是環(huán)境容許的最大魚(yú)量，用表示單位時(shí)刻的增長(zhǎng)量.</p><p>　　2. 單位時(shí)間的捕撈量（既產(chǎn)量）與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比，比例常數(shù)表示單位時(shí)間捕撈可以進(jìn)一步分解為，稱(chēng)捕撈強(qiáng)度，用可以控制的參數(shù)譬如出海漁船數(shù)量來(lái)度量，稱(chēng)為捕撈系數(shù)，表示單位強(qiáng)度下的捕撈率，于是單位時(shí)間的捕撈量為</p><p><b>　　根據(jù)以上假設(shè)并記</b

31、></p><p>　　假設(shè)，得到捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿足的方程</p><p>　　并不需要解上述方程以得到的動(dòng)態(tài)化過(guò)程，只希望知道漁場(chǎng)的穩(wěn)定魚(yú)量與保持穩(wěn)定的條件，即時(shí)間足夠長(zhǎng)以后漁場(chǎng)魚(yú)量的趨向，并由此確定最大持續(xù)產(chǎn)量.為此可以直接求方程的平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性.</p><p><b>　　令</b></p><p&g

32、t;<b>　　得到兩個(gè)平衡點(diǎn)</b></p><p>　　, </p><p><b>　　不難算出</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　由上可知，，點(diǎn)穩(wěn)定,即為平衡點(diǎn)，進(jìn)一步討論漁場(chǎng)魚(yú)

33、量穩(wěn)定在的前提下，如何控制捕撈強(qiáng)度使持續(xù)產(chǎn)量最大的問(wèn)題.</p><p><b>　　把代入中可以得到</b></p><p>　　模型的建立是在不破壞魚(yú)群的基礎(chǔ)上，所以易知，求的最大值，用微分法可以得到，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大，此時(shí)的平衡點(diǎn)為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　此

34、時(shí)單位時(shí)間最大產(chǎn)量為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由上面可知此模型當(dāng)捕撈率等于增長(zhǎng)率時(shí)，可以獲得最大持續(xù)產(chǎn)量.</p><p>　　2.1.2 產(chǎn)量模型Ⅱ</p><p>　　模型的假設(shè)與上面相似，只是增長(zhǎng)規(guī)律不同，假設(shè)在無(wú)捕撈條件下的增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律，即</p>

35、<p><b>　　(2-1)</b></p><p><b>　　(2-2)</b></p><p>　　是固有增長(zhǎng)率，是環(huán)境容許的最大魚(yú)量，用表示單位時(shí)刻的增長(zhǎng)量.</p><p>　　得到捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿足的方程</p><p><b>　　(2-3)</b&g

36、t;</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　得到兩個(gè)平衡點(diǎn)</b></p><p>　　, (2-4)</p><p><b>　　不難算出</b></p><p>

37、<b>　　,</b></p><p>　　所以若捕撈率小于固有增長(zhǎng)率，即</p><p><b>　　(2-5)</b></p><p>　　有，，故點(diǎn)穩(wěn)定，點(diǎn)不穩(wěn)定；若捕撈率大于固有增長(zhǎng)率則相反.</p><p>　　為撈率，是最大的增長(zhǎng)率，上述分析表明只要捕撈適度（） ，就可使?jié)O場(chǎng)魚(yú)量穩(wěn)定在，

38、從而獲得持續(xù)產(chǎn)量；而當(dāng)捕撈過(guò)度時(shí)（），漁場(chǎng)魚(yú)量將減至，當(dāng)然談不上獲得持續(xù)產(chǎn)量了.</p><p>　　進(jìn)一步討論漁場(chǎng)魚(yú)量穩(wěn)定在的前提下，如何控制捕撈強(qiáng)度使持續(xù)產(chǎn)量最大的問(wèn)題，用圖解法可以非常簡(jiǎn)單地得到結(jié)果.根據(jù)(2-1)、(2-2)式作拋物線和直線，如圖 </p><p><b>　　圖2-1</b></p><p>　　注意到在原點(diǎn)的切線為，

39、所以在條件(2-5)下必與有交點(diǎn)，的橫坐標(biāo)就是穩(wěn)定平衡點(diǎn).</p><p>　　根據(jù)假設(shè)2，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為穩(wěn)定條件下單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量，由圖知道，當(dāng)與在拋物線頂點(diǎn)相交時(shí)可獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量，此時(shí)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)為</p><p><b>　　(2-6)</b></p><p>　　且單位時(shí)間的最大持續(xù)產(chǎn)量為</p><p>&

40、lt;b>　　(2-7)</b></p><p>　　因?yàn)椴稉葡禂?shù)會(huì)隨著捕撈強(qiáng)度的增大而減少，假設(shè)捕撈系數(shù)與捕撈強(qiáng)度的關(guān)系為</p><p>　　即單位強(qiáng)度的捕魚(yú)量隨著船數(shù)的增多而減少，由（2-4）式不難算出保持漁場(chǎng)穩(wěn)定在的捕撈強(qiáng)度為</p><p><b>　　(2-8)</b></p><p>　　

41、綜上所述，產(chǎn)量模型的結(jié)論是將捕撈強(qiáng)度控制在 ，或者說(shuō)使?jié)O場(chǎng)魚(yú)量保持在最大魚(yú)量的一半時(shí)，可以獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量.</p><p>　　分析兩模型的建立計(jì)算時(shí),可以看出魚(yú)群增長(zhǎng)在Logistic定律時(shí)更貼近于實(shí)際中的情況，為了方便建立模型和計(jì)算，以下我們都設(shè)魚(yú)群增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律.</p><p>　　2.1.3 產(chǎn)量模型Ⅲ</p><p>　　在產(chǎn)量模型Ⅰ

42、基礎(chǔ)上，引入一個(gè)實(shí)際中較常用到的模型，根據(jù)國(guó)家資源部規(guī)定每年都有禁漁期和捕撈期，并且對(duì)漁網(wǎng)的大小也規(guī)定，這樣就是為了保護(hù)幼魚(yú)，防止捕撈過(guò)度造成資源枯竭。由于漁場(chǎng)的邊界難以控制，最大容量也就難以測(cè)得，但是在限定容量里魚(yú)群的數(shù)量增多，則魚(yú)的死亡率就會(huì)增大，下面的模型就引入魚(yú)的年齡大小和成活率，死亡率等.</p><p>　　假設(shè)（1）某種魚(yú)分4個(gè)年齡組：稱(chēng)1齡魚(yú)，…，4齡魚(yú).各年齡組魚(yú)的自然死亡率均為0.8（1/年）

43、；（2）平均每條4齡魚(yú)的產(chǎn)卵量為；3齡魚(yú)的產(chǎn)卵量為，2齡魚(yú)和1齡魚(yú)不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月；卵孵化并成活為1齡魚(yú)；成活率（1齡魚(yú)條數(shù)與產(chǎn)卵總數(shù)之比）；（4）假設(shè)只能捕撈3齡魚(yú)和4齡魚(yú)，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1。（5）相鄰兩個(gè)年齡組的魚(yú)群在相鄰兩年之內(nèi)的變化是連續(xù)的； 4齡以上的魚(yú)全部死亡；（6）捕撈速率正比于各齡魚(yú)群的條數(shù).</p><p>　　建立一個(gè)產(chǎn)量模型求取每年的持續(xù)最優(yōu)捕魚(yú)量.

44、</p><p>　　無(wú)捕撈時(shí)魚(yú)的自然增長(zhǎng)模型為：</p><p>　　，=1，2，3，4；，=0，1，2，</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　并且可得</b></p>

45、;<p>　　當(dāng)投入固定捕撈強(qiáng)度時(shí)魚(yú)群的增長(zhǎng)和捕撈模型為</p><p>　　， (2-9)</p><p>　　，， (2-10)</p><p>　　，=1，2，3 (2-11)</p><p>　　，

46、 (2-12)</p><p>　　， (2-13)</p><p><b>　　```</b></p><p>　　根據(jù)上述的假設(shè)及分析，運(yùn)用伯努力方程的解法，我們可以知道：</p><p>　　1. 魚(yú)群的增長(zhǎng)規(guī)律</p><p>

47、;　　=1，2，3 (2-14)</p><p><b>　　(2-15)</b></p><p><b>　　(2-16)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　0.4493，=1，， </p>

48、<p><b>　　2. 捕撈量</b></p><p>　　單位時(shí)間內(nèi)第齡魚(yú)的捕撈量為</p><p>　　第年全年第齡魚(yú)的捕撈量為</p><p>　　于是第年總的捕撈量為</p><p>　　3. 可持續(xù)捕撈模型</p><p>　　可持續(xù)捕撈意味著由于自然死亡和捕撈使魚(yú)群減少，

49、而通過(guò)產(chǎn)卵繁殖補(bǔ)充，使得魚(yú)群在每年初開(kāi)始捕撈時(shí)保持平衡不變，這樣捕撈策略可以年復(fù)一年的持續(xù)下去，可持續(xù)捕撈的魚(yú)群數(shù)應(yīng)該是(2-14),(2-15)和(2-16)式的平衡解，即模型不依賴(lài)時(shí)間的解（=0，1，2，3，4）求解(2-14),(2-15)和(2-16)得</p><p><b>　　，=1，2，3</b></p><p><b>　　即</b&

50、gt;</p><p>　　，， (2-17)</p><p>　　(2-18) (2-19)</p><p>　　將(2-17)代入(2-19)得</p><p>　　代入(2-18)式有</p><p><b>　　求解可得</

51、b></p><p>　　代入(2-17)式可得</p><p><b>　　，，.</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，，即意味著捕撈過(guò)度，致使魚(yú)群滅絕，當(dāng)時(shí)，為過(guò)度捕撈強(qiáng)度，因此，可以在范圍內(nèi)找產(chǎn)量最大捕魚(yú)策略，在可持續(xù)捕撈條件下第齡魚(yú)的年捕撈量為

52、</p><p><b>　　，=3，4</b></p><p>　　由此可算出整年的捕撈總量.</p><p>　　2.1.3 兩個(gè)模型的比較</p><p>　　模型Ⅰ,模型Ⅱ和模型Ⅲ中都考慮了產(chǎn)量最大的問(wèn)題，模型Ⅲ對(duì)模型的假設(shè)更為詳細(xì)，對(duì)魚(yú)的大小，年齡，成活率，死亡率等都做了具體的假設(shè)，比模型Ⅰ,Ⅱ較為完善更貼近

53、實(shí)際應(yīng)用；但是由于各類(lèi)魚(yú)的年齡是葛布相同的，所以在實(shí)際應(yīng)用中要根據(jù)實(shí)際情況計(jì)算；另外兩個(gè)模型中沒(méi)有考慮魚(yú)的售價(jià)及出海費(fèi)用等的一系列問(wèn)題，因此，出海捕魚(yú)采用此策略是不可取的，下一步建立根據(jù)費(fèi)用等方面建立效益模型.</p><p><b>　　2.2 效益模型</b></p><p>　　2.2.1 效益模型Ⅰ</p><p>　　出海捕魚(yú)從經(jīng)

54、濟(jì)角度看不應(yīng)追求產(chǎn)量最大，而應(yīng)考慮效益最佳.如果經(jīng)濟(jì)效益用從捕撈所得的收入中扣除開(kāi)支后的利潤(rùn)來(lái)衡量，并且簡(jiǎn)單地假設(shè)：魚(yú)的銷(xiāo)售單價(jià)為常數(shù)，單位捕撈強(qiáng)度（如每條出海魚(yú)船）的費(fèi)用為常數(shù)，那么單位時(shí)間的收入和支出分別為</p><p><b>　　(2-20)</b></p><p><b>　　單位時(shí)間的利潤(rùn)為</b></p><p

55、><b>　　(2-21)</b></p><p>　　假設(shè)捕撈系數(shù)，在穩(wěn)定條件 下，以(2-4)代入(2-21)式得</p><p><b>　　(2-22)</b></p><p>　　用微分法容易求出使利潤(rùn)達(dá)到最大的捕撈強(qiáng)度為</p><p><b>　　(2-23)</

56、b></p><p>　　將代入(2-4)式可得最大利潤(rùn)下的漁場(chǎng)穩(wěn)定魚(yú)量及單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量為</p><p><b>　　(2-24)</b></p><p><b>　　(2-25)</b></p><p>　　將(2-23)--（2-25）式與產(chǎn)量模型中的（2-6）--（2-8）式相比較

57、可以看出，在最大效益原則下捕撈強(qiáng)度和持續(xù)產(chǎn)量均有所減少，而漁場(chǎng)穩(wěn)定魚(yú)量有所增加，并且減少或增加的比例隨著捕撈成本的增長(zhǎng)而變大，隨著銷(xiāo)售價(jià)格的增長(zhǎng)而變小，這顯然是符合實(shí)際情況的.</p><p>　　2.2.2 效益模型Ⅱ</p><p>　　上面的效益模型是以計(jì)劃捕撈（或稱(chēng)封閉式捕撈）為基礎(chǔ)的，即漁場(chǎng)單獨(dú)的經(jīng)營(yíng)者有計(jì)劃地捕撈，可以追求最大利潤(rùn)，但是如果有眾多盲目的捕撈者，即使有微薄的利潤(rùn)

58、，經(jīng)營(yíng)者也會(huì)去捕撈，這樣隨著魚(yú)的價(jià)格和捕撈成本的變動(dòng)，魚(yú)量將會(huì)迅速減少，出現(xiàn)捕撈過(guò)度，甚至導(dǎo)致魚(yú)群種類(lèi)的滅絕.建立效益模型決定出海捕魚(yú)的最佳時(shí)機(jī)及捕撈強(qiáng)度，除了要對(duì)魚(yú)群的生長(zhǎng)規(guī)律及出海的漁船數(shù)量和捕撈率做簡(jiǎn)單假設(shè)外，還要考慮魚(yú)的售價(jià)和漁船的費(fèi)用，銀行貸款利率、通貨膨脹率等因素.這就需要我們引入折扣因子，折扣因子是貸款利率和通貨膨脹率之差.</p><p>　　效益模型Ⅱ假設(shè)如下:</p><p

59、>　　1．漁場(chǎng)魚(yú)量的自然增長(zhǎng)服從Logistic 規(guī)律，單位時(shí)間捕撈量取決于漁場(chǎng)魚(yú)量的大小，記做，于是在捕撈條件下滿足</p><p><b>　　(2-26)</b></p><p><b>　　(2-27)</b></p><p>　　，仍是固有增長(zhǎng)率和最大容量</p><p>　　2．折

60、扣因子為，魚(yú)的單價(jià)為，在漁場(chǎng)魚(yú)量為水平下，單位捕撈量的費(fèi)用為，為減函數(shù).</p><p>　　模型的目標(biāo)函數(shù)是開(kāi)發(fā)漁業(yè)資源的長(zhǎng)期效益，因?yàn)閱挝粫r(shí)間的捕撈量為 ，在折扣因子下單位時(shí)間的利益為 ；所以長(zhǎng)期效益可以表示為</p><p><b>　　(2-28)</b></p><p>　　將方程(2-27)代入(2-28)式得</p>

61、<p><b>　　(2-29)</b></p><p>　　問(wèn)題歸結(jié)為求使達(dá)到最大，并由此可確定單位時(shí)間最優(yōu)捕撈量 .</p><p>　　最優(yōu)解應(yīng)滿足歐拉方程，即</p><p><b>　　化簡(jiǎn)后可得</b></p><p><b>　　(2-30)</b>&

62、lt;/p><p>　　當(dāng)給定費(fèi)用函數(shù)并將(2-27)式的代入(2-30)以后，(2-30)式是關(guān)于的代數(shù)方程，故由此求得的最優(yōu)解是一個(gè)常數(shù)，從而單位時(shí)間捕撈量也為常數(shù)值，即我們得到是最優(yōu)持續(xù)產(chǎn)量.</p><p>　　為了對(duì)(2-30)確定的最優(yōu)解給出經(jīng)濟(jì)學(xué)上的邊際解釋?zhuān)?lt;/p><p><b>　　(2-31)</b></p>

63、<p>　　則(2-30)式可以表示為</p><p><b>　　(2-32)</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以2-30等價(jià)于</b></p><p><b>　　(2-33)</b><

64、/p><p>　　可以看出，當(dāng)最優(yōu)解為常數(shù)時(shí)，，，(2-31)式定義的是單位時(shí)間利潤(rùn)，而則是漁場(chǎng)魚(yú)量增加一個(gè)單位（相當(dāng)于捕撈量減少一個(gè)單位）引起的損失.故(2-33)式左端是按折扣因子折算到后的邊際損失. （2-33）式右端顯然是單位捕撈量所得的利潤(rùn)（時(shí)），即得邊際利益.（2-33）式表明，最優(yōu)解在邊際損失被邊際得益平衡時(shí)取得.</p><p>　　2.3 捕撈過(guò)度模型</p>

65、<p>　　過(guò)度開(kāi)發(fā)造成資源枯竭是可再生資源面臨的嚴(yán)重問(wèn)題，人們盲目的追求自己眼前的利益，在很大程度上破壞了生態(tài)平衡，為了長(zhǎng)久的利益，也為了生態(tài)環(huán)境的平衡，我們研究一下捕魚(yú)過(guò)度的問(wèn)題，以及如何防止這種現(xiàn)象的發(fā)生.</p><p>　　2.3.1 過(guò)度捕撈模型Ⅰ</p><p>　　我們討論達(dá)到最優(yōu)持續(xù)產(chǎn)量時(shí)，漁場(chǎng)中的魚(yú)量水平及可能出現(xiàn)的資源枯竭，在Ⅰ中假設(shè)捕撈費(fèi)用與漁場(chǎng)中的魚(yú)量

66、成反比，即：</p><p><b>　　(2-34)</b></p><p>　　即漁場(chǎng)中魚(yú)量越少，捕撈越困難，捕撈費(fèi)用越多.在捕撈量與成正比的情況下是不考慮折扣因子時(shí)單位捕撈過(guò)度的費(fèi)用.</p><p>　　將（2-34）和（2-27）代入(2-30)式，化簡(jiǎn)后的到關(guān)于的二次方程</p><p><b>　

67、　(2-35)</b></p><p><b>　　方程的正根為</b></p><p><b>　　(2-36)</b></p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　(2-37)</b></p><

68、p>　　其中，是漁場(chǎng)魚(yú)量的最優(yōu)水平，是費(fèi)用—價(jià)格比（相對(duì)于）可以假設(shè)<1,是折扣因子與魚(yú)的固有增長(zhǎng)率之比,稱(chēng)為生物經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率,它們都是無(wú)量綱量.（2-36）式可以記做</p><p>　　可以看出最優(yōu)策略相對(duì)水平只依賴(lài)于兩個(gè)參數(shù)和</p><p>　　1．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.將（2-37）代入可知</p><p>　　2．變大時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，</p>

69、;<p>　　3．若，即，則.如果又有即，則.表明當(dāng)捕撈費(fèi)用極低而實(shí)際利率（即折扣因子）很高時(shí)（與相比）將誘使經(jīng)營(yíng)者“竭澤而漁”，轉(zhuǎn)而投資其它產(chǎn)業(yè).</p><p>　　2.3.2 捕撈過(guò)度模型Ⅱ</p><p>　　實(shí)際上費(fèi)用不會(huì)趨向零.時(shí)上敘模型的的假設(shè)也不合實(shí)際，因?yàn)榘凑者@個(gè)假設(shè)，當(dāng)時(shí)將導(dǎo)致，現(xiàn)在我們假設(shè)另一個(gè)捕撈費(fèi)用函數(shù)</p><p><

70、;b>　　(2-38)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　表示資源將要枯竭時(shí)單位捕撈量的費(fèi)用.</p><p><b>　　我們來(lái)看方程</b></p><p><b>　　看其是否有的解</b></p>&l

71、t;p><b>　　假設(shè)</b></p><p><b>　　(2-39)</b></p><p><b>　　(2-40)</b></p><p>　　將(2-27)式表示的代入(2-39)得</p><p><b>　　(2-41)</b><

72、;/p><p>　　是一條斜率大于零且的直線，如圖2-2</p><p><b>　　若及的表達(dá)式知</b></p><p>　　故存在使，且當(dāng)時(shí)；又因?yàn)?，，由(2-40)式可知</p><p><b>　　（）</b></p><p>　　，

73、 (2-42)</p><p><b>　　由此可畫(huà)出的示意圖</b></p><p><b>　　圖2-2</b></p><p>　　直線與曲線必相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程</p><p>　　的根，而，所以在最大效益下漁場(chǎng)的穩(wěn)定魚(yú)量恒大于零，即魚(yú)的售價(jià)小于最高成本則在最大效益下不會(huì)導(dǎo)致資

74、源枯竭.同樣可知若，且，則最大效益將導(dǎo)致資源枯竭.</p><p>　　這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)魚(yú)的售價(jià)較高（相對(duì)于成本），貸款實(shí)際利率較高（相對(duì)于魚(yú)的固有增長(zhǎng)率）時(shí)，將誘使經(jīng)營(yíng)者肆意捕撈，導(dǎo)致資源枯竭.</p><p><b>　　2.4 模型小結(jié)</b></p><p>　　論文中共涉及到三大模型，：產(chǎn)量模型、效益模型、過(guò)度模型，這三個(gè)模型，從不同

75、的角度，逐步完善了捕魚(yú)策略.從模型可以看出無(wú)論產(chǎn)量最大還是效益最大,都不一定是最好的,如果一味的追求效益,而導(dǎo)致資源的枯竭,那么無(wú)論效益有多大,都毫無(wú)用處,因?yàn)橘Y源的枯竭,意味著生態(tài)的失調(diào),這樣導(dǎo)致的可能是整個(gè)生物圈的癱瘓.所以,出海捕魚(yú)最重要的是維持生態(tài)平衡的基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)淖非笞畲笮б?</p><p>　　3 關(guān)于捕魚(yú)模型的展望</p><p>　　雖然漁業(yè)資源具有再生的特性，但是當(dāng)捕

76、撈量超過(guò)漁業(yè)資源的再生能力的時(shí)候，所面臨的狀況就是資源的逐漸枯竭甚至是物種的滅絕．很多國(guó)家目前存在的近海無(wú)魚(yú)可打的狀況，就是過(guò)量捕撈帶來(lái)的惡果，而不斷壯大的遠(yuǎn)洋捕撈能力，又將這種危機(jī)帶到了深海地區(qū)．我們希望建立更為完善的捕魚(yú)捕魚(yú)模型，來(lái)解決現(xiàn)在的魚(yú)荒問(wèn)題.首先，出海捕魚(yú)涉及到公海捕魚(yú)時(shí)，應(yīng)該考慮各個(gè)國(guó)家的捕撈強(qiáng)度不同及利率不同等的問(wèn)題，這樣可以不僅保持生態(tài)的基礎(chǔ)上各自獲得最大效益，還可以避免各國(guó)之間的糾紛；另外，由于不同魚(yú)的繁殖速度、成

77、長(zhǎng)速度均有不同，針對(duì)這一特點(diǎn)可以對(duì)不同的魚(yú)類(lèi)制定不同的捕撈策略。這樣我們就可以使海洋逐步恢復(fù)到原有的繁榮。</p><p><b>　　參 考 文 獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 姜啟源編，數(shù)學(xué)模型，第二版，北京，高等教育出版社.</p><p>　　[2] 韓中庚編,數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用， 解放軍信息大學(xué).</p>&l

78、t;p>　　[3] 阮炯編，差分方程和常微分方程，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系出版.</p><p>　　[4] 劉來(lái)福編，數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模，北京師范大學(xué)出版社.</p><p>　　[5] 張國(guó)權(quán)編，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)， 科學(xué)出版社.</p><p>　　[6] 白鳳山等編，數(shù)學(xué)建模，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.</p><p>　　[7] 王懷柔編, 常微分講

79、義，人民教育出版社.</p><p>　　[8] 潭永基編, 數(shù)學(xué)模型, 復(fù)旦大學(xué)出版社.</p><p>　　[9] 王能超編, 數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程, 高等教育出版社.</p><p>　　[10] 蔡常豐編，數(shù)學(xué)模型建模分析，北京科學(xué)出版社.</p><p>　　[11] 應(yīng)用社學(xué)學(xué)報(bào), 中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦出版.</p>&l

80、t;p>　　[12] R . Harberman:：mathematical Models . Prentice – Hall，Englewood Cliffs.</p><p>　　[13] Frederic Y.M.Wan:：mathematical Models and their analysis. Harper & Row ,Publisher，Inc. Now York.</p

81、><p>　　[14] WILLIAM F.LUCAS, 朱煜民譯,微分方程模型，國(guó)防科技大學(xué)出版社．</p><p>　　[15] Walter Rudin ，數(shù)學(xué)分析原理，機(jī)械出版社.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　首先感謝數(shù)理系所有領(lǐng)導(dǎo)和老師四年來(lái)的關(guān)心和教導(dǎo)，讓我不僅在學(xué)業(yè)上獲