數(shù)值分析課程設計報告書

1、<p>　　數(shù)值分析課程設計報告書</p><p>　　實驗一 三次樣條插值的三彎矩法 </p><p><b>　　一、實驗內容</b></p><p>　　1.用三次樣條插值的三彎矩法,編制第一與第二種邊界條件的程序.</p><p><b>　　已知數(shù)據如下：</b></p&

2、gt;<p>　　求的三次樣條插值函數(shù)滿足：</p><p><b>　　(1)自然邊界條件</b></p><p>　　(2)第一種邊界條件</p><p>　　要求輸出用追趕法解出的彎矩向量(,,,)及(i=0,1,2,3,4,5,6,7,8)的值.并畫出的圖形.</p><p><b>　　

3、二、實驗原理</b></p><p>　　在計算過程中，因為三次樣條插值的函數(shù)是三次的，對它求二階導數(shù)就得到一個線性函數(shù)，因此只要知道的值，及知道彎距量，就可以表示出，對進行兩次積分就得到的表達式。</p><p>　　1。若給出的是第一類邊界條件，及給出的是端點出的一階導數(shù)。則根據下列公式利用追趕法可解出。</p><p><b>　　用，其

4、中</b></p><p>　　2．若給出的是自然邊界條件，則 ， 根據下列公式利用追趕法求出。</p><p><b>　　二、實驗結果</b></p><p>　　1．給出自然邊界條件:</p><p>　　用追趕法求得的彎矩量為:</p><p><b>　　M0=

5、0</b></p><p>　　M1=-1.4513</p><p>　　M2=-0.67057</p><p>　　M3=-3.0127</p><p><b>　　M4=0</b></p><p>　　要計算的九個節(jié)點處的值為: </p><p><b

6、>　　ans=</b></p><p>　　[ 0.9798652, 0.9541227, 0.9177710, 0.8721112, 0.8080348, 0.7308539, 0.6386093, 0.5114914, 0.3843735] </p><p>　　2．給出第一種邊界條件</p><p>　　用追趕法求得的彎矩量為:</p&

7、gt;<p>　　M0=-7.4996</p><p>　　M1=-0.39631</p><p><b>　　M2=1.9385</b></p><p>　　M3=-16.3111</p><p>　　M4=50.5844</p><p>　　要計算的九個節(jié)點出的值為: </

8、p><p><b>　　Ans=</b></p><p>　　[ 0.9798652, 0.9685578, 0.9177710, 0.8590474, 0.8080348, 0.7592536, 0.6386093, 0.4258082, 0.3843735]</p><p>　　實驗二 最小二乘法的曲線擬合</p><p&

9、gt;<b>　　一、實驗內容</b></p><p>　　2.編制以離散點的正交多項式為基的最小二乘擬合程序,并用于對下列數(shù)據做三次多項式最小二乘擬合.</p><p>　　取權1,求出擬合曲線,輸出,,及平方誤差,并畫出的圖形.</p><p><b>　　二、實驗原理</b></p><p>

10、　　對于給定的數(shù)據，選取線性無關的函數(shù)族，以及權函數(shù)，求一個函數(shù)使得在給定點的函數(shù)值與給定點的值誤差最小。系數(shù)及為所求解的系數(shù).用正交多項式擬合時，用施密特正交化法選取一組正交函數(shù)族用同樣的方法進行擬合。</p><p><b>　　三、實驗結果</b></p><p><b>　　1.用擬合</b></p><p>　　

11、平方誤差:2.1762e-005</p><p>　　參數(shù):1.9991 -2.9977 -3.9683e-005 0.54912</p><p>　　2.用正交多項式擬合</p><p>　　平方誤差:2.1762e-005</p><p>　　參數(shù):1.9991 -2.9977 -3.9683e-005

12、 0.54912</p><p>　　三項遞推公式的系數(shù)為:</p><p>　　P1= 0 1.00000000000000 0.75000000000000 P1= 0.50000000000000 0.50000000000000 0.50000000000000

13、 </p><p>　　P3=0.05057142857143 2.00007142857143 0.00100000000000 1.99911111111111</p><p><b>　　. </b></p><p>　　實驗三 用龍貝格5點高斯及復化3點高斯求積分值</p><p><b>　

14、　一、實驗內容</b></p><p><b>　　3.給出積分</b></p><p><b>　　①, ②, ③</b></p><p>　　(1)運用龍貝格求積公式計算上述積分I的值,要求到時結束,輸出T表及I的近似值.</p><p>　　(2)用5點高斯求積公式及復化3點高斯求

15、積公式計算上述積分,并輸出I的近似值.</p><p>　　(3)分析比較各種計算結果.</p><p><b>　　二、實驗原理</b></p><p>　　1.Romberg求積算法的計算過程。</p><p>　?。?）取，求，令記k為區(qū)間 的二分次數(shù)。</p><p>　?。?）.按公式求

16、梯形值，及計算，</p><p>　?。?）.求加速值。及求</p><p>　?。?）.若，則在終止計算，并；否則令轉2繼續(xù)計算。</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　， </b></p><p>　　2.Gauss五點求積算法的計算過程&

17、lt;/p><p>　　運用Gauss_Legendre求積公式。以Legendre多項式的零點為高斯點計算。</p><p>　　，其中的可用已知表中給出的數(shù)據直接帶入公式求解。對于任意區(qū)間上的Guass公式，可以作變量置換</p><p>　　將任意區(qū)間化為區(qū)間。則有</p><p>　　3.對于復化的Gauss三點，將區(qū)間等分，在每一個小區(qū)

18、間上用Gauss三點求積公式。Gauss三點與Gauss五點同理。</p><p><b>　　三、實驗結果</b></p><p><b>　　1.第一個積分過程</b></p><p><b>　　用龍貝格法求積分</b></p><p>　　T =Columns 1 th

19、rough 3</p><p>　　0.07326255555494 0 0</p><p>　　0.40451071894891 0.51492677341357 0</p><p>　　0.41817958499048 0.42273587367100

20、 0.41658981368816</p><p>　　0.42158203719810 0.42271618793398 0.42271487555151</p><p>　　0.42243897582396 0.42272462203258 0.42272518430582</p><p>　　0.42265351726695 0.4227

21、2503108128 0.42272505835119</p><p>　　Columns 4 through 6 </p><p>　　0 0 0</p><p>　　0 0 0</p><p>　　0

22、 0 0</p><p>　　0.42281209875569 0 0</p><p>　　0.42272534793684 0.42272500773755 0</p><p>　　0.422

23、72505635191 0.42272505520844 0.42272505525485</p><p>　　用龍貝格法求積分：I =0.42272505525485</p><p>　　用五點Gauss求積分: G5 = 0.42272077520260</p><p>　　用復化三點Gauss求積法: G3 =0.42272505602872</

24、p><p><b>　　2.第二個積分過程</b></p><p><b>　　用龍貝格法求積分:</b></p><p>　　T =Columns 1 through 3 </p><p>　　-0.39269908169872 0

25、0</p><p>　　-0.35901082642043 -0.34778140799434 0</p><p>　　-0.34975833397528 -0.34667416982689 -0.34660035394906</p><p>　　-0.34737498886669 -0.34658054049715 -0

26、.34657429854184</p><p>　　-0.34677427522895 -0.34657403734971 -0.34657360380655</p><p>　　Columns 4 through 5 </p><p>　　0 0</p><p>　　0

27、 0</p><p>　　0 0</p><p>　　-0.34657388496395 0</p><p>　　-0.34657359277900 -0.34657359163318</p><p>　　用龍貝格法求積分I =-0.34657359163318</p

28、><p>　　用五點Gauss求積分: G5 = -0.34657373704616</p><p>　　用復化三點Gauss求積法: G3 =-0.34657359022305</p><p><b>　　3．第三個積分過程</b></p><p><b>　　用龍貝格法求積分:</b></p&

29、gt;<p>　　T= Columns 1 through 3 </p><p>　　0.22916666666667 0 0</p><p>　　0.20982142857143 0.20337301587302 0</p><p>　　0.20

30、454441391941 0.20278540903541 0.20274623524624</p><p>　　0.20318824967775 0.20273619493053 0.20273291399021</p><p>　　0.20284665344961 0.20273278804022 0.20273256091420</p><

31、p>　　Columns 4 through 5 </p><p>　　0 0</p><p>　　0 0</p><p>　　0 0</p><p>　　0.20273270254170 0</p

32、><p>　　0.20273255530982 0.20273255473244</p><p>　　用龍貝格法求積分：I =0.20273255473244</p><p>　　用五點Gauss求積分: G5 =0.20273264180051</p><p>　　用復化三點Gauss求積法: G3 = 0.20273255402523&l

33、t;/p><p>　　實驗四 比較一階導數(shù)的數(shù)值方法</p><p><b>　　一、實驗內容</b></p><p>　　4.比較求一階導數(shù)的數(shù)值方法,給出函數(shù).利用某距離點函數(shù)值,必要時給定端點導數(shù)值,分別用中心差分,理查森外推計算的一階導數(shù),分析,比較各種方法的效果,說明精度與步長h的關系。</p><p><

34、b>　　二、實驗原理</b></p><p>　　1．中心差分式利用中點公式求得導數(shù)的近似值，2。理查森外推法式利用中點公式計算導數(shù)時，，然后利用理查森外推法，對逐次二分，記，則有。</p><p><b>　　三、實驗結果</b></p><p>　　所取的求導點：x = 0.5000 0.8000 1.1000

35、 1.4000 1.7000 2.0000</p><p>　　準確解為：y =-29.5562 -5.4537 -2.0513 -1.0422 -0.6231 -0.4122</p><p>　　理查森求導:y=-29.5562 -5.4537 -2.0513 -1.0422 -0.6231 -0.4122</p><p&

36、gt;<b>　　中心差分求導:</b></p><p><b>　　h =0.0200</b></p><p>　　y = -29.5562 -5.4622 -2.0527 -1.0426 -0.6233 -0.4122</p><p><b>　　h =0.0100</b>&l

37、t;/p><p>　　y = -29.5562 -5.4558 -2.0516 -1.0423 -0.6232 -0.4122</p><p>　　h = 0.0050</p><p>　　y = -29.5562 -5.4542 -2.0514 -1.0422 -0.6231 -0.4122</p><p&g

38、t;<b>　　四、實驗結果分析</b></p><p>　　從以上數(shù)據可以看出來，理查森外推求導的精確度相當?shù)母摺τ谥行牟罘智髮Х?。取不同的步長，解的精確度不一樣，可以看出來，步長越小精度越高。這是因為，時，用這個公式求得的解就等于真實值。所以步長越小，精度越高。</p><p>　　實驗五 高斯列主元消去法和LU分解求方程組的解</p><

39、p><b>　　一、實驗內容</b></p><p><b>　　5. 給定方程組</b></p><p><b>　　1 2.</b></p><p>　　用LU分解和列主元高斯消去法求解上述兩個方程組,輸出Ax=b中矩陣A及向量,分解的與,及解向量.</p><p>

40、　　(1) 用LU分結合列主元高斯消去法求解上述兩個方程組.輸出Ax=b中矩陣A及向量b，A=LU分解的L,U,detA及解向量x.</p><p>　　(2) 將方程組①中系數(shù)3.01改為3.00，0.987改為0.990.用列主元高斯消去法求解，輸出列主元行交換次序、解向量x及detA，并與(1)中結果比較.</p><p>　　將方程組②中的2.099999改為2.1，5.90000

41、1改為5.9.用列主元高斯消去法求</p><p>　　解，輸出解向量x及detA，并與(1)中結果比較.</p><p><b>　　二 實驗原理</b></p><p>　　1．高斯列主元消去法求解方程的解</p><p>　　高斯列主元消去法首先在增廣矩陣的第一列個元素中選取絕對值最大的值一個作為主元素，并把此元素

42、所在的行與第一行進行交換，然后通過初等行變換把第一列后的個元素消為0，得到增廣矩陣；其次，在矩陣的第二列后個與元素中選取絕對值最大的一個作為主元素，并把它所在的行與第二行元素進行交換，然后通過初等行變換把第二行后的個元素消為0，得到增廣矩陣，按此方法做下去，只要，消元過程就能進行到底，最后得到一個與原方程同解的上三角方程組，最后回代求解。</p><p>　　2.LU分解求方程組的解</p><

43、;p>　　LU分解法是將非奇異矩陣A分解為其中為單位下三角矩陣，為下三角矩陣。求出的第一行，再求出的第一列，求出的第二行，再求出的第二列，這樣依次進行下去，求出的各個元素。則方程組就變成，求解的前推公式，解出的值，然后再求解的回代過程，解出。</p><p><b>　　三 實驗結果</b></p><p><b>　　1.求解方程組一</b&g

44、t;</p><p>　?。?）高斯列主元消去法解方程組</p><p>　　x = 1.0e+003 *</p><p>　　1.59259962484138</p><p>　　-0.63191137620255</p><p>　　-0.49361772475939</p><p>　?。?/p>

45、2）用LU分解法解方程組</p><p>　　L =1.00000000000000 0 0</p><p>　　0.42192691029900 1.00000000000000 0</p><p>　　0.32790697674419 -4.20061

46、889585689 1.00000000000000</p><p>　　U =3.01000000000000 6.03000000000000 1.99000000000000</p><p>　　0 1.61578073089701 -2.06963455149502</p><p>　　0 0

47、 -0.00628088824920</p><p>　　det(A)=-0.03054710000000</p><p>　　用LU分解求解方程的解為:</p><p>　　X =1.0e+003 *</p><p>　　1.59259962484138</p><p>　　-0.63191137620255<

48、/p><p>　　-0.49361772475939</p><p><b>　　2.求解方程組二</b></p><p>　　（1）高斯列主元消去法解方程組</p><p>　　X =0.00000000000000</p><p>　　-1.00000000000000</p>&l

49、t;p>　　1.00000000000000</p><p>　　1.00000000000000</p><p>　?。?）用LU分解法解方程組</p><p>　　L =1.0e+006 *</p><p>　　Columns 1 through 3 </p><p>　　0.00000100000000

50、 0 0</p><p>　　-0.00000030000000 0.00000100000000 0</p><p>　　0.00000050000000 -2.49999999965056 0.00000100000000</p><p>　　0.0000

51、0020000000 -2.39999999966453 0.00000095999968</p><p><b>　　Column 4 </b></p><p><b>　　0</b></p><p><b>　　0</b></p><p><b>　　0&l

52、t;/b></p><p>　　0.00000100000000</p><p>　　U =1.0e+007 *</p><p>　　Columns 1 through 3 </p><p>　　0.00000100000000 -0.00000070000000 0</p><p

53、>　　0 -0.00000000000010 0.00000060000000</p><p>　　0 0 1.50000049979033</p><p>　　0 0 0</p><p><b>　　Column 4 </b>

54、</p><p>　　0.00000010000000</p><p>　　0.00000023000000</p><p>　　0.57499984991963</p><p>　　0.00000050799989</p><p>　　det(A)= -7.620000900000001e+002</p>

55、<p>　　用LU分解求解方程的解為:</p><p>　　X =-0.00000000060339</p><p>　　-1.00000000088818</p><p>　　1.00000000007028</p><p>　　0.99999999981667</p><p>　　3.對方稱組的元素進

56、行修改后所的到的解</p><p>　　（1）對方程一的元素進行修改后的系數(shù)及所求的解X為</p><p>　　x =1.0e+002 *</p><p>　　1.19527338125959</p><p>　　-0.47142604431296</p><p>　　-0.36840256109126</p&g

57、t;<p>　?。?）對方程二的元素進行修改后的系數(shù)及所求的解X為</p><p>　　x =0.00000000000000</p><p>　　-1.00000000000000</p><p>　　1.00000000000000</p><p>　　1.00000000000000</p><p>

58、;<b>　　四、實驗結果分析</b></p><p>　　從實驗結果3中的結果可以看出，對方程組一，與方程組二的部分元素進行修改后，方程組一的結果變化比較明顯，而方程組二的解變化不大。</p><p><b>　　誤差分析：</b></p><p>　　對于方程組，我們知道右端項和系數(shù)矩陣的擾動對方程解的影響與矩陣的條件

59、數(shù)有關，方程組一的 為 5.675080428255772e+004，而方程組二的為12.40157333839685，可以看出來方程組一的條件數(shù)是方程組二的條件數(shù)的4000多倍，因而方程組一的擾動比方程組二的解的擾動要大很多。 </p><p>　　實驗六 研究線性代數(shù)方程組的迭代法收斂速度</p><p><b>　　一、實驗內容</b></p>

60、<p>　　6. 研究解線性方程方程組迭代法收斂速度,給定為五對角矩陣</p><p>　　(1)選取不同的初始向量及右端項向量,給定迭代誤差要求,用雅可比迭代和 法求解,觀察得到的序列是否收斂？若收斂,記錄迭代次數(shù),分析計算結果并得出你的結論.</p><p>　　(2)用迭代法求上述方程組的解,松弛系數(shù)取1<<2的不同值,在時停止迭代.記錄迭代次數(shù),分析計算結

61、果并得出你的結論.</p><p><b>　　二、實驗原理</b></p><p>　　1Jacobi迭代原理是從方程組的第個方程中分離出來若，則將它改寫為的迭代形式，若給定一組初值，則可以帶入迭代公式進行迭代求解，直到它的精度滿足要求為止。</p><p>　　2．Gauss—Seidel迭代與雅克比迭代同理，只是迭代過程中若求出了某個變元

62、的新值，則用新值代替它的老值，進行這一步剩下的計算。從而較快收斂。</p><p>　　3．SOR方法，實質上是Gauss-Seidel迭代的一種加速方法，這種方法將前一步的結果與后一步的結果適當?shù)募訖嗥骄谕牡礁玫慕浦?。然后再帶入公式進行下一次迭代。</p><p><b>　　三、實驗結果</b></p><p>　　Jacobbi

63、迭代次數(shù)為:10</p><p><b>　　迭代求得的解為;</b></p><p>　　ans =0.1934 0.2103 0.2200 0.2215 0.2221 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.222

64、2 0.2221 0.2215 0.2200 0.2103 0.1934</p><p>　　Gauss_seidel迭代次數(shù)為:8</p><p><b>　　迭代求得的解為;</b></p><p>　　ans =0.1934 0.2103 0.2200 0.2215 0.2221 0.2

65、222 0.2222 </p><p>　　0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222</p><p>　　0.2222 0.2221 0.2215 0.2200 0.2103 0.1934</p><p>　　SOR松弛系數(shù)為:1；迭代次數(shù)為:8&

66、lt;/p><p><b>　　迭代求得的解為：</b></p><p>　　ans=0.1934 0.2103 0.2200 0.2215 0.2221 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 </p

67、><p>　　0.2222 0.2221 0.2215 0.2200 0.2103 0.1934</p><p>　　SOR松弛系數(shù)為:1.2； 迭代次數(shù)為:10</p><p><b>　　迭代求得的解為：</b></p><p>　　ans = 0.1934 0.2103 0.2200

68、 0.2215 0.2221 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2221 0.2215 0.2200 0.2103 0.1934</p><p>　　SOR松弛系數(shù)為:1.4； 迭代次數(shù)為:16</p>

69、<p><b>　　迭代求得的解為：</b></p><p>　　ans = 0.1934 0.2103 0.2200 0.2215 0.2221 0.2222 0.2222 </p><p>　　0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222

70、 </p><p>　　0.2222 0.2221 0.2215 0.2200 0.2103 0.1934</p><p>　　SOR松弛系數(shù)為:1.6 ；迭代次數(shù)為:28</p><p>　　SOR松弛系數(shù)為:1.8； 迭代次數(shù)為:64</p><p><b>　　四、實驗結果分析</b>&l

71、t;/p><p>　　從上面的數(shù)據可以看出來Gauss_seidel迭代比Jacobbi迭代的迭代次數(shù)更少，而對于SOR迭代過程不同的松弛系數(shù)迭代的次數(shù)不同，選取適當?shù)乃沙谙禂?shù)，可以減少迭代的次數(shù)。若選取不當，則會使得迭代次數(shù)更多。</p><p>　　實驗七 用迭代法解非線性方程及方程組的根</p><p><b>　　一、實驗內容</b><

72、;/p><p>　　7. 求非線性方程及方程組的根,精確到,給定方程分別為：</p><p>　　(i) (ii) .</p><p>　　(1) 用你自己設計出的一種線性收斂迭代法求方程(i)的根,然后再用斯蒂芬森加速迭代計算.</p><p>　　(2) 用牛頓法求方程(i)的根,輸出迭代初值,各次迭代值及迭代次數(shù),并與(1)的結果比

73、較.</p><p>　　(3) 用牛頓法求(ii)的解,輸出迭代次數(shù)及解向量的近似值.</p><p><b>　　二、實驗原理</b></p><p><b>　　1.線性迭代原理</b></p><p>　　通常，用迭代法求的近似根時，將方程轉化為的形式，給出根的某一個猜測值，及初值。代入的右

74、端，轉化為，再取為猜測值，反復計算，直到則就是方程的解。</p><p>　　2.斯蒂芬森加速是用下列的迭代公式，同理迭代</p><p><b>　　，</b></p><p>　　3.牛頓迭代法時用下列牛頓公式同理迭代</p><p>　　4.解非線性方程組用矩陣的迭代公式計算。</p><p&g

75、t;<b>　　三、實驗結果</b></p><p>　　1.用線性收斂迭代法求的根為:0.25753</p><p><b>　　迭代次數(shù)為:11</b></p><p>　　用斯蒂芬森加速法求的根為:0.25753</p><p><b>　　迭代次數(shù)為:3</b><

76、/p><p>　　用牛頓迭代法求的過程值為:0.25 0.25752 0.25753 0.25753</p><p><b>　　迭代次數(shù)為:4</b></p><p>　　2.用牛頓法解方程組的解</p><p>　　方程組的解為：0.5 0.86603</p><p><b

77、>　　迭代次數(shù)為：5</b></p><p><b>　　四、實驗結果分析</b></p><p>　　從上述數(shù)據可以看出來，用三種迭代求方程的根，迭代次數(shù)不同。斯蒂芬森加速法和牛頓迭代法比線性收斂的迭代收斂效果更好。</p><p>　　實驗八 用QR法求矩陣的特征值</p><p><b&g

78、t;　　一、實驗內容</b></p><p>　　8. 用QR算法求矩陣特征值：</p><p>　　(i) (ii)</p><p>　　(1) 根據QR算法原理編制求(i)及(ii)中矩陣全部特征值的程序并輸出計算結果(要求誤差<.</p><p>　　(2) 直接用現(xiàn)有數(shù)學軟件求(i),(ii)的全部特征值,

79、并與(1)的結果比較.</p><p><b>　　二、實驗原理</b></p><p>　　QR方法是求一般矩陣的全部特征值和特征向量的一種迭代方法，通過迭代方法產生序列，我們可以推算得到與是相似的，它們有共同的特征值。在一定的條件下，上式產生的序列是收斂于上三角矩陣的，其主對角顯上的元素就是矩陣的特征值，，如果收斂于分塊上三角形，則主對角線上各個子塊的特征值就是矩

80、陣的特征值。</p><p><b>　　三、實驗結果</b></p><p><b>　　(1)求A的特征值</b></p><p>　　數(shù)學軟件求的特征值為:</p><p>　　t =0.5789 2.1331 7.2880</p><p>　　用QR算法求

81、的特征值為:</p><p>　　l =7.2880 2.1331 0.5789</p><p><b>　　(2)求H的特征值</b></p><p>　　數(shù)學軟件求的特征值為:</p><p>　　t =13.1724 6.5519 1.5957 -0.3908 -0.9291<

82、/p><p>　　用QR算法求的特征值為:</p><p>　　l = 13.1723 6.5519 1.5957 -0.9291 -0.3908</p><p>　　實驗九 改進的歐拉法和經典四階P_K法求初值解</p><p><b>　　一、實驗內容</b></p><p>

83、　　9.求初值問題的數(shù)值解,給定初值問題為</p><p>　　(i) (ii) </p><p>　　(1)用改進歐拉法(取h=0.05)及四階R-K.方法(取h=0.1)求(i)的數(shù)值解,并輸出的數(shù)值解</p><p>　　(2)用經典四階R-K方法解(ii),步長h 分別取為h=0.1,0.025,0.01計算,并輸出各點的數(shù)值解,并分析結果.(初

84、值問題(ii)的準確解)</p><p><b>　　二、實驗原理</b></p><p>　　改進的歐拉法是結合顯式歐拉與梯形公式，將梯形公式顯示化，從而迭代求解。經典R－K是根據公式，，，進行迭代求解。</p><p><b>　　三、實驗結果</b></p><p>　　1.求解方程（i）的數(shù)

85、值解。</p><p>　　(1)用改進的歐拉法求方程一的初值，輸出x=1+0.1*i的值：</p><p>　　X=1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2</p>

86、<p>　　Y=1 1.0045 1.0167 1.0346 1.0571 1.0833 1.1125 1.1441 1.1778 1.2132 1.25</p><p>　　(2)用經典四階R_K法求方程（i）的初值，輸出x=1+0.1*i的值：</p><p>

87、　　Y=1 1.0038 1.0154 1.0329 1.0551 1.081 1.1099 1.1414 1.1749 1.2101 1.2468</p><p>　　2.用R_K法取不同的步長求微分方程（ii）的初值，輸出x=0.1*i的值</p><p>　　(1) h

88、=0.1 </p><p>　　X=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 </p><p>　　0.6 0.7 0.8 0.9 1</p><p>　　Y=0.333333333333333 4.597569

89、44444445 62.937722800926 862.314408396027 11819.8127234289 162027.974208671 2221130.3891522 30447991.2744197 417391207.602878 5721737796.21092 78435488946.2307 </p&g

90、t;<p>　　(2)h=0.025 </p><p>　　Y=0.33333 0.012243 0.038539 0.087761 0.15701 0.24626 0.3555 0.48475 0.634 0.80325 0.9925</p><p>　　(3) h=0.01</p>

91、;<p>　　Y=0.33333 0.012039 0.039588 0.089361 0.15915 0.24894 0.35872 0.48851 0.6383 0.80809 0.99788</p><p><b>　　(4)準確解為:</b></p><p>　　Y=0.

92、33333 0.012246 0.040015 0.09 0.16 0.25 </p><p>　　0.36 0.49 0.64 0.81 1.00</p><p><b>　　四、實驗結果分析</b></p><p>　　從上面兩幅