自激振蕩系統(tǒng)matlab仿真課程設(shè)計

1、<p>　　課程 計算物理和MATLAB課程設(shè)計</p><p>　　題目 自激振動系統(tǒng)的MATLAB仿真</p><p>　　專業(yè) 姓名 學號 主要內(nèi)容、基本要求、主要參考資料等</p><p><b>　　主要

2、內(nèi)容：</b></p><p>　　研究范?德?波耳(Van der pol)方程所描述的非線性有阻尼的自激振動系統(tǒng)，其中是一個小的正的參量，是常數(shù)。下面簡稱范?德?波耳方程為VDP方程。在VDP方程中，增加外驅(qū)動力項所得到的方程稱強迫VDP方程，其中外驅(qū)動力的振幅、角頻率分別是和。試研究強迫VDP方程的行為。</p><p><b>　　基本要求：</b>

3、;</p><p>　　1.演示VDP方程所描述的系統(tǒng)在非線性能源供給下，從任意初始條件出發(fā)都能產(chǎn)生穩(wěn)定的周期性運動。</p><p>　　2.采用龐加萊映像，演示強迫VDP方程在不同參數(shù)下所存在四種吸引子，即周期1吸引子、周期2吸引子、不變環(huán)面吸引子和奇怪吸引子。</p><p>　　3.對于強迫VDP方程，在v和w為定值條件下，逐漸增大μ值，將出現(xiàn)周期倍分岔和混

4、沌現(xiàn)象。</p><p><b>　　主要參考資料：</b></p><p>　　[1] Steven E. Koonin, 秦克誠譯. 計算物理學. 北京：高等教育出版社，1993. </p><p>　　[2] 馬文淦等. 計算物理學. 合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，1992. </p><p>　　[3] 張志涌.

5、 精通MATLAB6.5. 北京：北京航空航天大學出版社，2003.</p><p>　　完成期限 </p><p>　　指導教師 </p><p>　　專業(yè)負責人 </p><p>　　2012年 2 月 23 日</p><p&g

6、t;<b>　　第1章 概述</b></p><p><b>　　1.1 自激震蕩</b></p><p>　　自激振動是一種對科學技術(shù)非常有意義而在自然界又廣泛存在的非線性振動. 我們知道,對線性阻尼振動系統(tǒng),嚴格的周期運動只能由受周期性驅(qū)動力作用的受迫振動產(chǎn)生;而對非線性系統(tǒng),有一種自激振動系統(tǒng),在非振動的能源供給下,它能產(chǎn)生嚴格的周期運動

7、,這是人們十分感興趣的現(xiàn)象。自激系統(tǒng)是一個非線性的有阻尼的振動系統(tǒng),在振動過程中伴隨有能量損耗,但系統(tǒng)存在一種機制,使能量能夠由非振動能源通過系統(tǒng)本身的反饋調(diào)節(jié),及時適量地得到補充,從而產(chǎn)生一個穩(wěn)定的不衰減的周期運動,這樣的振動稱為自激振動[1]。</p><p>　　自激振動現(xiàn)象是一種普遍現(xiàn)象。如鐘擺、弦樂器以及人的心臟的周期性跳動?；钊l(fā)動機的周期性運動等都是利用這種現(xiàn)象來建立不衰減的周期運動；但有些自激振動

8、是十分有害的，這些現(xiàn)象應(yīng)該設(shè)法避免。</p><p>　　1.2 范·德·波耳（Van der pol）方程</p><p>　　在此課程設(shè)計中，我們主要研究范?德?波耳(Van der pol)方程：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　所描述的非線性有阻尼的自激振動

9、系統(tǒng)，其中是一個小的正的參量，是常數(shù)。下面簡稱范?德?波耳方程為VDP方程。 </p><p>　　在VDP方程中，增加外驅(qū)動力項所得到的方程：</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　稱強迫VDP方程，其中外驅(qū)動力的振幅、角頻率分別是和。</p>&l

10、t;p>　　VDP方程所描述的系統(tǒng)在非線性能源供給下，從任意初始條件出發(fā)都能產(chǎn)生穩(wěn)定的周期性運動。</p><p>　　而對于強迫VDP方程，在V和為 定值條件下，逐漸增大，將出現(xiàn)周期倍分岔和混濁現(xiàn)象。</p><p>　　第2章 自激振蕩系統(tǒng)的周期性運動</p><p><b>　　2.1 課題解析 </b></p>&l

11、t;p>　　自激系統(tǒng)是一個非線性有阻尼的振動系統(tǒng)，在運動過程中伴隨有能量損耗，但系統(tǒng)存在一種機制，使能量能夠由非振動的能源通過系統(tǒng)本身的反饋 調(diào)節(jié)，及時適量地得到補充，從而產(chǎn)生一個穩(wěn)定的不衰減的周期運動，這樣的振動稱為自激振動。</p><p>　　對VDP方程，可從機械振動角度理解，是阻尼系數(shù)，它是變化的，如果， 則阻尼系數(shù)為正，系統(tǒng)將受阻尼，能量將逐漸減少，但如果， 則發(fā)生負阻尼，意味著不僅不消耗系統(tǒng)的

12、能量，反而給系統(tǒng)提供能量。此系統(tǒng)能通過自動的反饋調(diào)節(jié)，使得在一個振動過程中，補充的能量正好等于消耗的能量，從而系統(tǒng)作穩(wěn)定的周期振動。</p><p>　　2.2 MATLAB程序設(shè)計及演示</p><p>　　取方程(1-1)中的，， ，0.66,，0.85，1.08這四個初始條件進行編程，程序詳見附錄-程序（1）。</p><p>　　2.3 MATLAB演示結(jié)果

13、和分析</p><p>　　根據(jù)圖3.1顯示的結(jié)果,我們做出以下結(jié)論:給出任一初始條件，通過計算機數(shù)值求解可以證明它的相軌道都將趨向于一條閉合曲線，這一條閉合曲線，成為極限環(huán)，極限環(huán)以外的相軌道向里盤旋，而極限環(huán)以內(nèi)的相軌道則向外盤旋，都趨向極限環(huán)，說明不論初始情況如何，系統(tǒng)最終都到達以極限環(huán)描述的周期性運動[2]。</p><p>　　圖3.1 四種初始條件下的軌道</p>

14、<p>　　第3章 強迫VDP方程在不同參數(shù)下的四種吸引子</p><p>　　下面研究強迫VDP方程的行為，我們同時采用時間歷程圖、相圖、龐加萊映像圖來研究系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的動力學行為，可以看到存在不同的吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不變環(huán)面吸引子和奇怪吸引子。</p><p><b>　　3.1龐加萊映射</b></p>&

15、lt;p>　　為了更清楚地了解運動的形態(tài)，龐加萊對連續(xù)運動的軌跡用一個截面（叫龐加萊截面）將其橫截，那么根據(jù)軌跡在截面上穿過的情況，就可以簡潔地判斷運動的形態(tài)，由此所得圖像叫龐加萊映像。在截面圖上，軌跡下一次 穿過截面的點可以看成前一次穿過的點的一種映射。</p><p>　　（n=0,1,2,…）

16、 （3-1）</p><p>　　這個映射就叫龐加萊映射。它把一個連續(xù)的運動化為簡潔的離散映射來研究。在龐加萊映射中的不動點反映了相空間的周期運動，如果運動是二倍周期的，則龐加萊映射是兩個不動點，四倍周期則有四個不動點等。</p><p>　　繪制龐加萊映射是在普通的相平面上進行，它不是像畫相軌道那樣隨時間變化連續(xù)地畫出相點，而是每隔一個外激勵周期（）取一個點，例如取樣的時刻可以是t=0

17、,T,2T…相應(yīng)的相點記為、、… 這些離散相點就構(gòu)成了龐加萊映射[3]。</p><p>　　設(shè)，， 則（1-2）式可化為 </p><p><b>　　（3-2）</b></p><p>　　3.2 強迫VDP方程在不同參數(shù)下的四種吸引子</p><p><b>　　對于（3-2）式，</b>&l

18、t;/p><p>　　取，，進行以下數(shù)值計算研究：</p><p>　　⑴在，，條件下，存在周期1吸引子，它的周期等于外激勵的周期，代表主諧波運動，如圖3.1所示：</p><p>　　圖 3.1 周期1吸引子</p><p>　?、圃?，，條件下，存在周期2吸引子，它的周期等于外激勵的整數(shù)倍，代表次諧波運動，如圖3.2所示：</p>

19、<p>　　圖 3.2 周期2吸引子</p><p>　?、窃冢?，條件下，存在不變環(huán)面吸引子，它代表準周期（擬周期）運動，如圖3.3所示</p><p>　　圖3.3 不變環(huán)面吸引子</p><p>　?、龋?，條件下存在奇怪吸引子，它代表混濁運動。</p><p><b>　　如圖3.4所示</b>&l

20、t;/p><p>　　圖3.4 奇怪吸引子 </p><p>　?、杀３諺和為定值，逐漸增大，將顯示系統(tǒng)狀態(tài)演化過程全貌的圖。而前四種情況中，看到的只是取4個值的片斷情況，圖形顯示，當由0.9連續(xù)變化到1.2時，系統(tǒng)運動狀態(tài)逐漸由周期1過渡到周期2（發(fā)生了周期倍分岔）再過渡到混濁狀態(tài)。如圖3.5所示。</p><p>　　圖3.5 演化過程全貌圖</p>

21、<p>　　3.3 MATLAB演示程序設(shè)計</p><p>　　在程序中，這幾種過程的計算是相同的，所以用for循環(huán)來完成前面四種計算，程序詳見附錄-程序（2）。 計算中在每個外激勵周期內(nèi)計算1000個相點，為了作出龐加萊映射，每隔1000個點保留一個點數(shù)據(jù),所以程序運行的時間較長，對第五種情況，由于計算量大，將它另外編寫一個程序，程序詳見附錄-程序（3）。 計算中在每個周期內(nèi)計算100個相點，龐

22、加萊映射是每隔100個點保留一個點數(shù)據(jù)。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　計算物理學中，應(yīng)用MATLAB軟件求解具體問題的例子多不勝數(shù)。它以編程效率高、使用方便、擴充能力強、語句簡單內(nèi)涵豐富等特點廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、數(shù)值與符號計算、圖像與數(shù)字信號處理領(lǐng)域。應(yīng)用MATLAB軟件對自激振動系統(tǒng)進行仿真模擬，可以直觀的顯示出自激振動系統(tǒng)的周期性

23、運動，以及強迫VDP方程在不同參數(shù)下所存在四種吸引子的特點，是可以觀察到對于強迫VDP方程，在v和為定值條件下，逐漸增大μ值，將出現(xiàn)的周期倍分岔和混沌現(xiàn)象。</p><p>　　通過應(yīng)用MATLAB軟件對自激振動系統(tǒng)進行仿真模擬，我們對自激振動系統(tǒng)有了更加深刻的了解。通過演示程序的設(shè)計編程，使我們更加熟練地掌握了MATLAB軟件的使用方法。在編程過程中，細微處符號語句的使用讓我們吃夠了苦頭，往往差之毫厘失之千里。

24、此外我們也了解了龐加萊映射等相關(guān)知識，對于計算物理學也有了更深刻的認識。</p><p><b>　　附錄</b></p><p><b>　　程序（1）：</b></p><p>　　u=[0.3,0.66,0.85 1.08];</p><p>　　x0=1; w0=1; v=0;

25、w=0.44;</p><p><b>　　T=2*pi/w;</b></p><p><b>　　for j=1:4</b></p><p>　　[t,y]=ode23('zjzdfun',[0:T/1000:50*T],[4,4],[],u(j),x0,w0,v,w);</p><p

26、><b>　　figure</b></p><p>　　plot(y(3000:end,1),y(3000:end,2));</p><p>　　axis([-3 3 -4 4])</p><p>　　xlabel('x');ylabel('y');</p><p><b>

27、;　　end</b></p><p><b>　　程序（2）：</b></p><p>　　u=[0.85, 1.02, 0.66, 1.08];</p><p>　　x0=1; w0=1; v=1; w=0.44;</p><p><b>　　T=2*pi/w;</b>

28、;</p><p>　　str{1}='龐加萊截面—周期1吸引子';</p><p>　　str{2}='龐加萊截面—周期2吸引子';</p><p>　　str{3}='龐加萊截面—不變環(huán)面吸引子';</p><p>　　str{4}='龐加萊截面—奇怪吸引子';</p&

29、gt;<p><b>　　for j=1:4</b></p><p>　　[t,y]=ode23('zjzdfun',[0:T/1000:50*T],[4,4],[],u(j),x0,w0,v,w);</p><p><b>　　figure</b></p><p>　　subplot(2,1

30、,1)</p><p>　　plot(t,y(:,1));</p><p>　　title('位移曲線');</p><p>　　xlabel('x');ylabel('v');</p><p>　　subplot(2,2,3)</p><p>　　plot(y(3000

31、:end,1),y(3000:end,2));</p><p>　　axis([-3 3 -4 4])</p><p>　　xlabel('x');ylabel('v');</p><p>　　title('相圖');</p><p>　　subplot(2,2,4)</p>&l

32、t;p>　　axis([-3 1 -1 1])</p><p><b>　　hold on</b></p><p>　　for i=7000:1000:14000</p><p>　　plot(y(i,1),y(i,2),'r.');</p><p><b>　　end</b>

33、</p><p>　　title(str{j});</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　程序（3）：</b></p><p>　　u=0.8:0.001:1.2;</p><p><b>　　v=1;</b></

34、p><p>　　x0=1;w0=1;</p><p><b>　　w=0.44;</b></p><p><b>　　T=2*pi/w;</b></p><p>　　axis([0.9 1.2  -0.8 1])</p><p><b>　　hold on&l

35、t;/b></p><p>　　for j=1:length(u)</p><p>　　[t,y]=ode23('zjzdfun',[0:T/100:70*T],[4,4],[],u(j),x0,w0,v,w);</p><p>　　plot(u(j),y(500:100:1400,2),'linewidth',2);</

36、p><p><b>　　end</b></p><p>　　程序（4）（該程序為調(diào)用函數(shù)）：</p><p>　　function ydot=vdbfun(t,y,flag,u,x0,w0,v,w)</p><p>　　ydot=[y(2);u*(x0^2-y(1)^2)*y(2)-y(1)*w0^2-v*cos(w*t)]

37、;</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 丁文靜.自激振動，清華大學出版社，2009，(34)：325-328.</p><p>　　[2] 胡靜,彭芳麟,管靖,盧圣治.理論力學中非線性問題的MATLAB數(shù)值解,大學　物理COLL EGE PHYSICS 第20卷第10期, 2001</p>&