數(shù)學畢業(yè)論文--中學數(shù)學中的模擬及其教學

1、<p>　　2014屆本科畢業(yè)論文(設計)</p><p>　　題目：中學數(shù)學中的模擬及其教學</p><p>　　學 院：數(shù)學科學學院 </p><p>　　專業(yè)班級：數(shù)學與應用數(shù)學09-3班 </p><p><b>　　學生姓名： </b></p><p&

2、gt;<b>　　指導教師： </b></p><p>　　答辯日期：2014年5月9日 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1.引言1</b></p><p>　　2.數(shù)學模擬及其意義1</p><p>

3、　　3.數(shù)學模擬方法的類型2</p><p>　　4.中學數(shù)學中的運用及步驟3</p><p>　　5.中學數(shù)學教學中培養(yǎng)建立模型的能力4</p><p>　　6.模擬分析法解題舉例8</p><p><b>　　7.結(jié)束語9</b></p><p><b>　　參考文獻10

4、</b></p><p><b>　　致謝11</b></p><p>　　中學數(shù)學中的模擬及其教學</p><p>　　摘要：本論文討論了數(shù)學模擬的概念與類型，模擬方法在中學數(shù)學中的運用及步驟以及在教學過程中要重視對學生建模能力的培養(yǎng)，同時通過分析實例，決實際問題，提高分析和解決實際問題的能力。</p><p

5、>　　關鍵詞：模擬方法；模型；建模能力</p><p><b>　　1.引言</b></p><p>　　數(shù)學界流傳這樣一句至理名言：“學數(shù)學的最好方式是做數(shù)學?！?可以類比地說：學習數(shù)學建模的最好方式是動手動腦做數(shù)學建模。科學家們總是針對實際現(xiàn)象的模型來進行研究，這里的模型是需要科學家們來建立的，因此建模是科學發(fā)現(xiàn)的中的關鍵步驟，科學家首先要善于觀察問題，

6、提出適當?shù)膯栴}，然后面向問題建模研究解決。數(shù)學建模法是一種較高層次的科學建模方法，它是“先將實際問題變成數(shù)學問題，再求解，然后再與實際比較檢驗，最后再應用實施”的方法。</p><p>　　數(shù)學源于生活，應用于生活。數(shù)學建模是一種運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象，簡化建立數(shù)學模型來解決實際問題的一種強有力的數(shù)學手段，也是數(shù)學知識與數(shù)學應用的橋梁，是數(shù)學教育發(fā)展的必然趨勢。作為當代的中學生要通過經(jīng)歷建模特有的過程，真

7、實的解決一些實際問題，從而積累做數(shù)學，學數(shù)學，用數(shù)學的經(jīng)驗，提升對數(shù)學及其價值的認識。而作為當代的數(shù)學教師對數(shù)學建模要有目標，有層次的教與學的設計和指導，影響學生的學習過程，改變傳統(tǒng)的學習方式，實現(xiàn)激發(fā)學生自主思考，促進學生合作交流，提高學生學習興趣，發(fā)展學生創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學生應用意識和應用數(shù)學的能力，使當代的中學生能更好地適應現(xiàn)代社會發(fā)展的需要，將為成為振興社會的接班人。</p><p>　　總結(jié)來說，為了培養(yǎng)

8、學生的建模能力，首先激發(fā)學生對數(shù)學建模的興趣，在程度上取決于教師能力的提高，因此，從事數(shù)學教學的教師應該深刻的研究數(shù)學模擬方法；在教學活動中要營造良好的課堂心理環(huán)境，鼓勵學生大膽創(chuàng)新；有一些實際問題與數(shù)學家的歷史來激發(fā)學生的興趣，培養(yǎng)學生的建模能力。</p><p>　　2.數(shù)學模擬及其意義</p><p>　　模擬方法是科學研究的一個重要方法，對那些不便直接進行考察試驗的事物，可以人為地

9、建立一個與之相似的模型來進行考察試驗。模擬方法在探索解題的途徑中，特別是解數(shù)學應用問題中，也起著很大的作用。一個最典型的例子就是歐拉解決哥尼斯堡“七橋問題”。</p><p>　　哥尼斯堡是18世紀東普魯士的一個城市，流經(jīng)市區(qū)的布勒爾河的河彎處，有兩個島和七座橋，如圖1-1所示，人們提出了一個有趣的問題：能否在一次連續(xù)的散步中不重復地在過這七座橋？對于這個問題，許多人進行了大量的實驗均未成功。后來，“七橋問題”傳

10、到了旅居俄國彼得堡的歐拉耳朵里。1736年，他研究后發(fā)現(xiàn)，既然問題是要找一條不重復地經(jīng)過七座橋的路線，而4大塊陸地無非是橋梁的連接點，那么橋梁的曲直，長短，陸地的形狀，大小都是無需考慮的。因此，不妨把4塊陸地看成是4個點，把7座橋梁畫成7條線，使得模擬圖1-2，問題就變成了用筆不重復地畫出這個幾何圖形，即一個“一筆畫”問題。</p><p>　　歐拉發(fā)現(xiàn)，凡是能用一筆畫出的圖形都有這樣一個特點；每當你用筆畫一條線

11、進入中間的一個點時，你還必須畫一條線離開這個點，否子整個圖形就不可能用一筆畫出。即單獨觀察圖中的任何一個點（除起點，終點處）它都應該與偶數(shù)條線相連，如果起，終點重合，那么連這個點也是如此。由圖（1-2）可知：A,B,C,D連線都是奇數(shù)條，故該一筆畫問題為無解問題。</p><p>　　歐拉在解決七橋問題時，根據(jù)陸地，橋和人走過的關系的特征，巧妙地構造了一個網(wǎng)絡圖，把七橋問題化歸為網(wǎng)絡圖的一筆畫問題，這種方法就是模

12、擬方法。</p><p>　　1-1 1-2</p><p>　　具有某些相同本質(zhì)屬性的不同事物也就可能有其他相同的屬性。我們在研究某一對象（原型）時，可以根據(jù)它的某些本質(zhì)屬性，去掉一切與事物無本質(zhì)聯(lián)系的屬性，人為地構造一個與之相似或近似的模型來進行考察研究，我們稱這個模型為原型得模擬。這個通過對原型的模擬來間接研究原型的性

13、質(zhì)和規(guī)律的方法稱為模擬方法在解數(shù)學題的過程中，運用模擬方法，就是根據(jù)原題的題設條件，構造一個與之相似的問題來進行考察，這個新問題就稱之為原問題的模型（或模擬題）。通過解決這個模型（或模擬題）來解決原題或發(fā)現(xiàn)解題方法。</p><p>　　3.數(shù)學模擬方法的類型</p><p>　　一般說來，用模擬方法解數(shù)學題或探求解題途徑要比類比方法所得的結(jié)果精確得多。當模擬題的題設條件與原題的題設條件實

14、質(zhì)上完全相同時，模擬題的解題結(jié)果就可以直接移植到解題上來，但是當模擬題的題設條件與原題的題設條件實質(zhì)上不完全相同時，它的討斷就可能有差異。在這種情況下，模擬法解題的結(jié)果與原題只能是近似的。因此，在運用模擬法解題過程中，要不斷完善模擬題，使之在實質(zhì)上更逼近原題，解題結(jié)果更為準確。</p><p>　　解數(shù)學題的模擬方法，大致可分為物理相似模擬方法和數(shù)學關系相似模擬方法。物理相似模擬方法，是根據(jù)原題的題設條件與某種物

15、理形態(tài)與物理過程的相似性，構造一個物質(zhì)（實體）模型來進行模擬實驗，從模擬實驗所得的結(jié)果來推斷原題的結(jié)果，或通過對模擬實驗過程的物理分析來發(fā)現(xiàn)解題的途徑。</p><p>　　數(shù)學關系相似模擬方法，是根據(jù)原題的提示條件的數(shù)量關系或空間形式，構造一個與之相似的較為簡單的模擬題，通過解這個模擬題來解決原題。解純數(shù)學題的數(shù)學關系相似模擬方法，實際上就是將原題的數(shù)學形式轉(zhuǎn)換為較為簡單的或較為熟悉的數(shù)學形式解數(shù)學應用題的數(shù)學

16、關系相似模擬方法，就是將實際問題中，有關數(shù)量關系或空間形式用數(shù)學語言（包括式子和圖形）表達出來的一種數(shù)學模擬題，并且通過解這個模擬題來解決原來的實際問題。</p><p>　　4.中學數(shù)學中的運用及步驟</p><p>　　數(shù)學建模可以看成是問題解決的一部分，它的作用對象更側(cè)重于非數(shù)學領域中需用數(shù)學工具來解決的問題，作為問題解決的一種模式。它更突出地表現(xiàn)了原始問題的分析，假設，抽象的數(shù)學加

17、工過程，數(shù)學工具，方法，模型的選擇和分析過程，模型的求解，驗證，再分析，修改假設，再求解的迭代過程。它更完整地表現(xiàn)了學數(shù)學和用數(shù)學的關系。一般的，數(shù)學建模的過程可用圖 ，1-3表示。</p><p><b>　　是否符合實際？</b></p><p><b>　　修改，深化，擴展</b></p><p><b>

18、　　回譯檢驗</b></p><p><b>　　簡</b></p><p><b>　　化</b></p><p>　　數(shù)學方法 計算工具</p><p><b>　　翻譯</b></p><p><b>　　1-3&

19、lt;/b></p><p>　　表述是將現(xiàn)實問題“翻譯”成抽象的數(shù)學問題，屬于歸納法。數(shù)學模型的求解則屬于演繹法。歸納是依據(jù)個別現(xiàn)象推出一般規(guī)律；演繹是按照普遍原理考察特定對象，導出結(jié)論。因為任何事物的本質(zhì)都要通過現(xiàn)象來反映，必然要透過偶然來表露，所以正確的歸納不是主觀，盲目的，而是有客觀基礎的，但也往往是不精細的，帶感性的，不易直接檢驗其正確性。演繹利用嚴格的邏輯推理，對解釋現(xiàn)象，作出科學預見具有重要意

20、義，但是它要以歸納的結(jié)論作為公理化形式的前提，只能在這個前提下保證其正確性。因此，歸納和演繹是辯證統(tǒng)一的過程；歸納是演繹的基礎，演繹是歸納的指導。</p><p>　　解釋是把數(shù)學模型的解答“翻譯”回到現(xiàn)實對象，給出分析，預報，決策或者控制的結(jié)果。最后，作為這個過程的重要一環(huán)，這些結(jié)果需要用實際的信息加以驗證，圖3也揭示了顯示對象和數(shù)學模型的關系，一方面，數(shù)學模型是將現(xiàn)象加以歸納，抽象的產(chǎn)物，它源于現(xiàn)實，又高于現(xiàn)

21、實，另一方面，只有當數(shù)學建模的結(jié)果經(jīng)受住現(xiàn)實對象的檢驗時，才可以用來指導實際，完成實踐----理論----實踐過----循環(huán)。</p><p>　　5.中學數(shù)學教學中培養(yǎng)建立模型的能力</p><p>　　學生在學校中接觸較多的是傳統(tǒng)的文字應用問題，對數(shù)學建模相對生疏。怎樣更好地從傳統(tǒng)的數(shù)學應用題教學過渡到數(shù)學建模，是一個正在被許多國家研究和實踐的數(shù)學教育課題。</p>&l

22、t;p>　　數(shù)學建模的對象確實有許多是應用題，但數(shù)學建模所涵蓋的范圍要比這大得多。課本上傳統(tǒng)的文字應用題往往有這樣的特點：條件清楚準確，不多不少，結(jié)論唯一確定，原始問題數(shù)學化的過程簡單，清楚，明了，接觸的結(jié)論也很少要求學生思考題符合實際，是否需要進一步調(diào)整和修改已有的模型。而這幾點往往是一般數(shù)學建模過程的難點和關鍵所在。從國外教材的變化中，我們可以體會出應用題教學變化的一種趨勢：問題的來源更加生活化，更貼近實際，條件和結(jié)論更模糊：

23、可用信息和最終結(jié)論更有待學生自己去挖掘。數(shù)學建模需要從應用做起，數(shù)學建模應用該從應用題的改革做起。</p><p>　　在中學，特別是高中階段，可以針對學生的不同發(fā)展水平，分層次開展多樣的數(shù)學應用與建?；顒?。形式可以是多種多樣的，常見的主要有一下三種：</p><p>　　結(jié)合正常的課堂教學，在部分環(huán)節(jié)上“溶入”應用和建模的內(nèi)容。</p><p>　　以數(shù)學應用和數(shù)

24、學建模為主題的單獨的教學環(huán)節(jié)。</p><p><b>　　數(shù)學建模選修課程。</b></p><p>　　【例1 】小明家的晚報在下午5:30--6:30之間的任何一個時間隨機地被送到，小明一家人在下午6:00--7:00之間的任何一個時間隨機地開始晚餐。</p><p>　?。?）你認為晚報在晚餐開始之前被送到和在晚餐開始之后被送哪一種可能

25、性更大？</p><p>　　(2) 晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？</p><p>　　我們用模擬方法來估計晚報在晚餐開始之前被送到的概率用兩個轉(zhuǎn)盤來模擬上述過程，一個轉(zhuǎn)盤用于模擬晚報的送達，另一個轉(zhuǎn)盤用于模擬晚餐，兩個轉(zhuǎn)盤個轉(zhuǎn)動一次并記錄下結(jié)果就完成一次模擬。</p><p>　　在平面上如圖所示建立坐標系，圖中直線X=6，X=7, Y=5.5，Y=6

26、.5 圍成一個正方形區(qū)域，設晚餐在X 時開始晚報在Y時被送到。</p><p><b>　　Y </b></p><p><b>　　6.5</b></p><p><b>　　G</b></p><p><b>　　5.5</b></p>

27、<p>　　6 7 X</p><p>　　中學開展數(shù)學應用與建?；顒拥年P鍵是尋找一批適合學生參與的“好的問題”，教師在選擇這些問題時，應特別注意以下幾點：</p><p>　　應努力選擇與學生的生活實際相關的問題，并減少對問題不必要的人為加工和刻意雕琢；</p><p>　　數(shù)學建模選用的問題最好有較為寬泛的數(shù)學背

28、景，有不同的層次以便不同水平學生的參與，并注意問題的可擴展性和開放性：</p><p>　　解決數(shù)學建模問題應努力表現(xiàn)出建模的全過程，而不僅僅是問題本身的解決：</p><p>　　應鼓勵學生在問題分析解決的過程中使用計算工具和成品工具軟件：</p><p>　　提倡教師自己動手，因地制宜地收集，編制，改造數(shù)學應用或建模問題，以更適合學生的使用，并根據(jù)所教學生的實際

29、情況采取適當?shù)慕虒W或?qū)W習策略。</p><p>　　【例2】 在區(qū)間上任取兩個數(shù)。則</p><p>　　求這兩個數(shù)的平方和不大于1的概率：</p><p>　　求這兩個數(shù)的差的絕對值不大于1的概率：</p><p>　　思路點拔：①.由已知條件 ②.構造出隨機事件對應的幾何圖形</p><p>　?、?利用圖形

30、的幾何特征找出基本事件及隨機事件對應的面積</p><p>　?、?借助幾何概型公式求得隨機事件的概率</p><p>　　解：記這兩個數(shù)分別為X,Y,則 ，，</p><p>　　記“這兩個數(shù)的平方和不大于1”為事件A，則時，事件A發(fā)生，作圖如圖所示（陰影部分為事件A發(fā)生的區(qū)域）·</p><p><b>　　1<

31、;/b></p><p><b>　　-11</b></p><p><b>　　-1</b></p><p><b>　　由幾何概型知</b></p><p>　　記“這兩數(shù)的差的絕對值不大于1”為事件B,則 時，事件B發(fā)生，作圖如圖所示（陰影部分為事件B發(fā)生的區(qū)域

32、）</p><p><b>　　1</b></p><p><b>　　1</b></p><p><b>　　1</b></p><p><b>　　-1</b></p><p><b>　　故平</b>&l

33、t;/p><p><b>　　= </b></p><p>　　【例3 】 求函數(shù) 的值域·</p><p>　　解： 其定義域，因此可設 ，</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p>

34、<p>　　當時，有最大值 ；當 或時 有最小值 1，所以函數(shù)值域為·</p><p>　　6.模擬分析法解題舉例</p><p>　　在詳細分析了數(shù)學模擬的概念與類型，模擬方法在中學數(shù)學中的運用及步驟以及在教學過程中要重視對學生建模能力的培養(yǎng)以后，我們看到用建模方法解決實際問題，首先是用數(shù)學言表達問題即構造模型，其次才是用數(shù)學工具求解構造的模型。 </p&g

35、t;<p>　　【例4 】 A 地氣象站于中午12時測得離該地正西約400km處的臺風中心，正以40的速度向東北方向前進，以臺風中心為圓心，300km為半徑的圓稱為臺風圈。處于臺風圈內(nèi)的地區(qū)會受到臺風的侵襲。我們要對A地受臺風影響的時間（既起止時間）作出預報。</p><p>　　解：當A地受臺風影響時，臺風中心與A地距離不大于300km，這樣，我們</p><p>　　可

36、把情況看成臺風中心在以A點為圓心，以半徑為300km的圓內(nèi)。我們把問題理想化，臺風中心是沿直線前進的。如圖1-4所示，設初始臺風中心在O處，它沿著OT方向前進， , OT與 以 A 為圓心，半徑為300km的圓交于兩點B,C，那么臺風中心移到B點時，A處就脫離了臺風圈 現(xiàn)以O 為極點，以射線OA為極軸，建立極坐標系，則圓A的方程為（百千米為單位）</p><p><b>　?、?lt;/b><

37、;/p><p>　　而直線OT的方程為 時， ② </p><p><b>　?、?代入 ①上可知</b></p><p>　　① 與 ② 聯(lián)立 ，解之得B ,C 的極坐標為 </p><p>　　即 B ,C 與 D 的距離分別為</p><p>　　臺風中心

38、移到 B ,C 處所需時間分別為</p><p>　　故A 地于 16 時36 分至 21時 36 分有臺風經(jīng)過。 </p><p>　　BB A</p><p><b>　　A</b></p><p><b>　　7.結(jié)束語</b></p>

39、<p>　　經(jīng)過了兩個多月的學習和工作，我終于完成了《中學數(shù)學中的模擬及其教學》的論文。在這段時間里，我學到了很多知識也有很多感受，我開始了獨立的學習和試驗，查看相關的資料和書籍，讓自己頭腦中模糊的概念逐漸清晰，使自己非常稚嫩作品一步步完善起來，每一次改進都是我學習的收獲，每一次試驗的成功都會讓我興奮好一段時間。 雖然我的論文作品不是很成熟，還有很多不足之處，但我又會有點自戀式地安慰自己：做一件事情，不必過于在乎最終的結(jié)果

40、，可貴的是過程中的收獲。本文首先要講述了數(shù)學模擬方法的概念和類型。模擬方法就是通過對原型的模擬來間接研究原型的性質(zhì)和規(guī)律的方法。解數(shù)學題的模擬方法可分為物理相似模擬方法和數(shù)學關系相似模擬方法。然后講述了模擬方法在中學數(shù)學中的運用及步驟和如何培養(yǎng)中學生建立模型等問題。再然后根據(jù)理論知識講解了一些模擬方法的實際問題，這些實際問題都是在理論知識基礎上解決出來的。每個問題解決完后進行總結(jié)，講述了在解此題時所用的方法，知識，以及怎樣去思考，怎去思

41、考，怎樣把理論應用到實際問題中去等等。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1]張奠宙 ，宋乃慶 .數(shù)學教育概論.北京：高等教育出版社，2011(5).</p><p>　　[2]李長明 ，周煥山 . 初等數(shù)學研究.北京：高等教育出版社，2011（25).</p><p>　　[3]王庚

42、 ，王敏生 . 現(xiàn)代數(shù)學建模方法. 科學出版社.2009 （2）</p><p>　　[4]張雄 ，李得虎 ，數(shù)學方法論與解題研究 ，高等教育出版社 2013（2） </p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　大學四年很快就要結(jié)束了，在這寶貴的四年學習過程中，我認識了數(shù)學系的各級領導、老師和我親愛的同學們，得到了他

43、們熱心的幫助和關心，使我能夠順利的完成學業(yè)，同時我的道德修養(yǎng)在身邊優(yōu)秀的老師和同學的感染下得到了很大的提高，在此向他們表示我最衷心的感謝！</p><p>　　感謝我的指導老師**教授，對我畢業(yè)論文的細心指導。**提老師嚴謹細致、認真負責的工作態(tài)度是我學習的典范，在這過程中對畢業(yè)論文多次進行修改，耐心的指導，提出了寶貴的意見和新的方法，培養(yǎng)了新的數(shù)學思想，進一步提高了我的各方面的能了，這對我以后走上工作崗位有很大

44、的幫助。</p><p>　　同時我要感謝我大學四年認識的所有好朋友，有了他們的陪伴、支持、鼓勵，我的大學生活才有意義，從他們身上我學到了很多我沒有的品質(zhì)，我將永遠珍惜這難得的友誼.</p><p>　　到論文的順利完成，有很多的可敬的老師、同學、朋友給了我真摯的幫助，在這里請接受我誠摯的謝意！再次對**老師表示最誠摯的謝意和祝福！</p><p><b>