單置倒立擺課程設(shè)計

1、<p>　　現(xiàn)代控制理論課程設(shè)計</p><p>　　題 目： 單倒置擺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計</p><p><b>　　學(xué) 院： </b></p><p><b>　　專業(yè)班級： </b></p><p><b>　　學(xué) 號：</b></

2、p><p><b>　　姓 名： </b></p><p><b>　　指導(dǎo)教師： </b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　倒置擺控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，對倒置擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題，對單倒置擺，

3、首先運用牛頓運動定律建立倒立擺系統(tǒng)的運動方程，以小車的位移，速度，擺桿與y軸正方向的夾角及擺角變化的速度作為四個狀態(tài)變量，進而求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，建立數(shù)學(xué)模型。其次運用狀態(tài)反饋極點配置算法，由給定的控制要求求出狀態(tài)反饋增益矩陣，將極點配置在控制要求的位置，另外考慮到系統(tǒng)的某些狀態(tài)，如：小車速度和擺桿角速度不容易直接測量等，本文設(shè)計了全維狀態(tài)觀測器，對狀態(tài)變量進行了重構(gòu)并給出了利用Matlab仿真結(jié)果及分析?！　￡P(guān)鍵詞：倒置板；狀態(tài)

4、反饋；極點配置；狀態(tài)觀測器；　　 </p><p>　　一、設(shè)計題目及原理圖</p><p>　　為單倒置擺系統(tǒng)的原理圖。設(shè)擺的長度為、質(zhì)量為m，用鉸鏈安裝在質(zhì)量為M的小車上。小車有一臺直流電動機拖動，在水平方向?qū)π≤囀┘涌刂屏,相對參考系產(chǎn)生位移z。若不給小車施加控制力，則倒置擺會向左或向右傾倒，因此，它是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)?？刂频哪康氖?，當(dāng)?shù)怪脭[無論出現(xiàn)向左或向右傾倒時，通過控制直流

5、電動機，使小車在水平方向運動，將倒置擺保持在垂直位置上。</p><p>　　二、倒置擺的狀態(tài)空間方程</p><p>　　為簡化問題，工程上可以忽略一些次要因素。在本例中，我們?yōu)榱撕喕瘑栴}，方便研究系統(tǒng)空間的設(shè)計問題，忽略了擺桿質(zhì)量、執(zhí)行電動機慣性以及擺軸、輪軸、輪與接觸面之間的摩擦及風(fēng)力。設(shè)小車的瞬時位置為z，倒置擺出現(xiàn)的偏角為θ，則擺心瞬時位置為。在控制力u的作用下，小車及擺均產(chǎn)生加

6、速運動，根據(jù)牛頓第二定律，在水平直線運動方向的慣性力應(yīng)與控制力u平衡，則有</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　由于繞擺旋轉(zhuǎn)運動的慣性力矩應(yīng)與重力矩平衡，因而有</p><p><b>　　即</b></

7、p><p>　　（2） </p><p>　　式（1）、式（2）兩個方程都是非線性方程，需作線性化處理。由于控制的目的是保持倒置擺直立，因此，在施加合適u的條件下，可以認為、均接近于零，此時≈，,且可以忽略項，于是有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　+ =

8、 （4）</p><p>　　連聯(lián)立求解式（3）、式（4），可得</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　（6） </b></p><p>　　消去中間變量θ，可得輸入量為u、輸出量為z的微分方程為</

9、p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　綜合上述的分析，可抽象出系統(tǒng)的研究對象為：位移z、小車的速度、擺的角速度θ及其角速度的。系統(tǒng)的研究對象抽象成這四個變量后，接下來就可以根據(jù)前面的方程為這四個變量建立空間狀態(tài)方程，并分析被控對象的特性。</p><p>　　三、建立倒置擺的狀態(tài)空間模型</p><p>

10、;　　再上一步中，我們已經(jīng)選取了四個研究對象作為狀態(tài)變量，它們分別為：位移z、小車的速度、擺的角速度θ及其角速度的。Z為輸出變量，在考慮，以及式（5）、（6）、（7），可列出倒置擺的狀態(tài)空間模型表達式為：</p><p><b>　?。?a）</b></p><p><b>　　(8b)</b></p><p><b

11、>　　式中</b></p><p>　　為方便研究，假定系統(tǒng)的參數(shù)M=1kg,m=0.1kg,l=1m,,則系統(tǒng)狀態(tài)方程中參數(shù)矩陣為：</p><p>　　,， （9）</p><p>　　此時倒置擺的狀態(tài)空間模型表達式為：</p><p><b>　　式中</b>&l

12、t;/p><p>　　四、對模型進行分析（即對被控對象進行分析）以及相應(yīng)仿真</p><p>　　在建立完模型后我們需要對模型進行分析。作為被控制的倒置擺，當(dāng)它向左或向右傾倒時，能否通過控制作用使它回復(fù)到原直立位置，這取決于其能控性。因此我們首先分析它的能控性。</p><p><b>　　能控性分析</b></p><p>

13、;　　根據(jù)能控性的秩判據(jù)，并將式（9）的有關(guān)數(shù)據(jù)帶入該判據(jù)，可得</p><p><b>　?。?0）</b></p><p>　　因此，單倒置擺的運動狀態(tài)是可控的。換句話說，這意味著總存在一控制作用u,將非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零。</p><p><b>　　仿真代碼如下：</b></p><p>　　代

14、碼：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;</p><p>　　N=size(A);n=N(1);</p><p>　　sys0=ss(A,b,c,d);</p><p>　　S=ctrb(A,b)；</p><p>　　f=rank(S);&l

15、t;/p><p><b>　　if f==n</b></p><p>　　disp('系統(tǒng)能控')</p><p><b>　　else</b></p><p>　　disp('系統(tǒng)不能控')</p><p><b>　　end</

16、b></p><p><b>　　結(jié)果：</b></p><p><b>　　S =</b></p><p>　　0 1 0 1</p><p>　　1 0 1 0</p><p>　　0 -1 0 -1

17、1</p><p>　　-1 0 -11 0</p><p><b>　　f = 4</b></p><p><b>　　穩(wěn)定性分析</b></p><p>　　由單倒置擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，可求的其特征方程為：</p><p>　　（11）

18、 </p><p>　　解得特征值為0,0，，-。四個特征值中存在一個正根，兩個零根，這說明單倒置擺系統(tǒng)，即被控系統(tǒng)不穩(wěn)定的。</p><p>　　仿真: 采用MATLAB對被控對象進行仿真，如下圖所示為倒擺沒有添加任何控制器下四個變量的單位階躍響應(yīng)。如圖可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能到達控制目的。</p><p><b>　　代碼：</b&

19、gt;</p><p>　　A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;</p><p>　　sys0=ss(A,b,c,d);</p><p>　　>> t=0:0.01:5;</p><p>　　>> [y,t,x]=ste

20、p(sys0,t);</p><p>　　>> subplot(2,2,1);</p><p>　　>> plot(t,x(:,1));grid</p><p>　　>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　>> ti

21、tle('z');</p><p>　　>> subplot(2,2,2);</p><p>　　>> plot(t,x(:,2));grid;</p><p>　　>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　>

22、;> title('z的微分');</p><p>　　>> subplot(2,2,3);</p><p>　　>> plot(t,x(:,3));grid</p><p>　　>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><

23、p>　　>> title('\theta')</p><p>　　>> subplot(2,2,4);</p><p>　　>> plot(t,x(:,4));grid</p><p>　　>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</

24、p><p>　　>> title('\theta的微分')</p><p><b>　　仿真結(jié)果如下：</b></p><p>　　由上面兩個方面對系統(tǒng)模型進行分析，可知被控系統(tǒng)是具有能控性的，但是被控系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，需對被控系統(tǒng)進行反饋綜合，使四個特征值全部位于根平面S左半平面的適當(dāng)位置，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定工作已達到良好

25、、靜態(tài)性能的要求。因此我們需要設(shè)計兩種控制器方案來使系統(tǒng)到達控制的目的，分別為：全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計和降維觀測器的設(shè)計。</p><p>　　3、單倒置擺系統(tǒng)的綜合</p><p>　　采用全狀態(tài)反饋。取狀態(tài)變量z、、θ、為反饋信號，狀態(tài)控制規(guī)律為</p><p><b>　?。?2）</b></p><p>　　設(shè)

26、 </p><p>　　式中，分別為z、、θ、反饋至參考輸入v的增益。則閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 </p><p>　　設(shè)置期望閉環(huán)極點為-1，-2，-1+i,-1-i</p><p>　　由MATLAB可求得：</p><p>　　=-0.4，=-1，=-21.4，=-6</p

27、><p>　　如下圖畫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：</p><p><b>　　Z的微分圖像</b></p><p><b>　　Z的圖像</b></p><p><b>　　Ø微分的圖形</b></p><p><b>　　Ø的圖形

28、</b></p><p><b>　　仿真的代碼如下：</b></p><p>　　A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;</p><p>　　N=size(A);n=N(1);</p><p>　　sys0=s

29、s(A,b,c,d);</p><p>　　P_s=[-1,-2,-1+i,-1-i];</p><p>　　k=acker(A,b,P_s)</p><p><b>　　A1=A-b*k;</b></p><p>　　sys=ss(A1,b,c,d);</p><p>　　t=0:0.01:5;

30、</p><p>　　[y,t,x]=step(sys,t);</p><p>　　>> subplot(2,2,1);</p><p>　　plot(t,x(:,1));grid</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p&g

31、t;　　title('z');</p><p>　　subplot(2,2,2);</p><p>　　plot(t,x(:,2));grid;</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　title('z的微分');&l

32、t;/p><p>　　subplot(2,2,3);</p><p>　　plot(t,x(:,3));grid</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　title('\theta')</p><p>　　subp

33、lot(2,2,4);</p><p>　　plot(t,x(:,4));grid</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　title('\theta的微分')</p><p>　　>> t=0:0.01:10;</

34、p><p>　　[y,t,x]=step(sys,t);</p><p>　　subplot(2,2,1);</p><p>　　plot(t,x(:,1));grid</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　title('

35、;z');</p><p>　　subplot(2,2,2);</p><p>　　plot(t,x(:,2));grid;</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　title('z的微分');</p><

36、p>　　subplot(2,2,3);</p><p>　　plot(t,x(:,3));grid</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　title('\theta')</p><p>　　subplot(2,2,4);<

37、;/p><p>　　plot(t,x(:,4));grid</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　title('\theta的微分')</p><p>　　最后顯示的結(jié)果如下：</p><p><b>

38、　　k =</b></p><p>　　-0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000</p><p>　　圖 單倒置擺全狀態(tài)反饋的階躍響應(yīng)曲線</p><p>　　如仿真圖可知，單倒置擺的全狀態(tài)反饋為穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)。觀察仿真曲線：單位階躍的作用下，輸出變量逐漸趨于某一常數(shù)，狀態(tài)變量θ則是逐漸趨于0。當(dāng)參考輸入v單位階躍

39、時，狀態(tài)向量在單位階躍的作用下相應(yīng)逐漸趨于穩(wěn)定，這時擺桿回到原始位置（即θ=0），小車也保持穩(wěn)定（即z=某一常數(shù)）。如果不將4個狀態(tài)變量全用作反饋，該系統(tǒng)則不能穩(wěn)定。</p><p><b>　　五、設(shè)計方案</b></p><p>　　方案一：全維觀測器的設(shè)計</p><p>　　為實現(xiàn)單倒置擺控制系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋，必須獲取系統(tǒng)的全部狀態(tài)，即

40、z、、θ、的信息。因此，需要設(shè)置z、、θ、的四個傳感器。在實際的工程系統(tǒng)中往往并不是所有的狀態(tài)信息都是能檢測到的，或者，雖有些可以檢測，但也可能由于檢測裝置昂貴或安裝上的困難造成難于獲取信息，從而使?fàn)顟B(tài)反饋在實際中難于實現(xiàn)，甚至不能實現(xiàn)。在這種情況下設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，解決全維狀態(tài)反饋的實現(xiàn)問題。</p><p>　?。?）判定系統(tǒng)狀態(tài)的能觀測性</p><p>　　將式（9）中的數(shù)值代入

41、能觀測性秩判據(jù)，得：</p><p>　　或者由MATLAB中的obsv(A,c)命令來求秩，可得秩為4?？梢姳豢叵到y(tǒng)的4個狀態(tài)均是可觀測的，即意味著其狀態(tài)可由一個全維（四維）狀態(tài)觀測器給出估值。</p><p>　　其中，全維觀測器的運動方程為</p><p><b>　　式中</b></p><p>　　全維觀測器已

42、G配置極點，決定狀態(tài)向量估計誤差衰減的速率。</p><p>　　設(shè)置狀態(tài)觀察器的期望閉環(huán)極點為-2，-3，-2+i,-2-i。由于最靠近虛軸的希望閉環(huán)極點為-2，這意味著任一狀態(tài)變量估計值至少以規(guī)律衰減。</p><p>　　由MATLAB可求的出G：</p><p>　　=9，=42，=-148，=-492</p><p>　　為實現(xiàn)單倒

43、置擺控制系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋，必須獲取系統(tǒng)的全部狀態(tài)，即z、、θ、的信息。因此，需要設(shè)置z、、θ、的四個傳感器。在實際的工程系統(tǒng)中往往并不是所有的狀態(tài)信息都是能檢測到的，或者，雖有些可以檢測，但也可能由于檢測裝置昂貴或安裝上的困難造成難于獲取信息，從而使?fàn)顟B(tài)反饋在實際中難于實現(xiàn)，甚至不能實現(xiàn)。在這種情況下設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，解決全維狀態(tài)反饋的實現(xiàn)問題。</p><p>　　使用simulink仿真圖：全維狀態(tài)觀測器實

44、現(xiàn)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖：</p><p><b>　　仿真的代碼如下：</b></p><p><b>　　代碼1：</b></p><p>　　A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;</p><p>　　

45、>> V=obsv(A,c);</p><p>　　m=rank(V);</p><p><b>　　if m==n</b></p><p>　　disp('系統(tǒng)能觀')</p><p><b>　　else</b></p><p>　　disp(

46、'系統(tǒng)不能觀')</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　結(jié)果1：</b></p><p><b>　　代碼2：</b></p><p>　　A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;

47、1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;</p><p>　　N=size(A);n=N(1);</p><p>　　sys0=ss(A,b,c,d);</p><p>　　P_s=[-1,-2,-1+i,-1-i];</p><p>　　k=acker(A,b,P_s)</p><p>　　h=(acker(

48、A',c',P_s))'</p><p>　　A1=[A ,-b*k;h*c,A-b*k-h*c];</p><p>　　b1=[b;b];c1=[c zeros(1,4)];d1=0;</p><p>　　sys=ss(A1,b1,c1,d1);</p><p>　　t=0:0.01:10;</p>&

49、lt;p>　　[y,t,x]=step(sys,t);</p><p>　　figure(1);</p><p>　　plot(t,x(:,1:4),'--');grid</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p>　　figure(2

50、);</p><p>　　plot(t,x(:,5:8),'--');grid</p><p>　　xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');</p><p><b>　　figure(3)</b></p><p>　　>> subplot(4

51、,1,1);</p><p>　　plot(t,(x(:,1)-x(:,5)));grid</p><p>　　ylabel('z');</p><p>　　subplot(4,1,2);</p><p>　　plot(t,(x(:,2)-x(:,6)));grid</p><p>　　ylabel(&

52、#39;z的微分');</p><p>　　subplot(4,1,3);</p><p>　　plot(t,(x(:,3)-x(:,7)));grid</p><p>　　ylabel('\theta');</p><p>　　>> figure(3)</p><p>　　>

53、> subplot(4,1,1);</p><p>　　>> plot(t,(x(:,1)-x(:,5)));grid</p><p>　　>> subplot(4,1,2);</p><p>　　plot(t,(x(:,2)-x(:,6)));grid</p><p>　　ylabel('z的微分

54、9;);</p><p>　　>> subplot(4,1,3);</p><p>　　plot(t,(x(:,3)-x(:,7)));grid</p><p>　　ylabel('\theta');</p><p>　　>> subplot(4,1,4);</p><p>　　

55、>> plot(t,(x(:,4)-x(:,8)));grid</p><p>　　>> ylabel('\theta的微分');</p><p><b>　　仿真結(jié)果分別為：</b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　?、跔顟B(tài)反饋下的

56、狀態(tài)變量的階躍響應(yīng)</p><p><b>　　z的波形</b></p><p><b>　　Ø的圖形</b></p><p><b>　　z的微分</b></p><p>　　③帶全維觀測器的狀態(tài)反饋下的狀態(tài)變量的階躍響應(yīng)</p><p>　

57、　注：“——”表示z的階躍響應(yīng)； “——”表示的階躍響應(yīng)</p><p>　　“——”表示θ的階躍響應(yīng)； “——”表示的階躍響應(yīng)；。</p><p>　　由上圖可知，全維狀態(tài)觀測器觀測到的4個變量的階躍響應(yīng)曲線與全狀態(tài)反饋時的階躍響應(yīng)曲線基本相識，但是二者還是有誤差的，只不過誤差很?。ㄈ缦到y(tǒng)狀態(tài)與全維觀測器得到的估計狀態(tài)之間的誤差曲線所示），全維狀態(tài)觀測器所得的

58、性能基本滿足要求，但是由于觀測器的數(shù)目多，導(dǎo)致中間過程的損耗也大。實際上，本系統(tǒng)中的小車位移z，可由輸出傳感器獲得，因而無需估計，可以設(shè)計降維觀測器。</p><p>　　方案二：降維觀測器的設(shè)計</p><p>　　由于單倒置擺控制系統(tǒng)中的小車位移，可由輸出傳感器測量，因而無需估計，可以設(shè)計降維（3維）狀態(tài)的觀測器。通過重新排列被控系統(tǒng)狀態(tài)變量的次序，把需由降維狀態(tài)觀測器估計變量與輸出傳

59、感器測得的狀態(tài)變量分開，也就是說，將z作為第四個狀態(tài)變量，則按照被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出方程可變換為：</p><p><b>　　簡記為</b></p><p><b>　　式中</b></p><p><b>　　，,,</b></p><p><b>　　,,,,&

60、lt;/b></p><p>　　故單倒置擺三維子系統(tǒng)動態(tài)方程為</p><p>　　使用MATLAB對其的觀測性檢查，結(jié)果是客觀的。 </p><p>　　因為降維狀態(tài)觀測器動態(tài)方程的一般形式為</p><p><b>　　式中，。</b></p><p>　　使用MATLAB可求出降維狀

61、態(tài)觀測器特征多項式為</p><p>　　設(shè)期望的觀測器閉環(huán)極點為-3，，則由MATLAB 仿真可得，期望特征多項式為</p><p>　　由MATLAB可得，=7，=-28， =-92</p><p>　　所以由MATLAB的仿真可得降維觀測器的動態(tài)方程為</p><p>　　使用降維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的的單倒置擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。

62、</p><p>　　仿真后的對應(yīng)的圖形如下：</p><p><b>　　z的圖形</b></p><p><b>　　z微分的圖形</b></p><p><b>　　Ø的圖形</b></p><p><b>　　結(jié)論</b

63、></p><p>　　由以上分析可見狀態(tài)反饋系統(tǒng)為穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng), 狀態(tài)向量在初始擾動下的響應(yīng)將漸漸的衰減至零, 這時擺桿和小車都會回到它的初始位置。上述分析設(shè)計基于小擾動假設(shè), 即當(dāng)θ, θ’均很小時, 在被控對象線性化條件下進行的?？紤]到施加控制后, 通?？蓾M足上述條件, 故該設(shè)計是行之有效的。</p><p>　　通過帶觀測器的狀態(tài)反饋，使系統(tǒng)的性能指標(biāo)得到滿足，可以使處于任意

64、初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)。即使在初始狀態(tài)或有干擾的情況下，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置，依靠狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立。</p><p>　　狀態(tài)反饋系統(tǒng)的主要優(yōu)點是極點的任意配置, 無論開環(huán)極點和零點在什么位置, 都可以任意配置期望的閉環(huán)極點。這為我們提供了控制系統(tǒng)的手段, 假如系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以被測量和反饋的話, 狀態(tài)反饋可以提供簡單而適用的設(shè)計。</p><p><

65、;b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 胡壽松. 自動控制原理[M]. 北京：科學(xué)出版社，2001</p><p>　　[2] 魏克新. MATLAB語言與自動控制系統(tǒng)設(shè)計[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，1999.246-285.</p><p>　　[3] 黃忠霖. 控制系統(tǒng)MATLAB計算及仿真．北京：國防工業(yè)出版社，2001.

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