基于一級倒立擺的復(fù)合控制器設(shè)計 論文

1、<p><b>　　畢業(yè)論文（設(shè)計）</b></p><p>　　論文題目： 基于一級倒立擺的復(fù)合控制器設(shè)計 </p><p>　　學(xué)位類別： 工 學(xué) 學(xué) 士 </p><p>　　基于一級倒立擺的復(fù)合控制器設(shè)計</p><p>

2、;　　中 文 摘 要</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，是開展各種控制實(shí)驗(yàn)及進(jìn)行控制理論教學(xué)的理想平臺，因此受到各國及工程研究專家學(xué)者的關(guān)注。許多抽象的概念都可以通過倒立擺系統(tǒng)直觀的表現(xiàn)出來，如控制系統(tǒng)的可控性、穩(wěn)定性、系統(tǒng)的抗干擾能力和系統(tǒng)的收斂速度等。迄今，人們己經(jīng)利用經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論以及各種智能控制方法實(shí)現(xiàn)了多種倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。</p><p>

3、　　倒立擺有許多控制方法，比較常見的有PID控制、LQR控制、模糊控制等。在使用單個控制時，總不能同時使倒立擺系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)態(tài)誤差同時達(dá)到一個滿意的效果。本課題以固高公司的直線倒立擺為研究對象，采用LQR控制結(jié)合PID的復(fù)合控制，即根據(jù)LQR控制和PID控制的優(yōu)缺點(diǎn)互補(bǔ)，使其系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)以及具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性，并且可以獲得良好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。</p><p>　　關(guān)鍵詞：倒立擺；PID

4、控制；LQR控制；復(fù)合控制</p><p>　　Design of composite controller based on inverted pendulum </p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Inverted pendulum system is a nonlinear unable system

5、s, control theory is to carry put a variety of teaching and an ideal platform for testing control, so by the countries and engineering studies concern the experts and scholars. Many abstract concepts such as stability co

6、ntrol systems, controllability, speed of system convergence and systems such as anti-interference ability, to pass though the inverted pendulum system shown intuitive. So far, it has been the use of classical control the

7、ory ,mo</p><p>　　Inverted pendulum control methods there are many, there is the more common PID control, LQR control, fuzzy control. In the use of a single control, can not at the same time inverted pendulum

8、 system robustness and steady-state error at the same time to achieve a satisfactory effect, subject to the company’s line of high-solid inverted pendulum for the study, the combination of LQR control PID control compoun

9、d control, that is based on LQR control and PID control of the complementary strengths and</p><p>　　KEY WORDS: Inverted pendulum；PID control；LQR control；Composite control</p><p><b>　　目 錄&

10、lt;/b></p><p><b>　　第一章 緒論1</b></p><p><b>　　1.1概述1</b></p><p>　　1.1.1 倒立擺系統(tǒng)概述1</p><p>　　1.1.2 倒立擺系統(tǒng)研究現(xiàn)狀2</p><p>　　1.2 MATLAB

11、簡介3</p><p>　　1.2.1 Simulink簡介3</p><p>　　1.2.2 Simulink功能4</p><p>　　1.3研究內(nèi)容與章節(jié)安排4</p><p>　　第二章 直線一級倒立擺系統(tǒng)概述6</p><p>　　2.1 直線一級倒立擺系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)6</p>&l

12、t;p>　　2.2 直線一級倒立擺數(shù)學(xué)模型7</p><p>　　2.3 直線一級倒立擺系統(tǒng)分析12</p><p>　　2.3.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析12</p><p>　　2.3.2 系統(tǒng)能控性分析14</p><p>　　2.3.3 系統(tǒng)可觀測性分析15</p><p>　　2.4 本章小結(jié)17&

13、lt;/p><p>　　第三章 直線一級倒立擺系統(tǒng)PID控制18</p><p>　　3.1 PID控制算法18</p><p>　　3.2 直線一級倒立擺PID控制器設(shè)計18</p><p>　　3.3 直線一級倒立擺的PID控制器仿真24</p><p>　　3.4 本章小結(jié)27</p>&l

14、t;p>　　第四章 直線一級倒立擺系統(tǒng)LQR控制28</p><p>　　4.1 線性二次最優(yōu)控制算法28</p><p>　　4.2 直線一級倒立擺的LQR控制器設(shè)計30</p><p>　　4.3 直線一級倒立擺的LQR控制器仿真31</p><p>　　4.4 本章小結(jié)33</p><p>　　

15、第五章 直線一級倒立擺系統(tǒng)PID與LQR復(fù)合控制設(shè)計34</p><p>　　5.1 兩種控制算法的對比分析34</p><p>　　5.2 直線一級倒立擺PID與LQR復(fù)合控制器設(shè)計34</p><p>　　5.3 直線一級倒立擺的復(fù)合控制器仿真36</p><p>　　5.4 本章小結(jié)37</p><p&g

16、t;　　第六章 總結(jié)與展望38</p><p><b>　　6.1總結(jié)38</b></p><p>　　6.2 進(jìn)一步展望38</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)39</b></p><p><b>　　致 謝41</b></p><p>

17、;<b>　　第一章 緒論</b></p><p><b>　　1.1概述</b></p><p>　　1.1.1 倒立擺系統(tǒng)概述</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是一個典型的非線性、強(qiáng)耦合、多變量和不穩(wěn)定系統(tǒng)，作為控制系統(tǒng)的被控對象，它是一個理想的教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，許多抽象的控制概念都可以通過倒立擺直觀地表現(xiàn)出來。倒立擺系統(tǒng)

18、作為一個實(shí)驗(yàn)裝置，形象直觀，結(jié)構(gòu)簡單，構(gòu)件組成參數(shù)和形狀易于改變，成本低廉，是開展各種控制實(shí)驗(yàn)及進(jìn)行控制理論教學(xué)的理想實(shí)驗(yàn)平臺。在倒立擺系統(tǒng)控制過程中能有效地反映現(xiàn)代控制中的許多關(guān)鍵問題，如系統(tǒng)的魯棒性問題、非線性問題、隨動問題、跟蹤問題及鎮(zhèn)定問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力[1]。</p><p>　　無論哪種類型的倒立擺系統(tǒng)都具有如下特性：</p

19、><p>　?。?）非線性，實(shí)際控制可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進(jìn)行控制。</p><p>　?。?）不確定性，主要是指建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型非線性因素所導(dǎo)致的難以量化的部分。</p><p>　　（3）耦合性，倒立擺擺桿和小車之間，以及多級倒立擺系統(tǒng)的上下擺桿之間都是強(qiáng)耦合的。</p><p>　?。?）開環(huán)不穩(wěn)定性 。</

20、p><p>　?。?）約束限制，由于實(shí)際機(jī)構(gòu)的限制，小車很容易出現(xiàn)撞邊現(xiàn)象。</p><p>　　倒立擺的上述特性增加了倒立擺的控制難度，使其更具有研究價值和意義。通過對它的研究可以解決控制中的理論和技術(shù)實(shí)現(xiàn)問題，還能將控制理論涉及的主要基礎(chǔ)學(xué)科進(jìn)行有機(jī)的綜合應(yīng)用。其控制方法和思路對理論和實(shí)際的過程控制都有很好的啟發(fā)，可以有效的檢驗(yàn)各種控制理論和方法。目前，對倒立擺系統(tǒng)的研究已經(jīng)引起國內(nèi)外的廣

21、泛關(guān)注，是控制領(lǐng)域研究的熱門課題之一[2]。</p><p>　　現(xiàn)代許多控制理論的研究人員不斷的發(fā)掘出新的控制方法和控制策略，很多相關(guān)的科研成果在航天科技領(lǐng)域和機(jī)器人研究方面獲得了極為廣泛的應(yīng)用。因此，倒立擺系統(tǒng)在現(xiàn)代控制理論的研究中是一種較為理想的實(shí)驗(yàn)裝置[3]。</p><p>　　倒立擺的研究主要應(yīng)用在以下幾個方面：</p><p>　?。?）機(jī)器人的關(guān)鍵技

22、術(shù)—機(jī)器人的站立與行走。</p><p>　?。?）火箭等飛行器飛行過程中的實(shí)時控制。</p><p>　?。?）通信衛(wèi)星在軌道和確定位置上的穩(wěn)定控制。</p><p>　?。?）偵察衛(wèi)星中攝像機(jī)的穩(wěn)定控制。</p><p>　?。?）單級火箭在拐彎時飛行姿態(tài)的控制。</p><p>　　由于倒立擺系統(tǒng)與雙足機(jī)器人、各

23、類伺服云臺穩(wěn)定以及火箭飛行控制存在很多的共同點(diǎn)，因此對倒立擺控制系統(tǒng)的研究具有重要的理論和實(shí)踐意義[4]。 </p><p>　　1.1.2 倒立擺系統(tǒng)研究現(xiàn)狀</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值，對其控制研究是控制領(lǐng)域研究的熱門課題之一，國內(nèi)外的專家學(xué)者對此給予了廣泛的關(guān)注。</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)按擺桿數(shù)量的不同，可分為一級

24、，二級，三級倒立擺等，多級擺的擺桿之間屬于自由連接（即無電動機(jī)或其他驅(qū)動設(shè)備）。目前由中國大連理工大學(xué)模糊系統(tǒng)與模糊信息研究中心研究所領(lǐng)導(dǎo)的復(fù)雜系統(tǒng)智能控制實(shí)驗(yàn)室，采用了變論域自適應(yīng)模糊控制方法，成功地實(shí)現(xiàn)了四級倒立擺，使我國成為世界上第一個成功完成四級倒立擺實(shí)驗(yàn)的國家。2005年國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)利用基于LQR的模糊插值成功的實(shí)現(xiàn)了對五級倒立擺系統(tǒng)的控制[5]。</p><p>　　目前應(yīng)用在倒立擺上的算法主要有

25、以下幾類：</p><p>　?。?）PID控制。分析倒立擺的物理模型，以此來建立倒立擺的動力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論知識推導(dǎo)出非線性模型，再在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理，得到倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，這樣就可以設(shè)計出相應(yīng)的PID控制器實(shí)現(xiàn)其控制。</p><p>　　（2）狀態(tài)反饋控制。對倒立擺的物理模型進(jìn)行分析，建立起倒立擺的動力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論知識推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸

26、出方程，最后應(yīng)用狀態(tài)反饋的方法，實(shí)現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)的控制[6]。</p><p>　?。?）模糊控制。主要是確定模糊規(guī)則，設(shè)計出模糊控制器，實(shí)現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)的控制。</p><p>　?。?）幾種智能控制算法相結(jié)合的控制。比如模糊自適應(yīng)控制，分散魯棒自適應(yīng)控制等。</p><p>　　1.2 MATLAB簡介</p><p>　　MATLAB是

27、由美國Mathworks公司發(fā)布的的一種高科技計算環(huán)境，目前它主要面向于科學(xué)計算、可視化以及交互式程序設(shè)計。它將很多強(qiáng)大的功能集成在一個便于使用的視窗軟件平臺中，例如：數(shù)值分析、矩陣計算以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等。為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證仿真、工程設(shè)計、科研以及其他復(fù)雜的數(shù)值計算等眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面快速有效的解決方案，MATLAB采用了全新的程序設(shè)計語言編輯模式，程序編寫更加快速、簡潔，結(jié)果更加準(zhǔn)確形象，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計算軟件領(lǐng)域的

28、先進(jìn)水平。同時MATLAB可以進(jìn)行眾多的程序編寫、計算和仿真的功能，在工程計算、控制設(shè)計、信號檢測、等領(lǐng)域具有很強(qiáng)的應(yīng)用型，極大方便了人們的設(shè)計。本文主要應(yīng)用到Matlab的Simulink仿真模塊[7]。</p><p>　　1.2.1 Simulink簡介</p><p>　　Simulink是MATLAB最重要的組件之一，也是使用最頻繁的組件之一。它能夠搭建很多復(fù)雜控制系統(tǒng)的仿真，對

29、實(shí)際的生產(chǎn)設(shè)計具有很大的指導(dǎo)意義。它提供了一個完整的集成環(huán)境，具有很高的理論研究分析意義。在該環(huán)境中，有些系統(tǒng)仿真還無需書寫大量程序，而只需要將Simulink元件庫中的各元件搭建在一起就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)。Simulink具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程簡單清晰及仿真精細(xì)、效率高、靈活多變等優(yōu)點(diǎn)，目前Simulink已被廣泛應(yīng)用于控制理論、數(shù)字信號處理和動態(tài)控制系統(tǒng)的復(fù)雜仿真和設(shè)計[8]。</p><p>　　與MAT

30、LAB類似，Simulink的功能可以通過購買或自定義的工具箱不斷擴(kuò)展，當(dāng)前已有大量的第三方軟件和硬件可應(yīng)用于或被要求應(yīng)用于Simulink。本文所應(yīng)用到的就是由固高公司所開發(fā)的硬件和Simulink自定義工具箱。另外，Simulink還可以利用MATLAB豐富的工具以及第三方自定義的工具箱來進(jìn)行算法研發(fā)、建模環(huán)境的定制、等等的定義和研究。它的主要特點(diǎn)有：</p><p>　?。?）擁有豐富的和強(qiáng)大的模塊庫，同時

31、第三方還可以自行進(jìn)行添加；</p><p>　?。?）模塊圖簡單且易于管理，交互式的GUI（圖形用戶界面）更加有利于分析；</p><p>　　（3）利用層次性的設(shè)計功能來分割設(shè)計模型，可以實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計的管理；</p><p>　?。?）通過導(dǎo)航、創(chuàng)建、配置、搜索模型中的任意信號、參數(shù)、屬性，生成模型代碼；</p><p>　　（5）提

32、供API方便于其他仿真程序的連接或與手寫代碼集成，尤其是第三方工具箱的編寫；</p><p>　?。?）使用Embedded MATLAB模塊在Simulink和嵌入式系統(tǒng)執(zhí)行中調(diào)用MATLAB算法。</p><p>　　1.2.2 Simulink功能</p><p>　　Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具，廣泛應(yīng)用于工程計算、控制設(shè)計、信號處理

33、與通訊等科學(xué)領(lǐng)域，是一種基于MATLAB的框圖設(shè)計環(huán)境，能實(shí)現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析，在線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真方面的研究中起著重大的作用。Simulink可以用各種不同的采樣時間和多速率系統(tǒng)進(jìn)行建模。在創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型方面，Simulink提供了一個交互性強(qiáng)大的圖形用戶接口（GUI），這個創(chuàng)建過程不需要復(fù)雜的程序編寫，只需利用鼠標(biāo)進(jìn)行簡單的操作就能完成，就可以看到簡潔明了和準(zhǔn)確的系統(tǒng)的仿真結(jié)果，非常便

34、于用戶的分析和更改[9]。</p><p>　　Simulink是用于動態(tài)系統(tǒng)（線性、非線性）和嵌入式系統(tǒng)的多領(lǐng)域仿真和基于模型的設(shè)計的理想設(shè)計平臺。它用戶的強(qiáng)大的工具和自定義工具箱可對各種時變系統(tǒng)，包括通訊、控制、信號處理、視頻圖像處理系統(tǒng)，Simulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫來對其進(jìn)行設(shè)計、仿真、和測試，為上述系統(tǒng)的實(shí)際設(shè)計方案的可行性提供了強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)[10]。</p>&

35、lt;p>　　同時Simulink還允許其他多領(lǐng)域產(chǎn)品擴(kuò)展其建模功能與模塊，有利于用戶的設(shè)計、執(zhí)行、驗(yàn)證和確認(rèn)任務(wù)。</p><p>　　1.3研究內(nèi)容與章節(jié)安排</p><p>　　本文圍繞直線一級倒立擺的動力學(xué)建模、控制算法設(shè)計、仿真等一系列工作展開。主要研究了直線一級倒立擺的穩(wěn)擺問題，采用反饋控制的方法進(jìn)行倒立擺的平衡控制，在平衡點(diǎn)附近切換到線性二次型最優(yōu)控制以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制。著

36、重介紹PID控制方法、LQR控制方法，并對直線一級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB仿真。然后分析兩種方法各自的優(yōu)缺點(diǎn)，通過實(shí)驗(yàn)仿真及分析完成復(fù)合控制器的設(shè)計。最后通過倒立擺實(shí)物系統(tǒng)的控制證明了仿真控制器的正確性和穩(wěn)定性。</p><p><b>　　本文主要章節(jié)如下：</b></p><p>　　第一章，緒論，主要介紹一級倒立擺系統(tǒng)的研究背景及意義、分類、研究現(xiàn)狀、控制方法

37、等并簡單介紹了MATLAB及Simulink相關(guān)知識。</p><p>　　第二章，直線一級倒立擺系統(tǒng)概述，介紹了直線一級倒立擺系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)、建立其動力學(xué)模型得出其傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式。同時分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性及可觀測性。</p><p>　　第三章，直線一級倒立擺系統(tǒng)的PID控制，著重介紹PID控制算法并對系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB仿真。</p><p>　　

38、第四章，直線一級倒立擺系統(tǒng)的LQR控制，著重介紹LQR控制算法并對系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB仿真。</p><p>　　第五章，直線一級倒立擺系統(tǒng)的PID與LQR復(fù)合控制，為倒立擺穩(wěn)定控制研究，設(shè)計了由PID控制器和線性二次型(LQR)最優(yōu)控制器組成的復(fù)合控制器，并對其進(jìn)行仿真研究。</p><p>　　第六章，總結(jié)與展望，對論文工作做總結(jié)，并對直線一級倒立擺系統(tǒng)作了進(jìn)一步展望。</p&g

39、t;<p>　　第二章 直線一級倒立擺系統(tǒng)概述</p><p>　　2.1 直線一級倒立擺系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)主要包含倒立擺本體、電控箱以及由計算機(jī)和運(yùn)動控制卡組成的控制平臺三大部分，這些元件組成了一個閉環(huán)系統(tǒng)[11]。其結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。</p><p>　　圖1 一級倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖</p><p

40、>　　其中電控箱內(nèi)主要部件有：交流伺服驅(qū)動器、I／O接口板和開關(guān)電源。</p><p>　　控制平臺主要部分組成：（1）PC機(jī)，帶PCI總線插槽；（2）運(yùn)動控制卡用戶接口軟件；（3）運(yùn)動控制卡。電機(jī)通過同步帶來驅(qū)動小車在滑桿上來回運(yùn)動，以保持?jǐn)[桿平衡。直線一級倒立擺系統(tǒng)的工作原理圖如圖2所示。</p><p>　　圖2 倒立擺系統(tǒng)工作原理框圖</p><p>

41、;　　倒立擺系統(tǒng)是由計算機(jī)、倒立擺本體、伺服機(jī)構(gòu)、運(yùn)動控制卡和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。小車的位移、速度信號由光電碼盤1反饋給伺服驅(qū)動器和運(yùn)動控制卡。光電碼盤2將擺桿的角度、角速度信號反饋給運(yùn)動控制卡。計算機(jī)會從運(yùn)動控制卡中讀取相應(yīng)的實(shí)時數(shù)據(jù)，進(jìn)而確定控制決策（小車的運(yùn)動方向、移動的速度、加速度等），并由運(yùn)動控制卡來實(shí)現(xiàn)該控制決策，運(yùn)動控制卡產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動，通過同步皮帶來帶動小車運(yùn)動，以保持?jǐn)[桿平衡[12]。&l

42、t;/p><p>　　直線一級倒立擺系統(tǒng)硬件組成如下：</p><p><b>　　（1）伺服電機(jī)</b></p><p>　　在自動控制系統(tǒng)中作為執(zhí)行元件，又可稱為執(zhí)行電動機(jī)，它可以將輸入的電壓信號變換成轉(zhuǎn)軸的角位移或者角速度輸出。通過改變控制電壓來改變伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。</p><p><b>　　（2）

43、編碼器</b></p><p>　　編碼器有兩種形式：增量式編碼器和絕對編碼器。是作為檢測轉(zhuǎn)速、線速度、角速度、線位移、角位移的一種傳感器，精度高、可靠好，因此應(yīng)用非常廣泛。</p><p><b>　?。?）限位開關(guān)</b></p><p>　　又稱行程開關(guān)，可以安裝在相對靜止的物體上或者運(yùn)動的物體上。當(dāng)動物接近靜物時，開關(guān)的連桿

44、驅(qū)動開關(guān)的接點(diǎn)引起接點(diǎn)分?jǐn)?。由開關(guān)接點(diǎn)開、合狀態(tài)的改變?nèi)タ刂齐娐泛蜋C(jī)構(gòu)的動作。</p><p><b>　?。?）運(yùn)動控制器</b></p><p>　　2.2 直線一級倒立擺數(shù)學(xué)模型</p><p>　　系統(tǒng)仿真就是通過對系統(tǒng)模型的分析來研究真實(shí)系統(tǒng)的特性。所謂的真實(shí)系統(tǒng)，它可以是已存在的或正在設(shè)計的系統(tǒng)。因此，為了實(shí)現(xiàn)仿真，首先要采用某種方

45、法對真實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行抽象，得到系統(tǒng)模型，其過程稱為系統(tǒng)建模。經(jīng)過抽象所得到的系統(tǒng)模型，并不是真實(shí)系統(tǒng)的完全復(fù)現(xiàn)，而是根據(jù)研究的需要從某些方面對系統(tǒng)進(jìn)行簡化提煉的結(jié)果。這樣，使得該模型既可代表真實(shí)系統(tǒng)的基本特征，又能使仿真工作簡化和得以實(shí)現(xiàn)。</p><p>　　自動控制領(lǐng)域中，建立數(shù)學(xué)模型的方法有兩種，即機(jī)理法和實(shí)驗(yàn)法。實(shí)驗(yàn)法一般只用于建立輸入輸出模型，它是根據(jù)輸入和輸出的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)行相應(yīng)的處理和計算后得到系統(tǒng)的

46、模型。其主要特點(diǎn)為：把研究對象視為一個黑匣子，完全從外部特性上描述它的動態(tài)性能而不需要深入了解被控對象的內(nèi)部機(jī)理。實(shí)驗(yàn)法在工程技術(shù)上有很大的用途，它讓研究者省去了對于現(xiàn)實(shí)環(huán)境中復(fù)雜、惡劣被控對象的深入研究，從而讓建模過程簡單易行。但是，這也并不意味著對內(nèi)部過程一無所知。這里面包括輸入信號的設(shè)計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容[13]。機(jī)理建模就是在了解研究對象的運(yùn)動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部

47、的輸入－狀態(tài)關(guān)系。</p><p>　　就倒立擺系統(tǒng)而言，由于其本身是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，且具有非線性等特性，應(yīng)用實(shí)驗(yàn)法建模存在一定的困難。另一方面，經(jīng)過理想化的假設(shè)、忽略一些次要影響后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運(yùn)動的剛體系統(tǒng)，應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)相關(guān)理論可以方便的建立起數(shù)學(xué)模型。這就意味著，機(jī)理建模法對于倒立擺系統(tǒng)更加合適。下面就其中的牛頓－歐拉方法展開具體論述[14]。</p><p>　　忽略

48、空氣阻力和各種摩擦之后，可以將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖3所示。</p><p>　　圖3 直線一級倒立擺系統(tǒng)模型圖</p><p>　　在本設(shè)計中，主要應(yīng)用牛頓一歐拉法對直線一級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。</p><p><b>　　在圖3中設(shè)：</b></p><p>　　X為小車的位移，單

49、位(m)；</p><p>　　為擺桿與垂直方向的夾角，單位(rad)；</p><p>　　m為擺桿的質(zhì)量，單位(kg)；</p><p>　　M為小車的質(zhì)量，單位(kg)；</p><p>　　l為擺桿的轉(zhuǎn)動軸心到擺桿質(zhì)心的長度，單位m；</p><p>　　F為小車受到的作用力，單位(N)；</p>

50、<p>　　I為擺桿對重心的轉(zhuǎn)動慣量，單位()；</p><p>　　g為重力加速度，單位()；</p><p>　　b為小車受到的滑動摩擦系數(shù)，單位(N/m/s)；</p><p>　　首先，對小車進(jìn)行受力分析，如圖4所示。</p><p><b>　　圖4 小車受力圖</b></p>&l

51、t;p>　　其中，P和N為小車與擺桿之間相互作用力的垂直和水平方向上的分量。其余字母同圖3中的說明。</p><p>　　分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　其次，對擺桿進(jìn)行受力分析，擺桿的受力如圖5所示。</p><p>　　圖5

52、擺桿隔離受力圖</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p><b>　　即：</b></p><p><b>　　（2-3）</b></p><p>　　將等式代入上式中，可得系統(tǒng)的第一個運(yùn)動方程為：</p><p><b>

53、;　?。?-4）</b></p><p>　　對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可得方程為：</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p><b>　　即：</b></p><p><b>　?。?-6） </b></p><p

54、><b>　　力矩平衡方程為： </b></p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　由于，，，故等式前面有負(fù)號。</p><p>　　合并這兩個方程，約去P和N，可得第二個運(yùn)動方程為：</p><p><b>　?。?-8）</b></p&

55、gt;<p>　　設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè)無限趨近于零，則可以進(jìn)行近似處理：，，，用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運(yùn)動方程如下：</p><p><b>　?。?-9）</b></p><p>　　對上式做拉普拉斯變換，得：</p><p><b>　?。?-10）</b><

56、/p><p>　　推導(dǎo)傳遞函數(shù)時可假設(shè)初始條件為0。輸出為角度為Φ，求解方程組(2-10)的第一個方程，可以得到：</p><p><b>　?。?-11）</b></p><p>　　把式(2-11)代入方程組(2-10)的第二個方程，得：</p><p><b>　　（2-12）</b></p

57、><p>　　化簡整理后得傳遞函數(shù)為：</p><p><b>　?。?-13）</b></p><p>　　其中， （2-14）</p><p>　　由于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)式為：</p><p><b>　?。?-15）</

58、b></p><p>　　對，解代數(shù)方程，可得解如下：</p><p>　?。?-16） </p><

59、;p>　　式2-16為直線一級倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：</p><p><b>　?。?-17）</b></p><p><b>　?。?-18）</b></p><p>　　由此可見，一級倒立擺實(shí)際上是一個單輸人多輸出的系統(tǒng)。只要將直線一級

60、倒立擺的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)（，，，，，）代入上面兩式，得對應(yīng)系數(shù)矩陣為：</p><p>　　A=[0 1 0 0;0 -0.0883 0.6293 0;0 0 0 1;0 -0.2357 27.8285 0]； </p><p>　　B=[0;0.8832;0;2.3566]；</p><p>　　C=[1 0 0 0;0 0 1 0]；</p>

61、<p><b>　　D=[0;0]；</b></p><p>　　2.3 直線一級倒立擺系統(tǒng)分析</p><p>　　得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)的性質(zhì)，需要對系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，主要是針對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性的分析。在對時不變系統(tǒng)進(jìn)行定性分析時，就需要用到現(xiàn)代控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)、能觀性以及能控性判據(jù)[15]。</p>

62、<p>　　直線一級倒立擺系統(tǒng)的豎直向上位置是其不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，若要使直線一級倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個點(diǎn)上，則需要設(shè)計出方便可行的穩(wěn)定控制器。若要設(shè)計控制器穩(wěn)定系統(tǒng)，則必須要考慮系統(tǒng)的能控性。對于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)鄰域的穩(wěn)定性，則可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進(jìn)行分析。李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)常應(yīng)用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。</p><p>　　2.3.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析</p><p>　　所謂穩(wěn)定性，是指

63、如果系統(tǒng)由于受到擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動作用去除后，若系統(tǒng)能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡單也最常用的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)，然后觀察其中是否含有實(shí)部大于零的極點(diǎn)(不穩(wěn)定極點(diǎn))。如果所求極點(diǎn)均小于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。</p><p>　　調(diào)用MATLAB函數(shù)中的roots(den)或eig(A)，即可得出由傳遞函數(shù)描

64、述的系統(tǒng)或狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點(diǎn)，則這樣就可以由得出的極點(diǎn)位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。</p><p>　　將實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)代入MATLAB中，通過仿真計算得到傳遞函數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下： </p><p>　　m 擺桿質(zhì)量 0.109 Kg</p><p>　　M 小車質(zhì)量 1.09

65、6 Kg</p><p>　　l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.250m</p><p>　　b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/s</p><p>　　I 擺桿慣量 </p><p>　　g 重力加速度 </p&g

66、t;<p>　　在Matlab中，通過拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過計算并輸入分子和分母矩陣來實(shí)現(xiàn)。</p><p><b>　　仿真程序見下：</b></p><p>　　>> M = 1.096;</p><p>　　>> m = 0.109;</p><p>　　>

67、> b = 0.1;</p><p>　　>> I= 0.0034;</p><p>　　>> g = 9.8;</p><p>　　>> l = 0.25;</p><p>　　>> q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; %simplifies input<

68、/p><p>　　>> num = [m*l/q 0 0]</p><p>　　>> den = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0]</p><p>　　>> G=tf(num,den)</p><p>　　>> roots(den)&l

69、t;/p><p><b>　　結(jié)果如下：</b></p><p>　　執(zhí)行上面的文件，就可以求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項(xiàng)式的Matlab 表示。因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為：</p><p>　　系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為，，，。由于有一個開環(huán)極點(diǎn)位于S平面的右半部，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。</p><p>　　2.3.2 系統(tǒng)能控性分析

70、</p><p>　　能控性定義：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為：，其中，x、u分別為n、r維向量；A、B為滿足矩陣運(yùn)算的常值矩陣。若給定系統(tǒng)的一個初始狀態(tài)（可為0），如果在的有限時間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制使，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在時刻能控的；如果系統(tǒng)對任意一個初始狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或系統(tǒng)是能控的[16]。</p><p>　　線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，若，，系統(tǒng)狀

71、態(tài)方程的解為。</p><p>　　若系統(tǒng)是能控的，則存在容許控制，使得：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　滿足上式的初始狀態(tài)，必是能控狀態(tài)。&l

72、t;/p><p>　　下列命題中的任何一個成立，都可作為線性定常系統(tǒng)對于完全能控的充要條件。</p><p>　?。?）矩陣的秩為n，其中，稱為格蘭姆矩陣。</p><p>　?。?）若系統(tǒng)能控，則能控性矩陣滿秩。 即。</p><p>　?。?）矩陣的行線性獨(dú)立。</p><p>　　其中，矩陣稱為系統(tǒng)的能控變換矩陣，n

73、是系統(tǒng)的階次，矩陣可以由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的ctrb()函數(shù)自動產(chǎn)生出來。ctrb()函數(shù)的調(diào)用格式為：，通過該函數(shù)可以求出系統(tǒng)的能控矩陣：</p><p>　　矩陣的秩稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。如果，則系統(tǒng)完全能控。</p><p>　　2.3.3 系統(tǒng)可觀測性分析</p><p>　　若一個n維線性定常系統(tǒng)方程為：</p

74、><p>　　其中A、B、C、D分別為、、、常數(shù)矩陣。</p><p>　　如果在有限時間（可為0，）內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)與給出的u(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)的每一個分量，則稱此系統(tǒng)為完全可觀測的。若系統(tǒng)中至少有一個狀態(tài)變量是不可測的，則稱此系統(tǒng)為不完全可測的。</p><p>　　由能觀性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可觀測性取決于系統(tǒng)狀態(tài)方程的A矩陣和C矩陣，因此可以構(gòu)造系

75、統(tǒng)的能觀測性矩陣：</p><p>　　上式中的n為系統(tǒng)的階次。矩陣稱為系統(tǒng)的能觀測性矩陣，由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的obsv(A，C)函數(shù)可以將該矩陣自動的生成出來。obsv(A，C)函數(shù)的調(diào)用格式為：</p><p>　　同理，用obsv(A，C)函數(shù)可求出系統(tǒng)的能觀測矩陣：</p><p>　　矩陣的秩稱為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)，它的值表示系統(tǒng)中能觀測狀態(tài)的

76、數(shù)目。若，則說明系統(tǒng)是完全能觀測的。由式子</p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　我們可知，即矩陣滿秩，則系統(tǒng)可觀測的。</p><p>　　我們可以看出，一級倒立擺系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩均為4，所以系統(tǒng)是完全能控、完全能觀的。</p><p>　　綜上所述，可以得知直線一級倒立擺系

77、統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)但是卻能控能觀的。</p><p><b>　　2.4 本章小結(jié)</b></p><p>　　本章應(yīng)用牛頓一歐拉法建立了直線一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出了該系統(tǒng)的運(yùn)動方程，并求出了直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型以及空間狀態(tài)方程矩陣，并且分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性，最終得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定系統(tǒng)但是卻能控能觀的。</p&g

78、t;<p>　　第三章 直線一級倒立擺系統(tǒng)PID控制</p><p>　　3.1 PID控制算法</p><p>　　目前的自動控制技術(shù)大多基于反饋的概念。反饋理論的要素包括三個部分：測量、比較和執(zhí)行。測量關(guān)心的變量，與期望值相比較，用這個誤差糾正調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的響應(yīng)。</p><p>　　PID控制的基本思想是：通過測量輸出變量，與期望值相比較，用這

79、個誤差調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)。在實(shí)際工程中，應(yīng)用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制，簡稱PID控制，又稱PID調(diào)節(jié)。PID控制器問世至今已有近70多年的歷史，它以其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便等優(yōu)點(diǎn)而成為現(xiàn)代工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。當(dāng)被控對象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時，控制理論的其它技術(shù)難以采用時，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠現(xiàn)場調(diào)試和工程師的經(jīng)驗(yàn)來確定[17] 。</p><p

80、>　　PID控制系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)框圖如圖6所示。</p><p>　　圖6 典型PID校正器的結(jié)構(gòu)框圖</p><p>　　3.2 直線一級倒立擺PID控制器設(shè)計</p><p>　　在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制規(guī)律是PID控制。常規(guī)PID控制系統(tǒng)原理框圖如圖7所示。系統(tǒng)由模擬PID控制器KD(S)和被控對象G(S)組成。</p><

81、p>　　圖7 常規(guī)PID控制系統(tǒng)圖</p><p>　　PID控制器是作為一種線性控制器，它是根據(jù)給定值與實(shí)際輸出值構(gòu)成控制偏差：</p><p>　　將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過線性組合構(gòu)成控制量，來對被控對象進(jìn)行控制，故稱為PID控制器。其控制規(guī)律為：</p><p>　　或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式：</p><p>

82、　　式中：——比例系數(shù)；——積分時間常數(shù)；——微分時間常數(shù)。</p><p>　　在控制系統(tǒng)設(shè)計和仿真中，也常將傳遞函數(shù)寫成：</p><p>　　式中：——比例系數(shù)；——積分系數(shù)；——微分系數(shù)。</p><p>　　PID控制器中的三個參數(shù)對系統(tǒng)控制品質(zhì)方面的影響：</p><p>　?。?）比例調(diào)節(jié)(P) 比例調(diào)節(jié)(P)比例系數(shù)的大小決

83、定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)的快慢程度。越大，系統(tǒng)的快速性越好，但過大會導(dǎo)致系統(tǒng)靜態(tài)偏差增大。</p><p>　?。?）積分調(diào)節(jié)(I) 積分作用可消除余差，積分常數(shù)的大小決定了積分作用程度的強(qiáng)弱。越大其靜態(tài)誤差越小，但過大會產(chǎn)生振蕩，導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。因此，要恰當(dāng)?shù)倪x擇積分常數(shù)大小。</p><p>　?。?）微分調(diào)節(jié)(D) 可以消除振蕩，提高快速性，當(dāng)偏差瞬間的波動較快時，微分調(diào)節(jié)器則會

84、立刻產(chǎn)生響應(yīng)來抑制偏差的變化，從而使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，而且系統(tǒng)的動態(tài)性能也得到了改善。但微分系數(shù)過大會引起靜態(tài)誤差[18]。</p><p>　　直線一級倒立擺控制問題和我們以前遇到的標(biāo)準(zhǔn)控制問題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應(yīng)。系統(tǒng)框圖如圖8所示。</p><p>　　圖8 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖</p>

85、<p>　　圖中是控制器傳遞函數(shù)，是被控對象傳遞函數(shù)。</p><p>　　考慮到輸入，結(jié)構(gòu)圖可以很容易地變換成圖9所示。</p><p>　　圖9 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)簡化圖</p><p><b>　　該系統(tǒng)的輸出為：</b></p><p>　　其中：——被控對象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)；</p>

86、;<p>　　——被控對象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)；</p><p>　　——PID控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)；</p><p>　　——PID控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)；</p><p>　　通過分析上式就可以得到系統(tǒng)的各項(xiàng)性能。</p><p>　　PID控制器的傳遞函數(shù)為：</p><p>　　只需調(diào)節(jié)PID控制

87、器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。通過選擇不同的PID參數(shù)對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真。</p><p>　　在Simulink中建立直線一級倒立擺的仿真模型如圖10所示。</p><p>　　圖 10 直線一級倒立擺的PID控制仿真模型</p><p>　　其中PID Controller 為封裝（Mask）后的PID 控制器，雙擊該模塊打開參數(shù)設(shè)置界面，如圖11所

88、示。</p><p>　　圖 11 PID參數(shù)設(shè)置界面</p><p>　　先設(shè)置PID控制器的一組參數(shù)，取Kp=1，Ki=1，Kd=1，得到圖12仿真結(jié)果。</p><p>　　圖 12 PID控制仿真結(jié)果圖（Kp=1，Ki=1，Kd=1）</p><p>　　從圖12中可以看出，此時的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，要想得到穩(wěn)定的系統(tǒng)，可以加大比

89、例反饋系數(shù)Kp，取Kp=100，Ki=1，Kd=1，得到仿真結(jié)果如圖13所示。</p><p>　　圖 13 PID控制仿真結(jié)果圖（Kp=100，Ki=1，Kd=1）</p><p>　　從圖13中可以看出，此時閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，但響應(yīng)速度還不夠快，且振蕩次數(shù)較多，超調(diào)量也比較大。因此增加微分控制參數(shù)Kd，取Kp=100，Ki=1，Kd=10，得到仿真結(jié)果如圖14所示。</p

90、><p>　　圖14 PID控制仿真結(jié)果圖（Kp=100，Ki=1，Kd=10）</p><p>　　從圖14中可以看出，此時的穩(wěn)態(tài)性能相對較理想，但還不夠平滑。因此再增加微分控制參數(shù)Kd，取：Kp=100，Ki=1，Kd=20。</p><p>　　仿真得到圖15結(jié)果：</p><p>　　圖15 PID控制（Kp=100，Ki=1，Kd=

91、20）</p><p>　　從圖15可以看出，此時的穩(wěn)態(tài)性能比較理想。</p><p>　　雙擊“Scope1”，得到小車的位置輸出曲線如圖16所示。</p><p>　　圖 16 PID控制（小車位置曲線）</p><p>　　由上圖可以看出，由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，因此小車會往一

92、個方向運(yùn)動。</p><p>　　3.3 直線一級倒立擺的PID控制器仿真</p><p>　　PID控制器設(shè)計完成以后，進(jìn)行直線一級倒立擺的PID控制器Simulink仿真。</p><p><b>　　實(shí)驗(yàn)步驟：</b></p><p>　?。?）打開直線一級倒立擺PID控制界面如圖17所示：（進(jìn)入MATLAB Si

93、mulink實(shí)時控制工具箱“Googol Education Products”打開“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ PID Experiments”中的“PID Control Demo”） </p><p>　　圖17 直線一級倒立擺PID 實(shí)時控制界面</p><p>

94、　　（2）雙擊“PID”模塊進(jìn)入PID 參數(shù)設(shè)置，如圖18所示，把仿真得到的參數(shù)輸入PID控制器，點(diǎn)擊“OK”保存參數(shù)。</p><p>　　圖18 參數(shù)設(shè)計調(diào)整</p><p>　　(3) 點(diǎn)擊編譯程序，完成后點(diǎn)擊使計算機(jī)和倒立擺建立連接。</p><p>　　(4) 點(diǎn)擊運(yùn)行程序，檢查電機(jī)是否上伺服。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，待進(jìn)入自動控制程序后

95、松開擺桿，當(dāng)小車即將運(yùn)動到兩端限位的位置時，可用其他物體擋一下擺桿，使小車向另一端運(yùn)動。 </p><p>　　(5) 仿真結(jié)果如圖19所示。</p><p>　　圖 19 PID 控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果1 </p><p>　　從圖19中可以得出，倒立擺系統(tǒng)可以較好的實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性，擺桿的角度控制在3.13（弧度）左右，但對小車位置的控制卻沒有明顯效果，小車會沿著滑桿稍微的

96、移動。在施加一定干擾的情況下，小車位置和擺桿角度的變化曲線如圖20所示。</p><p>　　圖20 PID 控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果2（施加干擾）</p><p>　　可以看出，該系統(tǒng)對于來自外界的干擾有較好的抵抗作用。待干擾停止作用后，系統(tǒng)能很快的回到原平衡位置。倒立擺的擺角幅度在0.05弧度左右，倒立擺的位置隨著時間的推移而大致呈線性變化，這說明所設(shè)計的PID控制器對倒立擺的擺角控制性能較佳，

97、但卻無法實(shí)現(xiàn)對倒立擺位置的控制。</p><p>　　利用PID控制方法可以滿足系統(tǒng)對擺角的控制，而小車卻以恒定的速度向相反的方向滑動，即PID控制方法不能對小車的位置進(jìn)行控制，最終系統(tǒng)還是不能平衡。其原因在于傳統(tǒng)的PID控制方式(建立在傳遞函數(shù)上)只適應(yīng)于單輸入單輸出系統(tǒng)，而要使實(shí)際倒立擺系統(tǒng)得到控制，即既要使擺桿直立，又能使小車達(dá)到指定的位置，并且在整個過程中，桿不能倒下，則必須采用其它的控制方法。</

98、p><p><b>　　3.4 本章小結(jié)</b></p><p>　　本章介紹了常規(guī)PID控制方法，并分別設(shè)計了控制器，用simulink分別實(shí)現(xiàn)了建立在傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程上的PID控制系統(tǒng)地仿真，得到了直線一級倒立擺各狀態(tài)變量及控制量的響應(yīng)曲線，通過仿真說明了后一種控制器的有效性。</p><p>　　第四章 直線一級倒立擺系統(tǒng)LQR控制<

99、;/p><p>　　4.1 線性二次最優(yōu)控制算法</p><p>　　LQR (linear quadratic regulator)即線性二次型調(diào)節(jié)器，在現(xiàn)代控制理論中占有相當(dāng)重要的地位，在控制領(lǐng)域受到一定的重視。其對象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目標(biāo)函數(shù)為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。LQR最優(yōu)設(shè)計是指設(shè)計出的狀態(tài)反饋控制器K要使二次型目標(biāo)函數(shù)J 取最小值，而 K由權(quán)

100、矩陣Q 與 R 唯一決定，故此 Q、 R 的選擇尤為重要。LQR理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計法。特別可貴的是，是易于分析、處理和計算，而且通過LQR控制發(fā)的到的倒立擺系統(tǒng)具有較好的魯棒性與動態(tài)特性，同時能夠得到現(xiàn)行反饋結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。而且 Matlab 的應(yīng)用為LQR 理論仿真提供了條件，更為我們實(shí)現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了保障[19]。</p><p>　　LQR最

101、優(yōu)控制利用廉價成本可以使原系統(tǒng)達(dá)到較好的性能指標(biāo)(事實(shí)也可以對不穩(wěn)定的系統(tǒng)進(jìn)行整定)，而且方法簡單便于實(shí)現(xiàn)，同時利用 Matlab 強(qiáng)大的功能體系容易對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)仿真。線性二次型最優(yōu)控制研究的系統(tǒng)是線性的或是可線性化的，并且性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分。它的解很容易獲得，并且可以達(dá)到很好的控制效果，因此在工程上有著廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　線性二次型最優(yōu)控制問題：即在線性系統(tǒng)的控制器的設(shè)計

102、中，將控制變量和狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題。線性二次型問題的最優(yōu)解一般寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)多項(xiàng)性能指標(biāo)而且也可以采用狀態(tài)線性反饋控制律以構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)。</p><p>　　最優(yōu)控制理論的核心主要是：通過對性能指標(biāo)的優(yōu)化以尋找可以使目標(biāo)極小的控制器。求解Riccati方程得到控制器最佳參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)線性二次型性能指標(biāo)，并且隨著現(xiàn)代計算機(jī)科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，求解過程也大大的簡

103、化了[20]。</p><p>　　最優(yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖21所示。</p><p>　　圖21 LQR控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖</p><p>　　其中，為小車的位移和擺桿的角度在倒立擺系統(tǒng)的輸出，R是作用在小車上的階躍輸入。</p><p>　　由理論分析知，可以設(shè)計基于最優(yōu)控制的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。</p><p&g

104、t;<b>　　系統(tǒng)狀態(tài)方程為：</b></p><p><b>　　(4-1)</b></p><p>　　確定下列最優(yōu)控制向量的矩陣K：</p><p><b>　　(4-2)</b></p><p><b>　　使性能指標(biāo)：</b></p>

105、;<p><b>　　(4-3)</b></p><p><b>　　達(dá)到最小值。</b></p><p>　　即需確定最佳反饋矩陣K，使得對任意初始狀態(tài)而言均是最佳的。式中Q—為正定或正半定矩陣；R—為正定矩陣。</p><p>　　對Riccalia 方程：</p><p><

106、;b>　　(4-4)</b></p><p>　　求解，可以得到矩陣P，進(jìn)而得到。</p><p>　　矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對重要性，并且假設(shè)控制向量是無約束的。對于不同的Q和R 陣的選擇，可以得到一系列不同的，故需要分析研究狀態(tài)變量的加權(quán)陣Q 和輸入量的加權(quán)陣R 對系統(tǒng)性能的影響[21]。</p><p>　　如上所述，線性二次最優(yōu)

107、控制規(guī)律是最優(yōu)控制規(guī)律。因此，如果能夠確定反饋矩陣K的未知元素，使得性能指標(biāo)達(dá)到最小，則對任意的初始狀態(tài)x(0)來說都是最優(yōu)的。</p><p>　　對于狀態(tài)方程已經(jīng)知道的系統(tǒng)，利用Matlab的LQR函數(shù)可以很方便的求解反饋矩陣K，具體方法為如下。</p><p><b>　　對于線性系統(tǒng)：</b></p><p><b>　　(4

108、-5)</b></p><p>　　根據(jù)期望性能指標(biāo)選取Q和R，利用：</p><p>　　K = lqr(A,B,Q,R) (4-6)</p><p><b>　　即可以得到K的值。</b></p><p>　　改變矩陣Q的值

109、，可以得到不同的K值，進(jìn)而可以得到不同的控制效果。</p><p>　　4.2 直線一級倒立擺的LQR控制器設(shè)計</p><p>　　假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)，則可通過計算來確定反饋控制規(guī)律的K向量。我們可在Matlab中，通過仿真計算得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的K向量。LQR函數(shù)中的兩個重要矩陣——R和Q，Q 和R 矩陣這兩個參數(shù)是用來平衡系統(tǒng)對狀態(tài)量和輸入量的權(quán)重。加權(quán)陣R 取不同的值將有不同的

110、跟蹤的輸出，通常情況下是假設(shè)R=1，。當(dāng)然，也可以通過改變Q矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。</p><p><b>　　(4-6)</b></p><p>　　其中，代表小車位置的權(quán)重，而代表擺桿角度的權(quán)重，輸入的加權(quán)陣R為1。</p><p>　　MATLAB中求矩陣K的仿真程序如下： </p><p>

111、;<b>　　>>clc;</b></p><p>　　>>A=[0 1 0 0;0 -0.0883 0.6293 0;0 0 0 1;0 -0.2357 27.8285 0]</p><p>　　>> B=[0;0.8832;0;2.3566]</p><p>　　>>=5000; =100;&

112、lt;/p><p>　　>>Q=[ 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0;0 0 0 0];</p><p><b>　　>>R = 1;</b></p><p>　　>>K = lqr(A,B,Q,R)</p><p>　　令=5000，=100，求得矩陣K的值，得矩陣</p&

113、gt;<p>　　K =[ -70.7107 -40.6533 125.7715 24.3772]。 </p><p>　　4.3 直線一級倒立擺的LQR控制器仿真</p><p>　　直線一級倒立擺LQR 控制實(shí)時控制仿真模型如圖22所示。</p><p>　　圖 22 直線一級倒立擺LQR 控制實(shí)時控制仿真模型</p>&l

114、t;p>　　配置參數(shù)如圖23所示。</p><p>　　圖 23 直線一級倒立擺LQR 控制參數(shù)配置</p><p>　　在沒有受到擾動的情況下，倒立擺的位置、擺角與時間之間的變化曲線如圖24所示。</p><p>　　圖24 直線一級倒立擺LQR 控制實(shí)時控制結(jié)果</p><p>　　系統(tǒng)保持平衡，幾乎不產(chǎn)生振動。LQR對于倒立

115、擺位置與角度的控制均達(dá)到了較好的控制性能。但LQR控制器的魯棒性及抗干擾性能不強(qiáng)，而且LQR控制器是通過對系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化后再運(yùn)用的一種控制方法，因此對于初始角度偏離設(shè)定點(diǎn)較大時，這種控制方法的效果明顯變差，特別在外界擾動較大時，可能失去控制作用。</p><p>　　隨后又分別將和改大或減小，發(fā)現(xiàn)當(dāng)、比值一定時，取大的值時系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，但是超調(diào)加大；反之則響應(yīng)變慢但超調(diào)減小。將參數(shù)加大時，擺子起擺后到達(dá)

116、平衡所需時間更短，但左右位移更大一點(diǎn)，穩(wěn)定后的擺角震蕩更小一點(diǎn)。這是因?yàn)镼是誤差的權(quán)矩陣，Q增大表明指標(biāo)更看重誤差，于是會用相對大的能量來使靜態(tài)誤差更快的減小，于是過渡時間變小，超調(diào)變大，穩(wěn)態(tài)誤差變小。</p><p>　　由此說明通過合理地選擇輸入量，建立了一種基于加速度控制的倒立擺數(shù)學(xué)模型。模型的正確性不但在理論上通過Matlab仿真，而且在實(shí)際實(shí)驗(yàn)設(shè)備上得到了證明。在巧妙的選擇Q及R陣的基礎(chǔ)上得到的LQR控