數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文--淺談中學數(shù)學中的逆向思維

1、<p>　　畢 業(yè) 論 文</p><p>　　題 目：淺談中學數(shù)學中的逆向思維</p><p>　　---------以實習學校學生解題為例</p><p>　　淺談中學數(shù)學中的逆向思維</p><p>　　------------以實習學校學生解題為例 </p><p>　　摘要：逆向思維是數(shù)

2、學中的一種重要的解題思想，它在公式、定理、定義都有體現(xiàn)，它是一種學生解題的新思路，這種思路擺脫定勢的傳統(tǒng)思維，摒棄已有的習慣性解題框架。最終使解決的問題大大的簡化。 那么這種思想如何在教學課堂中體現(xiàn)，如何讓培養(yǎng)學生的這種逆向思維，也是新課改課程下，老師們面臨的一大任務和挑戰(zhàn)。本文是結合實習學校上課情況，進行編寫。</p><p>　　關鍵詞：公式；定理；定義；逆向思維</p><p>　　

3、本文是以實習學校班級學生做題情況為研究對象進行編寫，實習期間發(fā)現(xiàn)很多學生解題思維比較定勢，很多問題都是以常規(guī)思維解題，不管有多麻煩，最終還是一股勁的做下去，最后的結果是算出來了，但是過程比較繁瑣。其實這也是現(xiàn)階段的學生的一種普遍的現(xiàn)象。</p><p>　　在數(shù)學解題中，通常是從已知到結論的方式，然而有些數(shù)學題，若總是按照這種思維方式則比較困難，而且常常伴隨有較大的運算量，有時甚至無法解答，在這種情況下，只要我們

4、多注意定義、定理、公式的逆用，往往可以使問題簡化。經常性地注意這方面的訓練可以培養(yǎng)學生思維的敏捷性。現(xiàn)實生活中也往往會用到逆向思維，當然它給人們帶來的是方便、簡約、快捷等好處。很多的數(shù)學教師也在努力的研究這一中使用的方法，將這樣的思想帶入教學中去。</p><p>　　在當代素質教育的形式下，要求我們的要培養(yǎng)多方面的高素質人才，最重要的就是要培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，那逆向思維的培養(yǎng)也是必不可少的，本文著重介紹了，教師在在

5、教學工作中應該做到什么，如培養(yǎng)學生的逆向思維，提出了幾點意見，希望對未來的老師的教學有點幫助。</p><p>　　教學是一個靈活的過程，老師應該發(fā)揮主導作用，有力的引導學生多方面思考問題，靈活發(fā)揮學生的想象力，更具學生的實際情況，更有力的培養(yǎng)他們如何利用已有的只是解決實際問題。</p><p><b>　　1.逆向思維的應用</b></p><p

6、>　　1.1.什么是逆向思維</p><p>　　和其他的數(shù)學思維一樣，逆向思維是數(shù)學解題當中的一種常規(guī)思維，也是重要的一種思維方式。逆向思維也就是我們說的求異思維，它是對我們常規(guī)的、司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發(fā)展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創(chuàng)立新形象。當人們都朝著一個固定的、常用的思維方向思考問題時，而你卻獨自朝相

7、反的方向思索，這樣的思維方式就叫逆向思維。</p><p>　　其實在現(xiàn)實生活中，大多數(shù)的人也是習慣于沿著事物發(fā)展的“正方向”去思考問題并尋求解決辦法。有時候絞盡腦汁也無法給出結論。其實，有些問題，尤其是一些特殊問題，從結論入手，逆向思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化，往往就會使得解決的這個問題輕而易舉，甚至因此而有所發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)造出驚天動地的奇跡來，這就是逆向思維和它的魅力。當然這也是我們研究這種

8、方法的目的所在。</p><p>　　1.2.逆向思維在初、高中的應用</p><p>　　下面來看下面初、高中數(shù)學中的幾道題目（以自己在實習學校為例）：</p><p>　　(1).初中例題（2012年下半年白云區(qū)沙文中學初一（4）班）。</p><p>　　初中數(shù)學中講解了兩個公式第一個是完全平方公示還有一個是平方差公式我現(xiàn)在來看一下這兩

9、個公示的引用。</p><p><b>　　例1：計算</b></p><p><b>　　解法一： </b></p><p><b>　　解法二 </b></p><p>　　顯然，逆向運用冪的性質解本題要簡單的多。</p><p><b>

10、;　　例2：計算： </b></p><p>　　分析：如果本題采用常規(guī)方法：先同分后相加，必然感到繁瑣且難以下手。若逆向用減法法則：或則帶來很大的簡便。</p><p><b>　　解：由題意可知：</b></p><p>　　在此我們再來看看初一數(shù)學中的另外一道數(shù)學題：</p><p>　　例3：計算時，

11、若不逆用冪的性質：將無法進行。</p><p>　　從這三道題中用逆向思維顯然比較簡單，但大多數(shù)同學都是以第一種思路做出來的，比如第一道中，運用了兩個公式第一個是完全平方公示還有一個是平方差公式，首先看這題目大多數(shù)學生會很容易的想到完全平方公式，形成定勢的思維方式致使學生無法養(yǎng)成逆向思考的原因。</p><p><b>　　(2).高中例題</b></p>

12、<p>　　這是我在實習學校中同學們的一次家庭作業(yè)題（2012上半年白云區(qū)第六中學高一（2）、（4）班）。 </p><p>　　例1:已知正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，求證：，， 也成等差數(shù)列。(高一數(shù)學）</p><p>　　從交上來的本子看，大多數(shù)同學的的做法都是從條件入手，所以很多同學都沒有做出來，有的同學雖然做出來了但是解題的方法比較繁瑣，</p><

13、;p>　　下面我們來分析一下：其實我們可以從結論入手，要證原結論成立，只需證：</p><p><b>　?。ǖ炔钪许棧┘?lt;/b></p><p>　　而所以上式成立，所以原結論成立。</p><p>　　例2. k為何實數(shù)時？x的任何值都不滿足不等式（高一數(shù)學）</p><p>　　我們分析一下也可以知道其實這道

14、題只去找k的取值范圍是沒法找的，但是我們從這個不等式入手姐可以看到滿足k的取值范圍。</p><p>　　解：這一問題等價于“為何實數(shù)時？</p><p>　　不等式 對一切實數(shù)恒成立”則可以令由拋物線</p><p>　　性質可知：欲使 ,應有，即由此解得。</p><p>　　所以，當時，的任何值都不滿足不等式</p>&l

15、t;p>　　可以看出，和初中數(shù)學相比，高中數(shù)學在學科特點上出現(xiàn)了數(shù)學語言在抽象程度上突變，思維方法向理性層次躍遷，知識內容的整體數(shù)量劇增等新特點。而且在新課程改革后，相比原來的老教材，新教材中的高中數(shù)學以必修和選修兩種類型出現(xiàn)，選修是以必修課中的不足之處提出來的，當中增加了大量的探究性活動素材和眾多的研究性學習，為所有學生的數(shù)學學習構筑不同的起點；增加了大量的數(shù)學閱讀材料，以學生的全面發(fā)展為本，讓學生經歷知識的形成與應用的過程，倡

16、導學生自主學習、主動探索和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生主動體驗獲取知識的技能，從而進一步發(fā)展學生的實踐能力和創(chuàng)新能力；增加了實際應用型知識板塊，通過學生自主探究，數(shù)學建模實踐過程，獲得學習心得體會，從而建立起符合個人知識特點的認知水平；改變了傳統(tǒng)教材的數(shù)學知識的單一接受模式，強調學生學習過程能力的培養(yǎng)，強調知識運用的靈活性。這就要求高中學生要改變以往對數(shù)學學科的認識，努力的適應初高中數(shù)學的特點變化，從而更快進入角色，只有這樣才能為真正的學好數(shù)學做準備

17、。由此可看出新課程改革下對學生的教法、學法都要有所改變，對剛進入高中的學生了來說還不太適應，學生也養(yǎng)成了思維定勢的習慣，無法轉變解題思路。</p><p>　　2.如何看待正向思維與逆向思維</p><p>　　2.1.正向思維和逆向思維的關系</p><p>　　正向思維和逆向思維處于矛盾的兩個方面,沒有逆向思維也就沒有正向思維, 沒有正向思維也就沒有逆向思維,它

18、們相輔相成的。因此,它們應該具有同等重要的地位．然而,在一般的數(shù)學教材中,運用逆向思維來處理的內容很少,由此導致學生的逆向思維能力很差，遇到問題是不會靈活處理問題。他們的思維活動長期 處于正向定勢思維活動之中,因此,給出一個數(shù)學問題后,他們總是想方設法通過正向思維來思考去獲得問題的解決的思路。但是,有很多數(shù)學問題利用正向思維很難獲得問題的解決。如果改變一下思維方式,采用逆向思維去思考,則可以使問題很快得到解決,甚至可以得出一些創(chuàng)新的解法

19、 。由此可見,在數(shù)學學習過程中,教師應注意學生逆向思維的培養(yǎng),這樣就會使得學生能夠更加靈活地去解決數(shù)學問題。</p><p>　　2.2.逆向思維在社會生活中的優(yōu)越性</p><p>　　在大力倡導素質教育的今天, 逆向思維能力的培養(yǎng)對于提高學生的思維能力,培養(yǎng)高素質人才也有著十分重要的意義.這種思維方式學生們在現(xiàn)實生活中也會有很大的幫助。比如我們都知道的司馬光砸缸的故事，如果當時伙伴的第

20、一反應是把他從缸里拉出來，可能無法在有效的時間救出伙伴，但是關鍵時刻司馬光知道了，砸缸會讓水很快的流出，這對救援節(jié)省了不少時間。</p><p>　　當然這樣的逆向思考的例子很多，法拉第兩次“后過來試試看”使大規(guī)模生產和利用電能成為可能，而這又引發(fā)了第三次產業(yè)革命。美國汽車大王福特一世在街上散步時，偶然間看到肉鋪倉庫里的幾個工人順次分別切牛的里脊肉、胸肉、頭網，他的腦海里馬上浮現(xiàn)出與些相反的過程：讓工人順次分別裝

21、上汽車的種種零部件。在傳統(tǒng)的動物園內，無精打采的動物被關在籠子里讓人參觀。然而有人反過來想，把人關在活動的“籠子”里(汽車中)，不是可以更真實地欣賞大自然中動物的面貌嗎?于是野生動物園應運而生。</p><p>　　從上面的例子中我們都可以看出，這些無不體現(xiàn)生活中逆向思維的應用價值與好處。我們應該在傳統(tǒng)的思維方式上，還應具有一定的逆向思維方式。認真思考事物的本質特征，適當?shù)倪\用一些逆向思維觀察，培養(yǎng)自己的多想思維

22、能力。真正的將理論和實際聯(lián)系起來看問題。</p><p>　　那么，怎樣才能培養(yǎng)學生的逆向思維呢？對于現(xiàn)在的教師來說我們應該怎樣做呢？</p><p>　　3.如何培養(yǎng)學生的逆向思維</p><p>　　3.1.影響學生思維定勢的主要原因</p><p>　　從以上數(shù)學事例和生活事例中我們可以看出，“逆向思維”在解決一些數(shù)學問題與一些實際問題

23、時，確實起到簡潔明了的作用，這樣的方法是我們應該值得推廣引用的，這就要求我們的老師在平時的教學中，多反思應如何培養(yǎng)和提高學生的“逆向思維”的能力？</p><p>　　要回答這個問題我們首先分析一下影響學生思維定勢的主要原因。</p><p>　　不管是初中還是高中，逆向思維都是我們學生們應該重點掌握的一個解題方法，就從學生們平常做題的情況來看，大多數(shù)學生都沒有掌握這樣的方法，不知道什么時

24、候轉換為逆向思維解題。初中生從思維過程上看，由正向思維序列轉到逆向思維序列是思維方向的重建，是從一個方面其作用的單向聯(lián)想轉化為從兩個方面都起作用的雙向聯(lián)想。這種轉化給學生帶來了一定的困難性，另外，一種思維在其逆向思維過程中并不一定恰好重復原來的途徑，所以正向思維的訓練并不能代替逆向思維的訓練，需要我們從某些特殊問題上多做引導。</p><p>　　而且從思維能力看，初中學生的思維是剛剛從直觀、具體的形象思維向抽象

25、的邏輯思維轉化，學生在解答數(shù)學問題時的思維必然受到傳統(tǒng)的教學方法的約束；只具有機械的記憶和被動的模仿，思維往往會固定在教師設計的框框之內的一種定勢。</p><p>　　高中生也是一樣，初中的解題思路和方法也帶入了高中，致使思維沒有很好的展開，大多數(shù)學生還是一樣的思路，思維定勢，不活躍，無法將復雜問題簡單化，這對培養(yǎng)全面發(fā)展的學生，照成了很大的阻礙。</p><p>　　同時大多數(shù)老師以“

26、建立定理——證明定理——運用定理”這三部曲或采用“類型+方法”的傳統(tǒng)教學模式進行教學，忽視了逆向思維的培養(yǎng)與訓練，使得學生不能迅速而準確地由正向思維轉向逆向思維，簡化做題步驟。這樣，學生往往也就形成了一種定勢思維，無法有效的進行逆向思考。從上面的問題我們可以總結出幾點建議。</p><p>　　3.2.教學中如培養(yǎng)學生的逆向思維</p><p>　　實踐證明，在教學中，關注學生的逆向思維

27、的訓練，不僅能培養(yǎng)思維的靈活性、敏捷性、深刻性和雙向性，而且還能克服由單向思維定勢造成解題方法的刻板和僵化，以及不善于在新條件下獨立發(fā)現(xiàn)新方法、新結論等不足之處。</p><p>　　第一，必須有扎實而豐富的基礎知識和基本思想方法為前提，只有具備大量的知識信息，才能從事物的不同方向、不同聯(lián)系上去考慮問題，而且在教學中要充分注意類比、引申、拓廣、舉反例等多種思維方法的培養(yǎng)，從最簡單、最基本以及日常生活中的實例開始，

28、只要遇到可以運用逆運算、逆變形來簡化解題過程，訓練逆向思維，使學生慢慢培養(yǎng)和具備逆轉心理的習慣，使學生能從多角度和全方位地研究數(shù)學問題。使之形成習慣。例如在概念的教學中培養(yǎng)逆向思維能力、在公式的教學中培養(yǎng)逆向思維能力、加強反證法的教學、注重反例的逆用等。這些就可以讓學生是可轉換利用逆向思維這種方法。</p><p>　　第二，提倡變式教學，“模式化+變式”是逆向思維訓練的高效率的形式之一；這就要求我們的老師要符合

29、新課標的理念，不要只是模式化的教學。例如：在平時教學中老師可以多講一些有關要用到“逆向思維”的例子，讓學生們多加練習，多加注意，讓學生們多多嘗試常規(guī)思路帶給他們的不便，接著老師多多引導，此路不通就要反其道而行之，馬上是學生有“柳暗花明又一春”的感覺，這樣就可能會馬上奏效。</p><p>　　第三，培養(yǎng)學生的逆向思維的能力，要因材施教，應注意學生的可接受性，因為許多逆向問題對一個普通班級里的中、下學生來說，考慮起

30、來還是比較困難的，所以對他們來說應該適當訓練就好，更加注重培養(yǎng)他們的基礎知識的掌握；對學有余力或者成績比較好的學生來說，加強逆向思維的訓練，對培養(yǎng)他們的學習興趣，拓廣解題思路，提高思維能力重要的作用。</p><p>　　最后，逆向思維在數(shù)學教材中時常出現(xiàn)的.通過以上的例證可以看出, 可以看出逆向思維在數(shù)學教學中是非常重要的，學生逆向思維的培養(yǎng)并非幾次課幾次練習就能提高的，發(fā)展學生的逆向思維要以扎實而豐富的基礎知

31、識為依據,只有這樣才能從事物的各個方面去考慮問題.教師在教學中要鼓勵學生大膽提出問題、解決問題,對學生打破常規(guī)的提問,爭論教師都應該支持.只有這樣才能發(fā)展學生的逆向思維,常此下去不僅可以提高教學質量,更重要的是學生的智力和能力也會得到逐步提高,當然學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)也會有很大幫助?？偠灾跀?shù)學教學中，依據課本內容和學生的認識水平，學生學習的主題，我們應該以素質教育導向，發(fā)展全面學生為目的培養(yǎng)學生的各種能力為目的，靈活教學方法，從初中

32、開始有計劃有步驟地滲透，使其成為由知識轉化為能力的紐帶，成為提高學生的學習效率和數(shù)學能力的法寶。讓學生真正的從學習中解脫出來，成為真正會學習的主人。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1]孫翠萍，李煥茜.逆向思維在解題中的應用[J].河北理科教學研究，2003 （3）.</p><p>　　[2]梁素華.關于

33、培養(yǎng)逆向思維能力的幾個例子.《赤峰教育學院學報》2001年06期.</p><p>　　[3]何明.數(shù)學中的逆向思維方法[J]．數(shù)學通報，1995（1）.</p><p>　　[4]鄭蕓.逆向思維在數(shù)學教學中的應用[J]．浙江水利水電?？茖W校學報， 1999 （6）.</p><p>　　[5]張景云.談逆向思維能力的培養(yǎng)[J]．中學數(shù)學， 1996（6）.<

34、;/p><p>　　[6]鄭文晶.數(shù)學中的逆向思維方法[J]．呼倫貝爾學院學報，2001（3）.</p><p>　　[7]馬英典.數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的逆向思維能力[J]．四川教育學院學報,2004（9）.</p><p>　　[8]鮑煥明,鄭文高.淺談逆向思維在數(shù)學教學中的作用.2000年第01期　</p><p><b>　　致

35、謝詞</b></p><p>　　經過半年的忙碌和工作，本次畢業(yè)設計已經接近尾聲，作為一個本科生的畢業(yè)設計，由于經驗的匱乏，難免有許多考慮不足的地方，如果沒有導師的督促指導,本篇論文將無法定稿。</p><p>　　首先要感謝我的指導老師xx，是他在這段時間的細心指導下才能完成今天的這篇論文。xx老師平日里工作繁多，但在我做畢業(yè)設計的每個階段，從外出實習到查閱資料，設計草案的確

36、定和修改，中期檢查，后期詳細設計，修改公式等整個過程中都給予了我細心的指導。一旦有時間就細心地指導，我的設計較為復雜煩瑣，但是xx老師仍然細心地糾正公式、內容中的錯誤。除了敬佩xx老師的專業(yè)水平外，他的治學嚴謹和科學研究的精神也是我永遠學習的榜樣，并將積極影響我今后的學習和工作。</p><p>　　當然還要感謝大學四年來所有的老師，為我們數(shù)學專業(yè)知識的基礎，為以后的教學工作打下了一定的基礎；同時還要感謝所有的同