控制系統(tǒng)課程設(shè)計(jì)---直線一級(jí)倒立擺控制器設(shè)計(jì)

1、<p>　　課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)（論文）</p><p>　　課程名稱： 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì) </p><p>　　設(shè)計(jì)題目：直線一級(jí)倒立擺控制器設(shè)計(jì)</p><p>　　院 系： </p><p>　　班 級(jí)： </p><p

2、>　　設(shè) 計(jì) 者： </p><p>　　學(xué) 號(hào)： </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p><p>　　設(shè)計(jì)時(shí)間： 2013.9.2——2013.9.13 </p><p><b>　　課程設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū)</b></p&g

3、t;<p>　　*注：此任務(wù)書(shū)由課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)教師填寫(xiě)。</p><p>　　第一章 直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)及建立</p><p>　　1.1直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)</p><p>　　系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過(guò)在研究對(duì)象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過(guò)傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，

4、應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入－輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入－狀態(tài)關(guān)系。 </p><p>　　對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是經(jīng)過(guò)小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用

5、經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。下面我們采用其中的牛頓－歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 </p><p>　　在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng). 下圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿水平和垂直方向的分量。</p><p>　　圖1-1（a）小車隔離受力圖 （b）擺桿隔離受力圖<

6、/p><p>　　本系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)定義如下： </p><p>　　M : 小車質(zhì)量 m：擺桿質(zhì)量 </p><p>　　b：小車摩擦系數(shù) l：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 </p><p>　　I：擺桿慣量 F：加在小車上的力 &l

7、t;/p><p>　　x：小車位置 φ：擺桿與垂直向上方向的夾角 </p><p>　　θ：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）</p><p>　　注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定,因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉?lt;/p><p>　　應(yīng)用牛頓方法來(lái)建立系統(tǒng)

8、的動(dòng)力學(xué)方程過(guò)程如下：</p><p>　　分析小車水平方向受到的合力，可以得到下面等式：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>&l

9、t;b>　?。?-3）</b></p><p>　　把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： </p><p><b>　?。?-

10、5）</b></p><p><b>　?。?-6）</b></p><p><b>　　力矩平衡方程如下：</b></p><p><b>　　（1-7）</b></p><p>　　注意：此方程中力矩的方向，由于 ，故等式前面有負(fù)號(hào)。</p>&

11、lt;p>　　合并這兩個(gè)方程，約去P和N ，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　1.1.1微分方程模型</p><p>　　設(shè) （是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小,即，則可以進(jìn)行近似處理： 。用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F ，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：&

12、lt;/p><p><b>　?。?-9）</b></p><p>　　1.1.2傳遞函數(shù) </p><p>　　對(duì)以上微分方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，得到</p><p><b>　?。?-10）</b></p><p>　　注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。 </p&g

13、t;<p>　　由于輸出為角度為，求解方程組上述方程組的第一個(gè)方程，可以得到</p><p><b>　?。?-11）</b></p><p><b>　　或者</b></p><p><b>　?。?-12）</b></p><p><b>　　如果令

14、，則有</b></p><p><b>　?。?-13）</b></p><p>　　把上式代入10式，則有：</p><p><b>　?。?-14）</b></p><p>　　整理得到以輸入力為輸入量，擺桿角度為輸出量的傳遞函數(shù)：</p><p><b

15、>　?。?-15）</b></p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　1.1.3狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型</p><p>　　由現(xiàn)代控制原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫(xiě)成如下形式：</p><p><b>　?。?-16）</b></p><p&g

16、t;　　可得代數(shù)方程，得到如下解：</p><p><b>　?。?-17）</b></p><p>　　整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：</p><p><b>　?。?-18）</b></p><p>　　由(1-9)的第二個(gè)方程為:</p><p>　　對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺

17、桿有:</p><p><b>　　于是可以得到:</b></p><p><b>　　化簡(jiǎn)得到:</b></p><p><b>　　（1-19）</b></p><p><b>　　設(shè)，，則有：</b></p><p><

18、b>　　（1-20）</b></p><p><b>　　實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下：</b></p><p>　　M : 小車質(zhì)量 0.5kg m：擺桿質(zhì)量 0.2kg </p><p>　　b：小車摩擦系數(shù) 0.1N/m/sec l：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的

19、長(zhǎng)度 0.3m </p><p>　　I：擺桿慣量 0.006kg*m*m </p><p>　　把上述參數(shù)帶入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。</p><p>　　擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：</p><p><b>　　（1-21）</b></p><p>　　擺桿角

20、度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)：</p><p><b>　　（1-22）</b></p><p>　　擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)</p><p><b>　?。?-23）</b></p><p>　　以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：</p><p><b

21、>　?。?-24）</b></p><p>　　以小車加速度作為輸入系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程：</p><p><b>　?。?-25）</b></p><p>　　1.2系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析</p><p>　　在matlab中鍵入以下命令：</p><p><b>　　得到如

22、下結(jié)果：</b></p><p>　　圖1-2 直線一階倒立擺單位階躍響應(yīng)仿真</p><p>　　可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。</p><p>　　第二章 直線一級(jí)倒立擺PID控制器設(shè)計(jì)</p><p>　　本章主要利用PID控制算法對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，要求熟悉控

23、制參數(shù)、、對(duì)系統(tǒng)性能的影響，然后按照所要求的控制指標(biāo)并綜合實(shí)際響應(yīng)結(jié)果恰當(dāng)?shù)卣{(diào)整參數(shù)。運(yùn)用MATLAB仿真軟件可以快捷地進(jìn)行系統(tǒng)仿真和參數(shù)調(diào)整，本章第2節(jié)的內(nèi)容即是運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)PID控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和仿真。第3節(jié)中，將對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際的運(yùn)行和參數(shù)調(diào)試，以獲得一組最佳的PID控制參數(shù)。</p><p><b>　　設(shè)計(jì)目的：</b></p><p>　　學(xué)習(xí)P

24、ID控制器的設(shè)計(jì)方法，了解控制器各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，學(xué)會(huì)根據(jù)控制指標(biāo)要求和實(shí)際響應(yīng)調(diào)整PID控制器的參數(shù)。</p><p><b>　　設(shè)計(jì)要求：</b></p><p>　　設(shè)計(jì)PID控制器，使得當(dāng)在小車上施加0.1N的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：</p><p>　　（1）穩(wěn)定時(shí)間小于5秒；</p><p&g

25、t;　?。?）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度。</p><p><b>　　設(shè)計(jì)報(bào)告要求：</b></p><p>　?。?）給出系統(tǒng)擺桿角度和小車位置的仿真圖形及控制器參數(shù)，并對(duì)各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響進(jìn)行說(shuō)明；</p><p>　?。?）給出實(shí)際控制曲線和控制器參數(shù)，對(duì)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)指標(biāo)進(jìn)行分析。</p>

26、<p>　　D控制系統(tǒng)原理框圖如下所示，系統(tǒng)由模擬PID控制器KD（S）和被控對(duì)象G（S）組成。</p><p>　　PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值r(t)與實(shí)際輸出值y(t)構(gòu)成控制偏差e(t)</p><p>　　將偏差的比例（P），積分（I）和微分（D）通過(guò)線性組個(gè)構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，谷稱為PID控制器。其控制規(guī)律為：</p><

27、;p>　　或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式：</p><p>　　在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫(xiě)成：</p><p>　　簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),PID控制器各個(gè)校正環(huán)節(jié)的作用如下:</p><p>　?。?） 比例環(huán)節(jié)：成比例的反應(yīng)控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)e(t)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。</p><p>　?。?）積分環(huán)節(jié)：主要用

28、于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù)T1，T1越大，積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。</p><p>　　（3） 微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)（變化速率），并能在偏差信號(hào)值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)節(jié)時(shí)間。</p><p>　　這個(gè)控制問(wèn)題，輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)一個(gè)擾動(dòng)，觀察擺

29、桿的響應(yīng)，系統(tǒng)框圖如下：</p><p>　　圖2-1直線一級(jí)倒立擺PID控制系統(tǒng)框</p><p>　　圖中KD(s)是控制器傳遞函數(shù)，G(s)是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。</p><p>　　考慮到輸入r(s)=0，結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成</p><p>　　圖2-2 直線一級(jí)倒立擺PID控制簡(jiǎn)化系統(tǒng)框圖</p><p>

30、;<b>　　該系統(tǒng)的輸出為 </b></p><p>　　其中，num——被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) </p><p>　　den——被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) </p><p>　　numPID——PID 控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) </p><p>　　denPID——PID 控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) </p>

31、;<p>　　通過(guò)分析上式可以得到系統(tǒng)的各項(xiàng)性能。</p><p>　　由（2-13）可以得到擺桿角度和小車加速度的傳遞函數(shù)：</p><p>　　PID控制器的傳遞函數(shù)為：</p><p>　　只需調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的效果。</p><p><b>　　小車的位置輸出為：</b><

32、;/p><p>　　通過(guò)對(duì)控制量雙重積分可以得到小車的位置。</p><p>　　2.2 PID控制參數(shù)設(shè)定及MATLAB仿真</p><p>　　通過(guò)不斷的調(diào)試，最后=120，=100，=20。</p><p>　　系統(tǒng)MATLAB仿真模型如下：</p><p>　　圖2-3一階倒立擺PID控制MATLAB仿真模型&l

33、t;/p><p>　　其輸入0.1N的脈沖響應(yīng)如下：</p><p>　　圖2-4直線一階倒立擺PID控制仿真結(jié)果圖</p><p>　　可以看出，在3.68s的時(shí)候系統(tǒng)已經(jīng)穩(wěn)定了，并且在穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度。由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制小車擺桿的角度，并不能控制小車的位置。</p><p>　　2.3

34、 PID控制實(shí)驗(yàn)</p><p>　　MATLAB版實(shí)驗(yàn)軟件下的實(shí)驗(yàn)步驟：</p><p>　　(1) 打開(kāi)直線一級(jí)倒立擺PID控制界面如圖2-5所示：（進(jìn)入MATLAB Simulink 實(shí)時(shí)控制工具箱“Googol Education Products”打開(kāi)“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP E

35、xperiment\ PID Experiments”中的“PID Control Demo”） 2) 雙擊“PID”模塊進(jìn)入PID 參數(shù)設(shè)置，如圖2-6所示，把仿真得到的參數(shù)輸入PID控制器，點(diǎn)擊“OK”保存參數(shù)。</p><p>　　圖2-5直線一級(jí)倒立擺MATLAB 實(shí)時(shí)控制界面 圖2-6 參數(shù)設(shè)計(jì)調(diào)整</p><p>　　(3) 點(diǎn)擊編譯程序，完成后點(diǎn)擊使計(jì)

36、算機(jī)和倒立擺建立連接。</p><p>　　(4) 點(diǎn)擊運(yùn)行程序，檢查電機(jī)是否上伺服。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進(jìn)入自動(dòng)控制后松開(kāi)，當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到正負(fù)限位的位置時(shí)，用工具擋一下擺桿，使小車反向運(yùn)動(dòng)。 </p><p>　　(5) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示：</p><p>　　圖2-7 PID控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果1</p><p>　　圖2

37、-8 PID控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果2（施加干擾）</p><p>　　從圖2-7中可以看出，倒立擺可以實(shí)現(xiàn)較好的穩(wěn)定性，擺桿的角度在3.14（弧度）左右。PID控制器并不能對(duì)小車的位置進(jìn)行控制，小車會(huì)沿滑桿有稍微的移動(dòng)。在給定干擾的情況下，小車位置和擺桿角度的變化曲線如圖2-8所示，可以看出，系統(tǒng)可以較好的抵換外界干擾，在干擾停止作用后，系統(tǒng)大約3.2s達(dá)到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化遠(yuǎn)小于0.1弧度。</p

38、><p>　　2.4 PID系統(tǒng)的優(yōu)缺點(diǎn)</p><p>　　優(yōu)點(diǎn)：PID控制優(yōu)點(diǎn)明顯，應(yīng)用廣泛。PID能消除穩(wěn)態(tài)誤差；同時(shí)可以減少超調(diào)量，克服振蕩，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高；并且能加快系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，減小調(diào)整時(shí)間，從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。</p><p>　　缺點(diǎn)：PID控制的過(guò)度期比較長(zhǎng)，上升過(guò)程中波動(dòng)明顯；當(dāng)然，較好的PID控制效果是以已知被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型為前

39、提的，當(dāng)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型未知時(shí)，PID控制的調(diào)試將會(huì)有很大的難度。</p><p>　　第三章 狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)</p><p>　　經(jīng)典控制理論的研究對(duì)象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需要有關(guān)被控對(duì)象的較精確模型，現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，將經(jīng)典控制理論的概念擴(kuò)展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點(diǎn)配置法通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的

40、位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。</p><p><b>　　設(shè)計(jì)目的：</b></p><p>　　學(xué)習(xí)狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器的設(shè)計(jì)方法，分析各個(gè)極點(diǎn)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，學(xué)會(huì)根據(jù)控制指標(biāo)要求和實(shí)際響應(yīng)調(diào)整極點(diǎn)的位置和控制器的參數(shù)。</p><p><b>　　設(shè)計(jì)要求：</b></p><

41、p>　　設(shè)計(jì)狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器，使得當(dāng)在小車上施加0.2m的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：</p><p>　?。?）擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時(shí)間小于3秒</p><p>　?。?）的上升時(shí)間小于1秒</p><p>　　（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）</p><p>　?。?）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。</p>

42、<p><b>　　設(shè)計(jì)報(bào)告要求：</b></p><p>　?。?）給出系統(tǒng)擺桿角度和小車位置的仿真控制圖形及控制器參數(shù)，并對(duì)極點(diǎn)的位置和各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響進(jìn)行分析；</p><p>　?。?）給出實(shí)際控制曲線和控制器參數(shù)，并對(duì)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)指標(biāo)進(jìn)行分析。</p><p>　　3.1 狀態(tài)空間分析</p>

43、<p>　　狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖如圖3-1所示。</p><p>　　圖3-1 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制原理圖</p><p><b>　　狀態(tài)方程為：</b></p><p>　　式中：為狀態(tài)向量（維），為控制向量（純量），為維常數(shù)矩陣，為維常數(shù)矩陣。</p><p><b>　　選擇控制信號(hào)：&

44、lt;/b></p><p><b>　　求解上式，得到</b></p><p><b>　　方程解為：</b></p><p>　　可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，選擇適當(dāng)，對(duì)于任意的初始狀態(tài)，當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)，都可以使趨于0。</p><p>　　極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)步驟：</p>&

45、lt;p>　　(1) 檢驗(yàn)系統(tǒng)的可控性條件。</p><p>　　(2) 從矩陣的特征多項(xiàng)式</p><p><b>　　來(lái)確定的值。</b></p><p>　　(3) 確定使?fàn)顟B(tài)方程變?yōu)榭煽貥?biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣：</p><p><b>　　其中為可控性矩陣，</b></p>&

46、lt;p>　　(4) 利用所期望的特征值，寫(xiě)出期望的多項(xiàng)式</p><p><b>　　并確定的值。</b></p><p>　　(5) 需要的狀態(tài)反饋增益矩陣由以下方程確定：</p><p>　　3.2 極點(diǎn)配置及MATLAB仿真</p><p>　　前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車加速度作

47、為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：</p><p><b>　　于是有：</b></p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　直線一級(jí)倒立擺的極點(diǎn)配置轉(zhuǎn)化為：</p><p>　　選，，解得=0.59，wn=3.39，=0.804，符合要求。</p><p>　　求

48、得閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為：，選取另兩個(gè)極點(diǎn)為-14，-14。則：</p><p>　　對(duì)于如上所述的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時(shí)間（約3秒）和合適的阻尼。</p><p>　　下面采用四種不同的方法計(jì)算反饋矩陣。</p><p><b>　　方法一： </b></p><p>　　倒立擺極點(diǎn)配置原理圖如圖3-2所示

49、。</p><p>　　圖3-2 倒立擺極點(diǎn)配置原理圖</p><p><b>　　極點(diǎn)配置步驟如下：</b></p><p>　　(1) 檢驗(yàn)系統(tǒng)可控性（略）</p><p><b>　　(2) 計(jì)算特征值</b></p><p>　　根據(jù)要求，并留有一定的裕量（設(shè)調(diào)整時(shí)間

50、為2秒），我們選取期望的閉環(huán)極點(diǎn)，其中：</p><p>　　其中，是一對(duì)具有的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)，位于主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的左邊，因此其影響較小，因此期望的特征方程為：</p><p><b>　　因此可以得到：</b></p><p><b>　　由系統(tǒng)的特征方程：</b></p><p><b>

51、　　因此有</b></p><p>　　系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：</p><p>　　(3) 確定使?fàn)顟B(tài)方程變?yōu)榭煽貥?biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣：</p><p><b>　　式中：</b></p><p><b>　　于是可以得到：</b></p><p>　　(4) 狀態(tài)反

52、饋增益矩陣為：</p><p>　　得到控制量為：；以上計(jì)算可以采用MATLAB編程計(jì)算。直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置MATLAB 程序1： </p><p><b>　　clear;</b></p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0];</p><p>　　B=[

53、0 1 0 2.5]';</p><p>　　C=[1 0 0 0;0 0 1 0];</p><p><b>　　D=[0 0]';</b></p><p>　　J=[-14 0 0 0;0 -14 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i];</p><p>　　pa=p

54、oly(A);pj=poly(J);</p><p>　　M=[B A*B A^2*B A^3*B];</p><p>　　W=[pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0];</p><p><b>　　T=M*W;</b></p><p>　　K=[

55、pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)]*inv(T);</p><p>　　Ac=[(A-B*K)];</p><p>　　Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];</p><p>　　T=0:0.005:5;</p><p>　　U=0.2*ones(size(T));</p

56、><p>　　Cn=[1 0 0 0];</p><p>　　Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);</p><p>　　Bcn=[Nbar*B];</p><p>　　[Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);</p><p>　　plot(T,X(:,1),'-');hold

57、on;</p><p>　　plot(T,X(:,2),'-.');hold on;</p><p>　　plot(T,X(:,3),'.');hold on;</p><p>　　plot(T,X(:,4),'-');hold on;</p><p>　　legend('CartPos

58、','CartSpd','PendAng','PendSpd')</p><p>　　（進(jìn)入MATLAB Simulink 實(shí)時(shí)控制工具箱“Googol Education Products”打開(kāi)“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Ex

59、periments”中的“Poles Control M File1”）運(yùn)行得到以下結(jié)果：</p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果如下：</b></p><p>　　K = [-92.0608 -45.1515 174.4274 30.8606]</p><p>　　圖3-3極點(diǎn)配置仿真結(jié)果</p><p>　　可

60、以看出，給定系統(tǒng)干擾后，倒立擺可以在2s內(nèi)很好的回到平衡位置</p><p><b>　　方法二： </b></p><p>　　矩陣（A－BK）的特征值是方程式的根：</p><p>　　這是s的四次代數(shù)方程式，可表示為</p><p>　　適當(dāng)選擇反饋系數(shù)系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。</p><

61、;p>　　把四個(gè)特征根設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有</p><p>　　比較兩式有下列聯(lián)立方程式</p><p>　　如果給出的是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實(shí)數(shù)。據(jù)此可求解出實(shí)數(shù)。</p><p>　　當(dāng)將特征根指定為下列兩組共軛復(fù)數(shù)時(shí)</p><p><b>　　又 </b></p>

62、;<p>　　利用方程式可列出關(guān)于的方程組：</p><p>　　利用如下直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置MATLAB程序2。</p><p><b>　　clear;</b></p><p>　　syms a s b k1 k2 k3 k4;</p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0

63、 0 1;0 0 a 0];</p><p>　　B=[0 1 0 b]';</p><p>　　SS=[s 0 0 0;0 s 0 0;0 0 s 0;0 0 0 s];</p><p>　　K=[k1 k2 k3 k4];</p><p>　　J=[-14 0 0 0;0 -14 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0

64、 -2+2.74*i];</p><p>　　ans=A-B*K;</p><p>　　P=poly(ans)</p><p>　　PJ=poly(J)</p><p>　?。ㄟM(jìn)入MATLAB Simulink 實(shí)時(shí)控制工具箱“Googol Education Products”打開(kāi)“Inverted Pendulum\Linear Inve

65、rted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Experiments”中的“Poles Control M File2”）</p><p>　　求解后得K = [-92.0608 -45.1515 174.4274 30.8606]。</p><p>　　即施加在小車水平方向的控制力：</p><p>　

66、　可以看出，和方法一的計(jì)算結(jié)果一樣。</p><p>　　方法三：利用愛(ài)克曼公式計(jì)算</p><p>　　愛(ài)克曼方程所確定的反饋增益矩陣為：</p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　利用MATLAB 可以方便的計(jì)算，程序如下：直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置MATLAB 程序3（愛(ài)克曼公式）<

67、;/p><p><b>　　clear;</b></p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0];</p><p>　　B=[0 1 0 2.5]';</p><p>　　M=[B A*B A^2*B A^3*B];</p><p>　　J=[

68、-14 0 0 0;0 -14 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i];</p><p>　　phi=polyvalm(poly(J),A);</p><p>　　K=[0 0 0 1]*inv(M)*phi </p><p>　?。ㄟM(jìn)入MATLAB Simulink 實(shí)時(shí)控制工具箱“Googol Education

69、 Products”打開(kāi)“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Experiments”中的“Poles Control M File3”）</p><p>　　運(yùn)行可以得到：K = [-92.0608 -45.1515 174.4274 30.8606]。</p><

70、;p>　　可以看出，計(jì)算結(jié)果和前面兩種方法一致。</p><p><b>　　方法四：</b></p><p>　　可以直接利用MATLAB的極點(diǎn)配置函數(shù)[K,PREC,MESSAGE] = PLACE(A,B,P)來(lái)計(jì)算。直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置MATLAB 程序4（愛(ài)克曼公式）如下所示。</p><p><b>　　c

71、lear;</b></p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0];</p><p>　　B=[0 1 0 2.5]';</p><p>　　M=[B A*B A^2*B A^3*B];</p><p>　　J=[-14 0 0 0;</p><p>

72、;　　0 -14 0 0;</p><p>　　0 0 -2-2.74*i 0;</p><p>　　0 0 0 -2+2.74*i];</p><p>　　phi=polyvalm(poly(J),A);</p><p>　　K=[0 0 0 1]*inv(M)*phi</p><p>　?。ㄟM(jìn)入MATLAB Sim

73、ulink 實(shí)時(shí)控制工具箱“Googol Education Products”打開(kāi)“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Experiments”中的“Poles Control M File4”）為匹配place()函數(shù)，把-14,-14兩個(gè)極點(diǎn)改成了-14-0.0001j，-14+0.0001j，因?yàn)樵黾拥奶摬亢?/p>

74、小，可以忽略不計(jì)，運(yùn)行得到如下結(jié)果：</p><p>　　K =[-92.0608 -45.1515 174.4274 30.8606]。</p><p>　　可以看出，以上四種方法計(jì)算結(jié)果都保持一致。</p><p><b>　　3.3極點(diǎn)配置實(shí)驗(yàn)</b></p><p><b>　　實(shí)驗(yàn)步驟如下：&

75、lt;/b></p><p>　　(1) 進(jìn)入MATLAB Simulink 中“ \\matlab6p5\toolbox\GoogolTech\InvertedPendulum \ Linear Inverted Pendulum, ”目錄，打開(kāi)直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制程序如下：</p><p>　　（進(jìn)入MATLAB Simulink 實(shí)時(shí)控制工具箱“Googol Ed

76、ucation Products”打開(kāi)“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\Poles Experiments”中的“Poles </p><p>　　Control Demo”）</p><p>　　圖3-8狀態(tài)空間極點(diǎn)配置實(shí)時(shí)控制程序 圖3-9 極點(diǎn)配置

77、控制參數(shù)設(shè)定</p><p>　　(2) 點(diǎn)擊“Controller”模塊設(shè)置控制器參數(shù)，把前面仿真結(jié)果較好的參數(shù)輸入到模塊中：</p><p>　　點(diǎn)擊“OK”完成設(shè)定。</p><p>　　(3) 點(diǎn)擊編譯程序，完成后點(diǎn)擊使計(jì)算機(jī)和倒立擺建立連接。</p><p>　　(4) 點(diǎn)擊運(yùn)行程序，檢查電機(jī)是否上伺服。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向

78、上的位置，在程序進(jìn)入自動(dòng)控制后松開(kāi)。</p><p>　　(5) 雙擊“Scope”觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示：</p><p>　　圖3-10狀態(tài)空間極點(diǎn)配置實(shí)時(shí)控制結(jié)果（平衡） </p><p>　　圖3-11狀態(tài)空間極點(diǎn)配置實(shí)時(shí)控制結(jié)果（施加干擾）</p><p>　　可以看出，系統(tǒng)可以在很小的振動(dòng)范圍內(nèi)保持平衡，小車振動(dòng)幅值約為4

79、5;10-3 m，擺桿振動(dòng)的幅值約為0.01弧度。在給定倒立擺干擾后，系統(tǒng)如響應(yīng)如圖3-11所示，從上圖可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間約為2.1秒，X的上升時(shí)間約為0.4s，的超調(diào)量約為0.15弧度。達(dá)到設(shè)計(jì)要求。</p><p>　　狀態(tài)反饋系統(tǒng)的主要優(yōu)點(diǎn)是極點(diǎn)的任意配置，無(wú)論開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在什么位置，都可以任意配置期望的閉環(huán)極點(diǎn)。這為我們提供了控制系統(tǒng)的手段，假如系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以被測(cè)量和反饋的話，狀態(tài)反饋可以提供

80、簡(jiǎn)單而適用的設(shè)計(jì)</p><p>　　第四章 總結(jié)及心得體會(huì)</p><p><b>　　總結(jié)：</b></p><p>　　PID的MATLAB仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本是吻合的。在MATLAB仿真時(shí)，通過(guò)不斷的調(diào)試，可以找到很多組滿足實(shí)驗(yàn)要求的PID參數(shù)，這就要求在眾多的參數(shù)中選取最優(yōu)解。但是實(shí)際系統(tǒng)和仿真還是有出入的，在實(shí)際系統(tǒng)中調(diào)試時(shí)，仿

81、真好的參數(shù)不一定效果好。所以，要調(diào)試出好的參數(shù)，前期要進(jìn)行仿真調(diào)試出比較合適的參數(shù)組，然后在實(shí)驗(yàn)室取最優(yōu)解。最終的PID參數(shù)為：120,100,20。實(shí)驗(yàn)結(jié)果為：在干擾停止作用后，系統(tǒng)大約3.2s達(dá)到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化遠(yuǎn)小于0.1弧度。滿足設(shè)計(jì)要求。</p><p>　　極點(diǎn)配置中對(duì)極點(diǎn)的選取很重要。通過(guò)這次課設(shè)，我學(xué)會(huì)了很多求極點(diǎn)配置參數(shù)的辦法。最終求得到的參數(shù)為：K =[-92.0608

82、-45.1515 174.4274 30.8606]。這組參數(shù)最后調(diào)出的系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間約為2.1秒，X的上升時(shí)間約為0.4s，的超調(diào)量約為0.15弧度。滿足了設(shè)計(jì)要求。</p><p>　　PID由于是單輸入單輸出系統(tǒng)，只能控制擺桿的角度，不能控制小車的位移，而極點(diǎn)配置兩個(gè)變量都可以控制。</p><p><b>　　心得體會(huì)：</b></p>&l